一、前言

记得公众号很久之前推出过一个branch and price的概念推文，后来小编找到了部分（不完整）的代码，经过研究以后补齐了这部分代码，能够运行以后也分享了给大家。详情可以看：

干货 | 10分钟带你掌握branch and price（分支定价）算法超详细原理解析）

干货 | Branch and Price算法求解VRPTW问题（附JAVA代码分享）

前阵子一个学姐问我这个代码，我看了一下然后发现自己看不懂了……这几天刚好要做相关的课题，又回来恶补了一番。把代码的逻辑梳理了一遍，今天就写写，方便大家学习。

二、branch and price

branch and price其实是column generation和branch and bound的结合。为什么要结合呢？前面的文章中介绍过，column generation是求解大规模线性规划问题的，注意是线性规划问题，不是整数或者混合整数规划问题。

因此在用column generation求解VRPTW的Set-Partitioning Model的时候，需要先将决策变量由整数松弛为实数，详情参见：

干货 | 10分钟教你使用Column Generation求解VRPTW的线性松弛模型

那么问题来了，既然column generation只能求解线性松弛模型，求得的解如果恰好是整数解那还好说。但是大部分情况得到的可能是一个非整数解，这显然不是我们VRPTW问题的最终解。

这个时候就需要用到branch and bound去找整数解了。我记得前面的推文也提到过，branch and bound本身是一个比较通用的算法，只要设计好问题的branch和bound，即可用来求解该问题。因此branch and bound也可以用来求解整数规划问题，详情可以参见：

干货 | 10分钟带你全面掌握branch and bound（分支定界）算法-概念篇

干货 | 10分钟搞懂branch and bound算法的代码实现附带java代码

branch and bound在求解整数规划模型的时候通过对当前模型加约束的方式，来对决策变量进行分支，而支路的lower bound可以通过求解该支路下整数规划模型的线性松弛而获得。求解一般线性规划问题可以用单纯形法，但是VRPTW的Set-Partitioning Model线性松弛后是超大规模的线性规划问题，没法枚举所有列。因此采用column generation来进行求解。

不知道大家晕了没有呢！晕的话可以把上面的推文好好看一遍，这些都是经过整理的，能节省你们再去瞎找资料乱学习所需要的时间成本。

三、branch and bound

关于VRPTW的Set-Partitioning Model是这样的：

决策变量为整数，我当时想着按照branch and bound求解整数规划模型的思路看代码，结果半天没看出个所以然来。因为我没找到的相关分支代码。然后看着看着就懵逼了。最后我问了下学长怎么进行分支，他一句话点醒了我：你可以按照Set-Partitioning Model进行分支，也可以按照之前的arc-flow model进行分支。

瞬间醒悟，代码中的分支方式也是采用arc-flow model进行分支的，那么这两个是怎样关联起来的呢？其实是靠"边"，Set-Partitioning Model中的一列其实就代表一条路径：

for example，在上面的模型中就包含了4列，每一列就代表一条路径：

r1 : 1->4

r2 : 2->3

r3 : 1->3

r4 : 1->2->3->4

arc-flow model中的“边”是不是包含在上面的路径中了呢，当Set-Partitioning Model中的(k=1,2,3,4)不为整数时，那么这些路径中相应的“边”在arc-flow model也不是整数了。这样两个模型就可以关联起来了。因此我们在branch and bound的时候也可以按照“边”来进行分支。

好了，讲了这么多，我们来看看代码是怎么操作的吧！当然了我这里也只是讲讲大概的思路，详细的还是自己慢慢去研读代码哈。

这里分支树的搜索采用的是递归的方式，遍历方式是有一个公式进行下一条“边”的选择的：

(1) 首先判断上下界是否达到指定的gap，如果是，则认为已经完成了搜索，跳出递归。

// check first that we need to solve this node. Not the case if we have
// already found a solution within the gap precision
if ((upperbound - lowerbound) / upperbound < userParam.gap)
    return true;

(2) 分支节点为null时，说明为初始状态，那么分配根节点，开始进行分支。

// init
if (branching == null) { // root node - first call
    // first call - root node
    treeBB newNode = new treeBB();
    newNode.father = null;
    newNode.toplevel = true;
    newNode.branchFrom = -1;
    newNode.branchTo = -1;
    newNode.branchValue = -1;
    newNode.son0 = null;
    branching = newNode;
}

(3) branchValue<1时，该边被禁止，否则该边被选择（一定要经过）。

// display some local info
if (branching.branchValue < 1) {
    System.out.println("\nEdge from " + branching.branchFrom + " to "
            + branching.branchTo + ": forbid");
} else {
    System.out.println("\nEdge from " + branching.branchFrom + " to "
            + branching.branchTo + ": set");
}

(4) 利用column generation计算该节点的lower bound，注意上面有些边被禁止了，因此这些边在column generation中是无法被访问或者强制要经过的。

// Compute a solution for this node using Column generation
columngen CG = new columngen();
CGobj = CG.computeColGen(userParam, routes);

(5) 新的lower bound出来后，看看要不要更新全局的lower bound（其实这里维护一个全局最小的lower bound也没啥用，就是拿来输出看看gap的）：

// update the global lowerBound when required
    if ((branching.father != null) && (branching.father.son0 != null)
            && branching.father.toplevel) {
        // all nodes above and on the left have been processed=> we can compute
        // a new lowerBound
        lowerbound = Math.min(branching.lowestValue, branching.father.son0.lowestValue);
        branching.toplevel = true;
    } else if (branching.father == null) {
        // root node
        lowerbound = CGobj;
    }

(6) 接下来是常规操作，判断lower bound和upper bound的大小，进行剪枝或者再次分支。如果该分支的lower bound > upperbound，那么cut掉：

if (branching.lowestValue > upperbound) {
    CG = null;
    System.out.println("CUT | Lower bound: " + lowerbound
            + " | Upper bound: " + upperbound + " | Gap: "
            + ((upperbound - lowerbound) / upperbound) + " | BB Depth: "
            + depth + " | Local CG cost: " + CGobj + " | " + routes.size()
            + " routes");
    return true; // cut this useless branch
}

(7) 否则，先判断column generation找到的解是不是整数解（所有的边都不能有小数）：

// ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////
// check the (integer) feasibility. Otherwise search for a branching
// variable
feasible = true;
bestEdge1 = -1;
bestEdge2 = -1;
bestObj = -1.0;
bestVal = 0;
// transform the path variable (of the CG model) into edges variables
for (i = 0; i < userParam.nbclients + 2; i++) {
    java.util.Arrays.fill(userParam.edges[i], 0.0);
}
for (route r : routes) {
    if (r.getQ() > 1e-6) {
        // we consider only the routes in the current local solution
        ArrayList<Integer> path = r.getpath(); // get back the sequence of
        // cities (path for this route)
        prevcity = 0;
        for (i = 1; i < path.size(); i++) {
            city = path.get(i);
            userParam.edges[prevcity][city] += r.getQ(); // convert into edges
            prevcity = city;
        }
    }
}
// find a fractional edge
for (i = 0; i < userParam.nbclients + 2; i++) {
    for (j = 0; j < userParam.nbclients + 2; j++) {
        coef = userParam.edges[i][j];
        if ((coef > 1e-6) && ((coef < 0.9999999999) || (coef > 1.0000000001))) {
            // this route has a fractional coefficient in the solution =>
            // should we branch on this one?
            feasible = false;
            // what if we impose this route in the solution? Q=1
            // keep the ref of the edge which should lead to the largest change
            change = Math.min(coef, Math.abs(1.0 - coef));
            change *= routes.get(i).getcost();
            if (change > bestObj) {
                bestEdge1 = i;
                bestEdge2 = j;
                bestObj = change;
                bestVal = (Math.abs(1.0 - coef) > coef) ? 0 : 1;
            }
        }
    }
}

(8) 如果是整数解，那么就找到了一个新的可行解，判断是否更新upper bound：

if (branching.lowestValue < upperbound) { // new incumbant feasible solution!
    upperbound = branching.lowestValue;
    bestRoutes.clear();
    for (route r : routes) {
        if (r.getQ() > 1e-6) {
            route optim = new route();
            optim.setcost(r.getcost());
            optim.path = r.getpath();
            optim.setQ(r.getQ());
            bestRoutes.add(optim);
        }
    }
    System.out.println("OPT | Lower bound: " + lowerbound
            + " | Upper bound: " + upperbound + " | Gap: "
            + ((upperbound - lowerbound) / upperbound) + " | BB Depth: "
            + depth + " | Local CG cost: " + CGobj + " | " + routes.size()
            + " routes");
    System.out.flush();
} else {
    System.out.println("FEAS | Lower bound: " + lowerbound
            + " | Upper bound: " + upperbound + " | Gap: "
            + ((upperbound - lowerbound) / upperbound) + " | BB Depth: "
            + depth + " | Local CG cost: " + CGobj + " | " + routes.size()
            + " routes");
}
return true;

(9) 否则，找一条边继续进行分支（这条边具体的选择也会影响分支的速度，选择看步骤(7）中的 bestEdge1和 bestEdge2)，EdgesBasedOnBranching函数的作用是通过设置距离矩阵各边的距离，来禁止或者指定选择一些边（比如将一条边的距离设置为正无穷，那么该边就无法访问了）。这里是先分左支，即该边被禁止，要移除column generation的RLMP中包含该边的所有路径：

// ///////////////////////////////////////////////////////////
// branching (diving strategy)
// first branch -> set edges[bestEdge1][bestEdge2]=0
// record the branching information in a tree list
treeBB newNode1 = new treeBB();
newNode1.father = branching;
newNode1.branchFrom = bestEdge1;
newNode1.branchTo = bestEdge2;
newNode1.branchValue = bestVal; // first version was not with bestVal
// but with 0
newNode1.lowestValue = -1E10;
newNode1.son0 = null;
// branching on edges[bestEdge1][bestEdge2]=0
EdgesBasedOnBranching(userParam, newNode1, false);
// the initial lp for the CG contains all the routes of the previous
// solution less(去掉分支的边) the routes containing this arc
ArrayList<route> nodeRoutes = new ArrayList<route>();
for (route r : routes) {
    ArrayList<Integer> path = r.getpath();
    boolean accept = true;
    if (path.size() > 3) { // we must keep trivial routes
        // Depot-City-Depot in the set to ensure
        // feasibility of the CG
        prevcity = 0;
        for (j = 1; accept && (j < path.size()); j++) {
            city = path.get(j);
            if ((prevcity == bestEdge1) && (city == bestEdge2))
                accept = false;
            prevcity = city;
        }
    }
    if (accept) nodeRoutes.add(r);
}
boolean ok;
ok = BBNode(userParam, nodeRoutes, newNode1, bestRoutes, depth + 1);
nodeRoutes = null; // free memory
if (!ok) {
    return false;
}
branching.son0 = newNode1;

(10) 然后是分右支，该支限定该边一定要经过，因此要要移除column generation的RLMP中不包含该边的所有路径：

// second branch -> set edges[bestEdge1][bestEdge2]=1
// record the branching information in a tree list
treeBB newNode2 = new treeBB();
newNode2.father = branching;
newNode2.branchFrom = bestEdge1;
newNode2.branchTo = bestEdge2;
newNode2.branchValue = 1 - bestVal; // first version: always 1
newNode2.lowestValue = -1E10;
newNode2.son0 = null;
// branching on edges[bestEdge1][bestEdge2]=1
// second branching=>need to reinitialize the dist matrix
for (i = 0; i < userParam.nbclients + 2; i++) {
    System.arraycopy(userParam.distBase[i], 0, userParam.dist[i], 0,
            userParam.nbclients + 2);
}
//reinitialize了因此需要recur递归一下
EdgesBasedOnBranching(userParam, newNode2, true);
// the initial lp for the CG contains all the routes of the previous
// solution less the routes incompatible with this arc
ArrayList<route> nodeRoutes2 = new ArrayList<route>();
for (route r : routes) {
    ArrayList<Integer> path = r.getpath();
    boolean accept = true;
    if (path.size() > 3) { // we must keep trivial routes
        // Depot-City-Depot in the set to ensure
        // feasibility of the CG
        prevcity = 0;
        for (i = 1; accept && (i < path.size()); i++) {
            city = path.get(i);
            if (userParam.dist[prevcity][city] >= userParam.verybig - 1E-6) accept = false;
            prevcity = city;
        }
    }
    if (accept) nodeRoutes2.add(r);
}
ok = BBNode(userParam, nodeRoutes2, newNode2, bestRoutes, depth + 1);
nodeRoutes2 = null;
// update lowest feasible value of this node
branching.lowestValue = Math.min(newNode1.lowestValue, newNode2.lowestValue);
return ok;