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题目描述
这是 LeetCode 上的 1447. 最简分数 ，难度为 中等。
Tag : 「数学」、「最大公约数」
给你一个整数 n ，请你返回所有 00 到 11 之间（不包括 00 和 11）满足分母小于等于 n 的 最简 分数 。分数可以以 任意 顺序返回。
示例 1：
输入：n = 2 输出：["1/2"] 解释："1/2" 是唯一一个分母小于等于 2 的最简分数。 复制代码
示例 2：
输入：n = 3 输出：["1/2","1/3","2/3"] 复制代码
示例 3：
输入：n = 4 输出：["1/2","1/3","1/4","2/3","3/4"] 解释："2/4" 不是最简分数，因为它可以化简为 "1/2" 。 复制代码
示例 4：
输入：n = 1 输出：[] 复制代码
提示：
- 1 <= n <= 1001<=n<=100
数论
数据范围为 100100 且数值大小在 (0, 1)(0,1) 之间，因此枚举「分子 + 分母」的 O(n^2)O(n2) 做法是可接受的。
于是问题转化为：如何快速判断两个数组成的分数是否为最简（即判断两个数的最大公约数是否为 11）。
快速求得 aa 和 bb 的最大公约数的主要方式有两种 :「更相减损法」和「欧几里得算法」，其中「欧几里得算法」的递归实现最为好写，复杂度为 O(\log{(a + b)})O(log(a+b))，在绝大多数的情况下适用，只有在需要实现高精度时，才会考虑使用「更相减损法」。
而 stein 算法则是没有必要掌握的。
代码：
class Solution { int gcd(int a, int b) { // 欧几里得算法 return b == 0 ? a : gcd(b, a % b); } public List<String> simplifiedFractions(int n) { List<String> ans = new ArrayList<>(); for (int i = 1; i < n; i++) { for (int j = i + 1; j <= n; j++) { if (gcd(i, j) == 1) ans.add(i + "/" + j); } } return ans; } } 复制代码
class Solution { int gcd(int a, int b) { // 更相减损法 while (true) { if (a > b) a -= b; else if (a < b) b -= a; else return a; } } public List<String> simplifiedFractions(int n) { List<String> ans = new ArrayList<>(); for (int i = 1; i < n; i++) { for (int j = i + 1; j <= n; j++) { if (gcd(i, j) == 1) ans.add(i + "/" + j); } } return ans; } } 复制代码
class Solution { int gcd(int a, int b) { // stein if (a == 0 || b == 0) return Math.max(a, b); if (a % 2 == 0 && b % 2 == 0) return 2 * gcd(a >> 1, b >> 1); else if (a % 2 == 0) return gcd(a >> 1, b); else if (b % 2 == 0) return gcd(a, b >> 1); else return gcd(Math.abs(a - b), Math.min(a, b)); } public List<String> simplifiedFractions(int n) { List<String> ans = new ArrayList<>(); for (int i = 1; i < n; i++) { for (int j = i + 1; j <= n; j++) { if (gcd(i, j) == 1) ans.add(i + "/" + j); } } return ans; } } 复制代码
- 时间复杂度：枚举分子分母的复杂度为 O(n^2)O(n2)；判断两数是否能凑成最简分数复杂度为 O(\log{n})O(logn)。整体复杂度为 O(n^2 * \log{n})O(n2∗logn)
- 空间复杂度：忽略递归带来的额外空间开销，复杂度为 O(1)O(1)
最后
这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.1447 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。
在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。
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