本节书摘来自华章出版社《计算机组成原理》一书中的第2章，第2.2节， 作 者 Computer Organization and Architecture: Themes and Variations［英］艾伦·克莱门茨（Alan Clements） 著，沈 立 王苏峰 肖晓强 译， 更多章节内容可以访问云栖社区“华章计算机”公众号查看。
2.2 数字
用来计数的数字（即1，2，3，4，…）被称作自然数，因为它们并不依赖于数学而存在——无论地球上是否有人去数，猎户座的腰带上总是3颗星。我们用十进制或十进制系统计数，因为它有0～9共10个符号（对应于人手指的个数）。
并非所有数字都是自然数。人们发明了负数来处理如银行存款余额等情况。还创造出实数描述123.456和13/14那样的数。实数可分为有理数和无理数。有理数可被表示为分数（如7/12），而无理数不能被表示为一个整数除以另一个的形式，例如π或。
现代数字系统中，有一个符号表示0，这是在1400年前后由阿拉伯世界传入欧洲的。该系统使用位置记数法表示十进制数，每个数位的值或权取决于它在数字中的位置，例如数1261中6的值就是数126中6的10倍。十进制数1261等于1×1000+2×100+6×10+1×1。在位置记数法中，当一个数只剩一位时所乘的值称作基数。
2.2.1 位置记数法
按照位置记数法，一个n位的整数N将按照下面的形式书写：an-1, an-2,…, ai,…,a1a0
这里ai（i=0,1,...,n–1）是与b的幂相乘的系数（此处b为基数）。例如，当基数为10时，我们可以将N=278写作a2a1a0，这里a2=2，a1=7，a0=8。
用小数点（例如，十进制小数点基于十进制运算，而二进制小数点基于二进制运算）将整数部分和小数部分分开，可以对位置记数法进行扩展，使其能够表示实数。十进制运算中的实数按照形如1234.567的方式书写。一个小数点前有n位，小数点后有m位的实数被表示为an-1an-2…ai…a1a0.a-1a-2…a-m。
一个用基数为b的位置记数法表示的数的值被定义为：N = an-1bn-1+…+ a1b1+ a0b0+ a-1b-1+ a-2b-2+…+ a-mb-m
=
采用位置记数法，一个数的数值等于它各位值的总和，而每一位的值则是该位的数值乘以它在数中的位置所对应的权。例如，十进制数1982等于1×103+9×102+8×101+2×100。对于任意基数b，b0的值总是1。
当基数为2时，二进制数10110.11的值为1×24+0×23+1×22+1×21+0×20+1×2-1+
1×2-2，或用十进制表示为16+4+2+0.5+0.25=22.75。
为了区分十进制数、二进制数和十六进制数，我们分别用下标10、2和16表示基数（例如123410、10100112和12A316）。不过，若一个数的基数是显而易见的，则可以将下标省略掉。
计算机科学家对4种数制感兴趣：十进制、二进制、八进制和十六进制（十六进制通常被缩写为hex）。八进制数现在使用不多，因此本书不再讨论。表2-2列出了每种数制所使用的数字。由于十六进制数有16个数字，字母A～F分别表示数值10～15。例如，12CF16包括数字1、2、12和15。人们用十六进制数表示位数很多的二进制数。例如，8位二进制数10001001等于十六进制数89，后者更容易记。
