在实际应用中，有时候我们需要求解一组方程。一般来说，基于线性方程组的解空间理论，线性方程组有唯一解当且仅当有效方程数等于未知数的个数。这时，可以运用多种方法来求出唯一的解。而克莱姆法则（Cramer's Rule）就是一种求解线性方程组的方法。
1 克莱姆法则
针对一个方程组，首先把它的系数改写成一个行列式，并判断它的值是否为0，如果为0，则不适用于此规则，否则则说明这个线性方程线有解，可以使用克莱姆法则法则。下面给出一个三元方程组的示例，用于描述克莱姆法则的解题过程:
此图来自网站： http://www.saddlebackmath.com/home/cramer-s-rule
以上述方程组为例，首先需要将方程组按照变量进行对齐，即x的放于前，y放中间，z放后。然后将变量的系数改写成一个矩阵A，同时将方程组的值写成一个矩阵B。首先，求出系数的行列式值，用D= det(A)进行求解。其次求x的值时，D1行列式由系数矩阵A的第一列替换为矩阵B的第一列，然后求行列式值，即Dx= det(M1)，即x = Dx / D即可。同理，求y的值，首先需要将系数矩阵A的第二列替换为矩阵B的第一列，然后求行列式值Dy。
2 克莱姆法则Julia实现
根据百度百科，Julia语言是一个面向科学计算的高性能动态高级程序设计语言，其语法与其他科学计算语言相似。在许多情况下拥有能与编译型语言相媲美的性能。Julia 是个灵活的动态语言，适合科学和数值计算。关于线程代数的知识，可以参考官网: https://docs.julialang.org/en/v1/stdlib/LinearAlgebra
Julia语言在矩阵的操作上，非常方便，下面给出上述示例的具体代码实现：
julia>usingLinearAlgebrajulia>A= [1-12 ; 123 ; 211] 3×3Array{Int64,2}: 1-12123211julia>D=det(A) -12.0julia>B= [ -3 ; 4 ; -3 ] 3-elementArray{Int64,1}: -34-3julia>Mx=deepcopy(A) 3×3Array{Int64,2}: 1-12123211julia>Mx[:,1] =B3-elementArray{Int64,1}: -34-3julia>Mx3×3Array{Int64,2}: -3-12423-311julia>Dx=det(Mx) 36.0julia>x=Dx/D-3.0julia>My=deepcopy(A) 3×3Array{Int64,2}: 1-12123211julia>My[:,2] =B3-elementArray{Int64,1}: -34-3julia>My3×3Array{Int64,2}: 1-321432-31julia>y=det(My) /D2.0julia>Mz=deepcopy(A) 3×3Array{Int64,2}: 1-12123211julia>Mz[:,3] =B3-elementArray{Int64,1}: -34-3julia>Mz3×3Array{Int64,2}: 1-1-312421-3julia>z=det(Mz) /D1.0julia>
由此可见，求出的方程解与示例一致。其实，利用Julia语言，我们可以直接进行方程组求解，示例如下:
julia>usingLinearAlgebrajulia>A= [1-12 ; 123 ; 211] 3×3Array{Int64,2}: 1-12123211julia>B= [ -3 ; 4 ; -3 ] 3-elementArray{Int64,1}: -34-3julia>A\B3-elementArray{Float64,1}: -3.02.01.0julia>
最后，需要说的就是，还有很多其他的矩阵操作，比如转置，求逆矩阵，矩阵乘法等等。示例如下:
julia>usingLinearAlgebrajulia>A= [1-12 ; 123 ; 211] 3×3Array{Int64,2}: 1-12123211julia>A'3×3Adjoint{Int64,Array{Int64,2}}: 112-121231julia>inv(A) 3×3Array{Float64,2}: 0.0833333-0.250.583333-0.4166670.250.08333330.250.25-0.25julia>inv(A) *A3×3Array{Float64,2}: 1.01.11022e-160.00.01.05.55112e-170.00.01.0julia>A' * A3×3Array{Int64,2}: 6373657514#不是A+1julia>A .+13×3Array{Int64,2}: 203234322julia>dot(A,A) 26julia>ones(3,2) 3×2Array{Float64,2}: 1.01.01.01.01.01.0julia>zeros(3,2) 3×2Array{Float64,2}: 0.00.00.00.00.00.0julia>x=rand(5) 5-elementArray{Float64,1}: 0.090257887942457590.60311935961365840.62527828770916180.431051076364323160.3206800449549978julia> [2*x[i-1] +0.5*x[i] +0.25*x[i+1] fori=2:length(x)-1] 3-elementArray{Float64,1}: 0.63839502761903491.62664063217297851.5462521248392345julia>
