1218. 最长定差子序列 : 结合「贪心」的「序列 DP」运用题

题目描述

这是 LeetCode 上的 1218. 最长定差子序列 ，难度为 中等。

Tag : 「贪心」、「序列 DP」、「状态机 DP」、「哈希表」

给你一个整数数组 arr 和一个整数 difference，请你找出并返回 arr 中最长等差子序列的长度，该子序列中相邻元素之间的差等于 difference 。

子序列 是指在不改变其余元素顺序的情况下，通过删除一些元素或不删除任何元素而从 arr 派生出来的序列。

示例 1：

输入：arr = [1,2,3,4], difference = 1
输出：4
解释：最长的等差子序列是 [1,2,3,4]。
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示例 2：

输入：arr = [1,3,5,7], difference = 1
输出：1
解释：最长的等差子序列是任意单个元素。
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示例 3：

输入：arr = [1,5,7,8,5,3,4,2,1], difference = -2
输出：4
解释：最长的等差子序列是 [7,5,3,1]。
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提示：

• 1 <= arr.length <= 10^51<=arr.length<=105
• -10^4 <= arr[i], difference <= 10^4−104<=arr[i],difference<=104

状态机序列 DP + 哈希表

定义 f[i][j]f[i][j]（jj 非 00 即 11） 为代表考虑前 ii 个数，且第 ii 个数的选择情况为 jj 时，得到的最长定差子序列长度。

最终答案为 \max(f[n - 1][0], f[n - 1][1])max(f[n−1][0],f[n−1][1])，同时我们有显然的初始化条件 f[0][0] = 0f[0][0]=0 和 f[0][1] = 1f[0][1]=1。

不失一般性考虑 f[i][j]f[i][j] 如何转移：

• f[i][0]f[i][0]：明确了第 ii 个不选，那么此时最大长度为前一个位置的结果。即有：

f[i][0] = \max(f[i - 1][0], f[i - 1][1])f[i][0]=max(f[i−1][0],f[i−1][1])

• f[i][1]f[i][1]：明确了第ii个要选，此时进行分情况讨论：

• arr[i]arr[i] 独立成为一个子序列，此时有：f[i][1] = 1f[i][1]=1；
• arr[i]arr[i] 接在某一个数的后面，由于给定了差值 differencedifference，可直接算得上一位的值为 prev = arr[i] - differenceprev=arr[i]−difference，此时应当找到值为 prevprev，下标最大（下标小于 ii）的位置，然后从该位置转移过来，即有：f[i][1] = f[hash[prev]][1] + 1f[i][1]=f[hash[prev]][1]+1;

容易证明：如果存在多个位置的值为 prevprev，从中选择一个下标最大的位置（下标小于 ii）进行转移，结果相比于最优位置不会变差。因此我们「贪心」选择下标最大的位置（下标小于 ii）即可，这引导我们在转移过程中使用「哈希表」记录处理过的位置的值信息。

• 综上，我们有：

f[i][1] = \begin{cases} 1 & hash[arr[i] - difference] = -1 \\ f[hash[prev]][1] + 1 & hash[arr[i] - difference] \neq -1 \end{cases}f[i][1]={1f[hash[prev]][1]+1hash[arr[i]−difference]=−1hash[arr[i]−difference]=−1

代码（使用数组充当哈希表的代码在 P2P2）：

class Solution {
    public int longestSubsequence(int[] arr, int d) {
        int n = arr.length;
        Map<Integer, Integer> map = new HashMap<>();
        int[][] f = new int[n][2];
        f[0][1] = 1;
        map.put(arr[0], 0);
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            f[i][0] = Math.max(f[i - 1][0], f[i - 1][1]);
            f[i][1] = 1;
            int prev = arr[i] - d;
            if (map.containsKey(prev)) f[i][1] = Math.max(f[i][1], f[map.get(prev)][1] + 1);
            map.put(arr[i], i);
        }
        return Math.max(f[n - 1][0], f[n - 1][1]);
    }
}
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class Solution {
    int N = 40009, M = N / 2;
    public int longestSubsequence(int[] arr, int d) {
        int n = arr.length;
        int[] hash = new int[N];
        Arrays.fill(hash, -1);
        int[][] f = new int[n][2];
        f[0][1] = 1;
        hash[arr[0] + M] = 0;
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            f[i][0] = Math.max(f[i - 1][0], f[i - 1][1]);
            f[i][1] = 1;
            int prev = arr[i] - d;
            if (hash[prev + M] != -1) f[i][1] = Math.max(f[i][1], f[hash[prev + M]][1] + 1);
            hash[arr[i] + M] = i;
        }
        return Math.max(f[n - 1][0], f[n - 1][1]);
    }
}
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• 时间复杂度：令 nn 为数组长度，共有 n * 2n∗2 个状态需要被计算，每个状态转移的复杂度为 O(1)O(1)。整体复杂度为 O(n)O(n)
• 空间复杂度：O(n)O(n)

优化状态定义

不难发现，我们多定义一维状态来区分某个位置的值是否被选择，目的是为了正确转移出第 ii 位被选择的情况。

事实上，利用哈希表本身我们就能轻松做到这一点。

我们调整状态定义为：f[i]f[i] 为考虑前 ii 个数（第 ii 个数必选）时，得到的最长定差子序列长度。

不失一般性考虑 f[i]f[i] 该如何转移，分情况讨论：

• arr[i]arr[i] 独立成为一个子序列，此时有：f[i] = 1f[i]=1；
• arr[i]arr[i] 接在某一个数的后面，由于给定了差值 differencedifference，可直接算得上一位的值为 prev = arr[i] - differenceprev=arr[i]−difference，此时应当找到 arr[j]arr[j] 为 prevprev 的最新位置（下标最大，同时满足 j < ij<i）当时的转移结果，在此基础上加一即可，即有：f[i] = hash[prev] + 1f[i]=hash[prev]+1;

综上，我们有（hashhash 初始化为 00）：

f[i] = hash[prev] + 1f[i]=hash[prev]+1

代码（使用数组充当哈希表的代码在 P2P2）：

class Solution {
    public int longestSubsequence(int[] arr, int d) {
        int ans = 1;
        Map<Integer, Integer> map = new HashMap<>();
        for (int i : arr) {
            map.put(i, map.getOrDefault(i - d, 0) + 1);
            ans = Math.max(ans, map.get(i));
        }
        return ans;
    }
}
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class Solution {
    int N = 40009, M = N / 2;
    public int longestSubsequence(int[] arr, int d) {
        int ans = 1;
        int[] hash = new int[N];
        for (int i : arr) {
            hash[i + M] = hash[i - d + M] + 1;
            ans = Math.max(ans, hash[i + M]);
        }
        return ans;
    }
}
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• 时间复杂度：令 nn 为数组长度，共有 nn 个状态需要被计算，每个状态转移的复杂度为 O(1)O(1)。整体复杂度为 O(n)O(n)
• 空间复杂度：O(n)O(n)

最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.1218 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。

在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。

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