一个求累加和程序的求解过程

【题目】求f=1-1/2!+1/3!-...+1/9!

【本文结构】

　　看题目，有点难度（相对而言，熟悉编程后，这只是一个非常典型的问题）。将我带着大家把这个问题分解一下，由易到难解出来。

　　我们要经历的过程是：

　　（一）求f=1+2+...+9【很简单的问题】

　　（二）求f=1-2+3-4+...+9【在（一）的基础上，学习如何一正一负地累加】

　　（三）求f=1-1/2+1/3-1/4+...+1/9【在（二）的基础上，被加数成了自然数的倒数】

　　（四）求f=1!-2!+3!-4!+...+9!【在（二）的基础上，被加数成了自然数的阶乘】

　　（五）求f=1-1/2!+1/3!-...+1/9!【运用（三）和（四）的方法就能出来了】

　　（六）用哪种循环语句其实并不是大事，本题以上的部分而言，for循环还是最好的

　　（七）求f=1-1/2!+1/3!-1/4!+...，要求精度达到0.0000001【对题目的扩充，在数值求解时，常常并不限定累加的项数，而是用精度控制】

　　如果这些题目对你目前已经不存在问题，体会这个化简的过程就可以关闭页面了。要学会这种办法，让自己由简而繁地工作。

【相关练习题（加*者在文后给了参考例程）】

• 对于任何正整数n，求1+n+n*n+n*n*n。
• 不断从键盘中输入实数，边输入边累加，直到它们的和超过1000时为止。
• 计算正整数n以内（包括n）的奇数之和及偶数之和。
• 已知本金为a，年利率为x%，试求存入银行多少年后本、利和翻一番。（提示：用s表示本、利合计，循环要表达的是“当(s<2*a)时，增加1年，计算下一年末的本、利合计”）
• 求任一长整数n的各位数字之和（提示：本题在每次循环中应该提取出某一位数并累加，即，先分离出个位累加，将n缩小10倍，重复操作直至n=0时为止。 ）
• 求任一长整数n的所有因子的之。（提示：循环中对所有可能成为该数因子的数进行考察，如果是因子，累加。 ）

• 在歌星大奖赛中，有10个评委为参赛的选手打分，分数为1~100分。选手最后得分为：去掉一个最高分和一个最低分后其余8个分数的平均值。请编写一个程序实现。

• （*）一个百万富翁遇到一个陌生人，陌生人找他谈一个换钱的计划，该计划如下：我每天给你十万元，而你第一天只需给我一分钱，第二天我仍给你十万元，你给我两分钱，第三天我仍给你十万元，你给我四分钱，....，你每天给我的钱是前一天的两倍，直到满一个月（30天），百万富翁很高兴，欣然接受了这个契约。请编写程序计算30天后陌生人给了百万富翁多少钱，百万富翁给了陌生人多少钱？这个换钱计划对百万富翁是个划算的交易吗？
  
• （*）现在北京有一套房子，价格200万，假设房价每年上涨10%，一个软件工程师每年固定能赚40万。如果他想买这套房子，不贷款，不涨工资，没有其他收入，每年不吃不喝不消费，那么他需要几年才能攒够钱买这套房子？ （答案会让人很悲观。不过房价这样涨，是不正常的，总有泡泡吹破的一天。）
  

　　（一）先做一个简单程序：f=1+2+...+9

int main()
{
  const int n=9;   //把9定义成常变量，这是个好办法，增强可读性、可维护性，见P30，讲过
  int i,f;   //本题求值后，f为整数，所以用int型。要根据情况选数据类型。i将用于控制循环，用int
  f=0;   //赋初值很重要，也可以定义的同时初始化。有同学算出了莫名其妙的和，因为没有赋初值
  for(i=1;i<=n;i++)
    f=f+i;         //请深刻理解for有运行机制，要习惯于这种思维
  cout<<f<<endl;
}

for(f=0,i=1;i<=n;i++) f=f+i;

f=0,i=1;
for(;i<=n;i++) f=f+i;

for(f=0,i=1;i<=n;f=f+i,i++);

　　或

f=0,i=1;
for(;i<=n;)
{
  f=f+i;
  i++;
}

f=0;
for(i=1;i<=n;i++)
  f=f+i;

　　（二）题目再变复杂些：f=1-2+3-4+...+9

int main()
{
  const int n=9;
  int i,f,sign=1;  //引入sign用于待加式子的符号变换
  f=0;   //赋初值很重要
  for(i=1;i<=n;i++)
  {                //因为循环体中将出现多条语句，加{}使之成为一条复合语句
    f=f+sign*i;
    sign=-sign;  //这个技术很重要，相比求幂，效率提高很多
  }
  cout<<f<<endl;
}

　　sign变量的名字也再次告诉我们，变量起名时，要尽量起有意义的名字，尤其其中几个变量间的关系微妙时。小程序中常用n、i、f之类的，其实并不是好习惯。想想dTax、fNetIncome，何等的清楚。

int main()
{
  const int n=9;
  int i,sign=1;
  double f; //为什么换类型了？算下来f是小数，还用整型那不找错吗？
  f=0;
  for(i=1;i<=n;i++)
  {
    f=f+sign*double(1)/i;  //这儿涉及类型转换，下面将深入讨论
    sign=-sign;  //sign只用作控制符号，不作他用，欣赏一下
  }
  cout<<f<<endl;
}

　　关于类型，因为i为int型，如果直接1/i结果为int型，因为i≥1，从第2次循环开始(i=2)，f就一直累加0了，多么可怕的一个潜在Bug。也可以写作1/double(i)，但不能是double(1/i)，已经求得商为0了，再double有何用，无法起死回生了。从语句整体，写成f=f+sign/double(i);更好。

　　在同学学愿意将i用作double型或float型，这样f=f+sign*1/i;或f=f+sign/i;都行。但是i是用于计数的（顺便做了除数而已）这个含义将被削弱。我个人还是不赞同这样做，尽管需要进行强制类型转换。

int main()
{
  const int n=9;
  int i,f,a,sign=1;  //引入sign用于待加式子的符号变换
  f=0;   //累加和的初值取0
  a=1;   //累乘积的初值取1 
  for(i=1;i<=n;i++)
  {                
    a=a*i;
    f=f+sign*a;   //将阶乘加上去，不要试图将求幂也写到一个语句中，那样的程序没法读了
    sign=-sign;  
  }
  cout<<f<<endl;
}

#include <iostream>
using namespace std;
int main()
{
  const int n=9;
  int i,a,sign=1;
  double f; 
  f=0;
  a=1;  //再说一点，很多同学将这两个语句写在一行，没错，但不好
  for(i=1;i<=n;i++)
  {
    a=a*i;
    f=f+sign*double(1)/a;  
    sign=-sign;  
  }
  cout<<f<<endl;
}

for(i=1;i<=n;i++)
    f=f+i;

i=1;
while(i<=n)
{
  f=f+i;
  i++;
}

#include <iostream>
using namespace std;
int main()
{
  const int n=9;
  int i,a,sign=1;
  double f; 
  f=0;
  a=1;
  i=1; //对应原先for循环中的<表达式1>，—— for(i=1;i<=n;i++)
  while(i<=n)  //循环条件是原for循环中的<表达式2>，—— for(i=1;i<=n;i++)
  {
    a=a*i;
    f=f+sign*double(1)/a;  
    sign=-sign;
    i++;     //不要漏下原for循环中的<表达式3>，—— for(i=1;i<=n;i++)  
  }
  cout<<f<<endl;
}

for(i=1;i<=n;i++)
　　f=f+i;

i=1;
do
{
  f=f+i;
  i++;
}
while(i<=n);

#include <iostream>
using namespace std;
int main()
{
  const int n=9;
  int i,a,sign=1;
  double f; 
  f=0;
  a=1;
  i=1; //循环的初始条件
  do  
  {
    a=a*i;
    f=f+sign*double(1)/a;  
    sign=-sign;
    i++;          //循环变量的变化写在循环体内
  }while(i<=n);   //确定在何条件下循环可以继续
  cout<<f<<endl;
}

累加的项item初值为1;
while(item > 0.0000001)
	执行累加任务;

#include <iostream>
using namespace std;
int main()
{
  const int n=9;
  int i,a,sign=1;
  double f,item; 
  f=0;   //累加和
  a=1;   //阶乘
  i=1;   //第几项?
  item = 1;  //要加的项
  while(item > 0.0000001)  
  {
    item = double(1)/a; 
	f=f+sign*item;  
    a=a*i; 
	sign=-sign;
    i++;      
  }
  cout<<f<<endl;
}

#include<iostream>
using namespace std;
int main()
{
 int days=1;
 double m2fs=0, f2ms=0; //总额，m2f--陌生人to富翁
 double m2f=100000, f2m=0.01; //每天应付数额
 while(days<=30)
 {
  m2fs=m2fs+m2f;
  f2ms=f2ms+f2m;
  cout<<"第"<<days<<"天，陌生人给百万富翁"<<m2fs<<"元，百万富翁给陌生人"<<f2ms<<"元。"<<endl;
  f2m*=2;
  days++;
 }
 if(m2fs>f2ms)
  cout<<"陌生人吃亏。"<<endl;
 else
  cout<<"百万富翁吃亏。"<<endl;
 return 0;
}

#include <iostream>  
using namespace std;  
int main()  
{ 
   double house_price=200, money = 40;
   int year=1;
   const double rate = 0.1;
   const int salary = 40;
   while(money < house_price)
   {
	   cout<<year<<" "<<money<<"  "<<house_price<<endl;
	   ++year;
	   house_price*=(1+rate);
	   money+=salary;
   }
  cout<<endl;
  return 0;
}