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一、非齐次部分是指数的情况
二、非齐次部分是指数的情况 示例
一、非齐次部分是指数的情况
常系数线性非齐次递推方程 : H ( n ) − a 1 H ( n − 1 ) − ⋯ − a k H ( n − k ) = f ( n ) H(n) - a_1H(n-1) - \cdots - a_kH(n-k) = f(n)H(n)−a
1
H(n−1)−⋯−a
k
H(n−k)=f(n) , n ≥ k , a k ≠ 0 , f ( n ) ≠ 0 n\geq k , a_k\not= 0, f(n) \not= 0n≥k,a
k
=0,f(n)
=0
上述方程左侧 与 “常系数线性齐次递推方程” 是一样的 , 但是右侧不是 0 00 , 而是一个基于 n nn 的 函数 f ( n ) f(n)f(n) , 这种类型的递推方程称为 “常系数线性非齐次递推方程” ;
非齐次部分是指数的情况 :
如果上述 “常系数线性非齐次递推方程” 的 非齐次部分 f ( n ) f(n)f(n) 是指数函数 , β n \beta^nβ
n
,
如果 β \betaβ 不是特征根 ,
则非齐次部分的特解形式为 : H ∗ ( n ) = P β n H^*(n) = P\beta^nH
∗
(n)=Pβ
n
,
P PP 是常数 ;
将上述特解 H ∗ ( n ) = P β n H^*(n) = P\beta^nH
∗
(n)=Pβ
n
, 代入递推方程 , 求解出常数 P PP 的值 , 进而得到了完整的特解 ;
“常系数线性非齐次递推方程” 的通解是 H ( n ) = H ( n ) ‾ + H ∗ ( n ) H(n) = \overline{H(n)} + H^*(n)H(n)=
H(n)
+H
∗
(n)
使用上述解出的 特解 , 与递推方程 齐次部分的通解 , 组成递推方程的完整通解 ;
二、非齐次部分是指数的情况 示例
递推方程 : a n = 6 a n − 1 + 8 n − 1 a_n = 6a_{n-1} + 8^{n-1}a
n
=6a
n−1
+8
n−1
初值 : a 1 = 7 a_1=7a
1
=7
第一步 , 先求出该递推方程 非齐次部分对应的特解 ,
递推方程的标准形式是 : a n − 6 a n − 1 = 8 n − 1 a_n - 6a_{n-1} = 8^{n-1}a
n
−6a
n−1
=8
n−1
非齐次部分是 8 n − 1 8^{n-1}8
n−1
,
因此其 特解 的形式是 a ∗ n = P 8 n − 1 a^*n = P 8^{n-1}a
∗
n=P8
n−1
, 其中 P PP 是常数 ;
将特解代入上述递推方程 :
P 8 n − 1 − 6 P 8 n − 2 = 8 n − 1 P 8^{n-1} - 6P 8^{n-2} = 8^{n-1}P8
n−1
−6P8
n−2
=8
n−1
在 6 P 8 n − 2 6P 8^{n-2}6P8
n−2
项乘以 8 88 变成 6 P 8 n − 1 6P8^{n-1}6P8
n−1
, 再除以 8 88 变成 6 P 8 n − 1 8 = 3 P 8 n − 1 4 \cfrac{6P8^{n-1}}{8}=\cfrac{3P8^{n-1}}{4}
8
6P8
n−1
=
4
3P8
n−1
, 代入等式中 ,
P 8 n − 1 − 3 P 8 n − 1 4 = 8 n − 1 P 8^{n-1} - \cfrac{3P8^{n-1}}{4} = 8^{n-1}P8
n−1
−
4
3P8
n−1
=8
n−1
P 8 n − 1 4 = 8 n − 1 \cfrac{P8^{n-1}}{4} = 8^{n-1}
4
P8
n−1
=8
n−1
P 4 = 1 \cfrac{P}{4} = 1
4
P
=1
P = 4 P = 4P=4
特解中的常数项 P = 4 P=4P=4 , 最终特解为 a ∗ n = 4 × 8 n − 1 a^*n = 4\times 8^{n-1}a
∗
n=4×8
n−1
第二步 , 求出齐次部分的通解
递推方程的标准形式是 : a n − 6 a n − 1 = 8 n − 1 a_n - 6a_{n-1} = 8^{n-1}a
n
−6a
n−1
=8
n−1
,
齐次部分是 a n − 6 a n − 1 = 0 a_n - 6a_{n-1} = 0a
n
−6a
n−1
=0
写出特征方程 : x − 6 = 0 x - 6 = 0x−6=0 ,
特征根 q = 6 q= 6q=6
写出齐次部分通解形式 : a n ‾ = c × 6 n \overline{a_n} = c \times 6^n
a
n
=c×6
n
“常系数线性非齐次递推方程” 的通解是 a n = a n ‾ + a ∗ n a_n = \overline{a_n} + a^*na
n
=
a
n
+a
∗
n
递推方程通解是 : a n = c × 6 n + 4 × 8 n − 1 a_n = c \times 6^n + 4\times 8^{n-1}a
n
=c×6
n
+4×8
n−1
第三步 , 代入初值, 求出最终通解
代入初值 a 1 = 7 a_1 = 7a
1
=7 到上述通解中得到
c × 6 1 + 4 × 8 1 − 1 = 7 c \times 6^1 + 4 \times 8^{1-1} = 7c×6
1
+4×8
1−1
=7
6 c + 4 = 7 6c + 4 = 76c+4=7
c = 1 2 c=\cfrac{1}{2}c=
2
1
a n = c × 6 n + 4 × 8 n − 1 a_n = c \times 6^n + 4\times 8^{n-1}a
n
=c×6
n
+4×8
n−1
通解中的常数常数 c = 1 2 c=\cfrac{1}{2}c=
2
1
, 将常数代入 ,
通解为 a n = 1 2 × 6 n + 4 × 8 n − 1 a_n = \cfrac{1}{2} \times 6^n + 4\times 8^{n-1}a
n
=
2
1
×6
n
+4×8
n−1
