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带你读《射频集成电路及系统设计》之三:射频二端口网络

简介: 本书针对射频集成电路和系统设计的核心问题,提供理论与实践与现实世界的应用实例,还提供了实用的设计指导,涵盖各种拓扑结构设计。主要包括射频组件、信号和系统、两个端口、噪声、失真、低噪声放大器、混频器、振荡器、功率放大器和收发器架构。为学生提供在射频集成电路和系统设计中未来的职业所需的背景知识和实用工具。适合电子工程、通信工程、自动化等专业的高年级本科或研究生教材。

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第3章

射频二端口网络
本章将回顾一些射频设计的基本概念,包括有效功率增益、匹配电路、S参数。同时,还将详细讨论无损、低损耗传输线及其史密斯圆图。本章给出的绝大部分素材将在第4章和第6章讨论噪声和低噪声放大器(LNA,又称“低噪放”)时用到,并且本章的大部分内容和第1章紧密相关。
本章涵盖以下主题:
●有效功率和匹配。
●宽带和窄带变换器。
●串并转换。
●无损和低损耗传输线。
●史密斯圆图。
●S参数。
为了教学目的,可以把重点放在32和33节,讨论低噪放的设计。传输线、史密斯圆图和S参数这些内容在射频设计中同样很重要,但在本章中将被弱化。本章所涉及的内容相对基础,有兴趣的同学或工程技术人员可以独立学习。

3.1二端口网络

二端口网络简单地说就是一个黑匣子里的网络,有两对可见的端口,一端为输入,另一端为输出,首先考虑图3.1中的单端口网络。
给出一个线性网络和一对端口,得到一个一端口网络,右边为该网络的戴维南等效,N0为所有独立源不工作时(电压源短路,电流源开路)的同一个网络,eOC为一端口的戴维南等效开路电压。
二端口网络是一端口网络的简单拓展,如图32所示,这实际上是一个带有2对可接入端口的四端口网络。

image.png

根据基本电路理论[1],二端口上有4个未知元素(i1,v1,i2和v2),二端口只能在4个变量上施加2个线性约束条件。由于从4个元素中选出2个只有6种方法,因此描述一个线性、时不变的二端口网络有6种方式:阻抗、导纳、2个复参数和2个传输矩阵。已知一种描述方式,其他5种中的任何一种都可以得到。例如,导纳矩阵是阻抗矩阵的倒数。后面将会看到,二端口网络也可以用S参数表示,这在微波频段更为方便。S参数矩阵也可以转换为前面提到的6种方式的矩阵。

3.2有效功率

图3.3中的放大器可以用前面提到的任意一种矩阵表示,但假设大多数设计良好的开环放大器都具有单向性,一般用放大器的输入阻抗、跨导和输出阻抗表示。一个电压放大器可以简单地在输出端用戴维南等效电路实现。

image.png

根据基本的电路理论,从电源抽取到放大器输入端的复数功率为:

image.png


式中VIN和IIN表示放大器输入端的峰值电压和电流分量。定义ZIN=RIN+jXIN和Zs=Rs+jXs,则平均功率为:

image.png

当RIN=Rs且XIN=-Xs,即ZIN=Z*s时,上式可求得最大值,这种情况称为功率匹配或电源共轭匹配,此时有效功率为:

image.png

上式仅仅是电源的函数,与放大器无关。电源产生的总功率为:

image.png

因此,在电源共轭匹配的情况下,电源平均功率的一半传递到了放大器,电源效率为50%。
对于雷达接收机这类设备,输入是共轭匹配的,如果接收的电磁能没有被输入端完全吸收,能量就会丢失。此外,在某些特定应用中,电源效率更为重要,由于共轭匹配会损失一半能量,所以不宜采用这种方式;在第9章将会看到,在设计功率放大器时,这一点尤为重要。
简而言之,在输出端利用戴维南等效,有效输出功率定义为:

image.png

放大器有效功率增益定义为输出和输入有效功率的比值:

image.png

对于一个阻性源,假设放大器的输入端和输出端是匹配的,即image.png,有:

image.png

3.3阻抗变换

在射频电路,尤其是射频放大器中,通常有必要把输入阻抗变换为某些期望的值,主要原因是放大器的输入阻抗通常受到增益或功耗等性能参数的约束,可能与期望值不匹配,因而不能满足最大功率转换或最小噪声系数等设计考虑,如图3.4所示,通常需要一个称为匹配网络的中间网络将输入阻抗转换为最优值。

image.png

另一种常见的情况是,在接收机之前外接一个高Q值的滤波器,该滤波器的输入阻抗与输出阻抗都需匹配到50Ω(如图3.5所示)。这种滤波器的典型例子为SAW(声表面波)滤波器,这是一种机电器件,电信号在这种由压电晶体或陶瓷构成的器件中转换为机械波;这种机械波在器件中传播,经过延时后由紧接着的电极转换回电信号。实际上,这种滤波器与前面讨论的二端口LC滤波器非常相似。非50Ω的终端通常会降低滤波器的通带损耗,减小阻带衰减。在第6章将会讨论,由于噪声和功耗的折中,设计滤波器时通常将输入阻抗设定为高于滤波器所需的50Ω,因此,在不产生很大开销的情况下,匹配网络很方便。

image.png

匹配网络不仅适用于接收机,同样也应用在发射机中,尤其是在功率放大器中,原因与前面提到的相同。
由于匹配网络直接接在放大器的输入端,并且是全射频的,其性能非常关键,所以,匹配网络通常由高性能的无源元件构成,比如高Q值的电容和电感。如果集成元件的品质因数不够高,使用片外的、更高Q值的元件实现匹配网络或匹配网络的一部分也并不罕见。鉴于其重要性,下面将介绍一些常见的结构。

3.3.1宽带变压器

变压器可用于提供宽带阻抗变换。理想变压器用缠绕在磁芯上并且匝数分别为n1和n2的线圈实现,如图3.6所示。

image.png

如果磁芯的磁导率足够大(或者为理想值无穷大),磁通量包含在线圈内,每个线圈的关系为φ1=n1φ和φ2=n2φ,根据法拉第定律,有v1=dφ1/dt, v2=dφ2/dt,则有:

image.png

为了找出两个电流之间的关系,可以注意到,类似于欧姆定律和电场中电阻的概念,可以定义磁阻m反映磁通量和电流的关系(进一步的分析可以参见文献[2]):

image.png

对于理想的磁芯,有m=0,因此:

image.png

因此对于理想的变压器,没有能量损耗,且不能存储能量(与电容、电感不同),对于任意时间,有image.png。而且,能量守恒表明,在理想变换器中,两线圈的自感为无穷大,互耦系数为1。
I-V关系可以解释理想变压器的阻抗转换,如图3.7所示,很明显有image.pngimage.png
由于高磁导率的磁芯在集成电路中无法实现,如在第1章中讨论的,实际的变压器更像耦合的电感,合理的设计可以获得相对较高的耦合系数。图3.8是一个集成变压器的模型,包含两个等效π模型的电感,但二者也互相耦合。

image.png

为了方便分析,暂时忽略转换损耗和寄生电容,考虑如图3.9所示的电路。

image.png

对于左边的耦合电感,有:

image.png

也可以表示为image.png,为电感矩阵[1]。耦合系数定义为image.png,注意,M可以为正也可以为负,但是k始终是正的。而且,从能量的角度来看,可以得到k≤1,否则耦合电感的总能量会变成负的。同样,可以从右边两个电路中推导出L矩阵,3个电路的电感矩阵是相同的,因此是等效的(见本章习题部分题目1)。如果耦合电感的耦合系数接近于1,则L1-M2L2≈0,那么这个变压器(准确地说是耦合电感)可以用图3.10左边的等效模型替代。
因此,实际的变压器可以将阻抗变大或者变小,这依赖于主线圈与副线圈的匝数比,但是也存在线圈的自感。变压器损耗也可以用与副线圈并联的电阻等效,图3.10右边为其模型。如果需要,变压器可以用图3.10所示的电路表示,但这降低了带宽,忽略的电容会产生额外的电抗元件。

image.png

出于实用考虑,我们考虑图3.11所示的双谐振电路,该电路由两个互相耦合的相同的RLC电路组成。

image.png

通过简单的节点分析,可以得到

image.png

式中image.png是耦合因子。因此,该电路实际上由两个并联的RLC电路串联构成,一个谐振频率高,一个谐振频率低,取决于k值。ZIN的幅频曲线如图3.11所示,进一步的说明见本章习题2。

3.3.2并串转换电路

尽管理想情况下变压器提供了一种宽带阻抗变换,但实际的集成变压器由于有限的自感和寄生电容影响,带宽较窄,另外,集成变压器的性能比集成电感更差,这是因为要获得到较高的耦合系数是很有挑战的。
对于窄带应用,如同众多射频标准的情况,可以用集总电感和电容去近似某一个单一频率点或覆盖该频率点的谐振带宽内的阻抗变换;更方便的方法是采用并串转换,如图3.12所示。

image.png

图3.12中右边并联电路的输入阻抗可以表示为:

image.png

这是一个电阻与电抗串联的形式,由于Xp是与频率有关的,可以认为串联的电阻和电抗也是与频率相关的。但是,如果只看某一个固定频率或者一个很窄的频率范围,则可以把并联电路等效为一个串联电路,如左边的电路所示。为了满足这种等效,必须约定:

image.png

或者,可以用串联电路的形式来描述并联电路:

image.png

也可以发现下面的等式一定成立:

RsRp=XsXp


在第1章已经讨论过的串联RL电路是一个特殊的情况,有Rs=r,Xs=Lω。由于Q=Lωr,则有:

image.png

这在第1章已经讨论过。
可以利用上面介绍的并串转换电路的特性改变放大器输入阻抗的实部。例如,如果放大器阻抗的实部比所需要的大,那么接一个分流的电抗会将阻抗降低至所需的值,反之也成立。剩余的电抗部分可以通过接入相反极性的电抗元件来抵消,只要电路工作在一个特定的频率或者一个很窄的带宽范围。
如图3.13所示的例子中,希望将一个输入阻抗为RIN>Rs的放大器在一个给定的频率ω0上匹配到信号源电阻Rs。

image.png

由于是需要降低电阻,故插入一个并联的电抗,既可以是电感也可以是电容。选择一个电感量为L的电感与RIN并联,由于等效串联网络是感性的,很自然地选择一个电容C来吸收电感量。因此匹配网络包括一个并联的L和一个串联的C,如图313所示。由RIN和L组成的并联网络可以转换为串联形式,转换后的新电阻必须和信号源电阻Rs相同,串联电感Ls由电容C来抵消。因此有:

image.png


由此可以得到image.png,此处,RIN显然必须大于Rs。如果RIN小于Rs,就应该选择一个串联电感L和一个分流电容C。新的串联电感也容易计算,有:

image.png

该电感与电容C在ω0处谐振。因此:

image.png


该匹配网络元件显然是ω0的函数,因此是与频率相关的。为了了解频率会在何种程度上偏离ω0,计算串联RLC电路的品质因数,可得:

image.png

如第2章所介绍的,Q值反映了RLC电路的3dB带宽,即有:

image.png

依据经验,可以认为只要频率在上述带宽范围内,该电路就提供了合理的匹配。一个重要的结论:由上式可以直接得到实际可以匹配的输入阻抗的上限。RIN越大、Q越大,则匹配网络越狭窄。而且较大的RIN就意味着较大的电感,这在频率增大时会产生问题。另外,前面假设电感是无损耗的,而实际上并不是,对于给定的电感品质因数,更大的RIN将导致更大的损耗。
例如,如果RIN=250Ω,可以计算得到,在2GHz频率上将阻抗匹配到50Ω所需的L=10nH,C=0.8pF,相应的品质因数为2;同样的匹配网络工作在2.5GHz(3dB带宽的边缘),得到的阻抗是70+j33Ω,这在很多应用中勉强可以接受。
如果放大器的输入阻抗除了电阻RIN之外还含有电抗,则需要修改分流电感L来吸收电抗,其余的步骤是相同的。
图3.13中的匹配网络除阻抗变换外还具有其他特性,首先,即使这里讨论的无损耗网络不会影响功率,但实际上也会提供电压或电流增益,先计算放大器输入端RIN上的电压:

image.png

这是一个高通函数,在匹配网络中心频率处,即ω=ω0时幅值取得最大值image.png。因此在RIN>Rs的情况下,从信号源到放大器输入端的有效电压增益为image.png,Q值越大,响应越窄,电压增益越大,这一点很重要,因为这有助于在允许给定输入参考噪声的情况下降低放大器的功耗。然而,从信号源到输入端的电压增益的存在表明不想要的信号也和所需要放大的信号一起放大了,这使得设计对非线性和失真更为敏感。
图3.14展示了在RIN=250Ω,f0=2GHz的情况下,从信号源端到输入端电压增益和频率的关系,其中元件参数和上面计算的一样。对低于f0和网络带宽外的频率,匹配电路像一个滤波器,因此抑制了处在带宽外的无效信号。串联电容和分流电感使匹配网络呈现高通特性,因此,在高于中心频率处的电压增益的衰减不如传递函数变缓到接近于image.png时快(额外的系数2是由有效电压增益导致的)。然而,如果需要,通常选择其他带有低通和带通特性的匹配元件。

image.png

3.3.3窄带变换器

第三种常见的阻抗变换方法是窄带变换器,这种方法只用电容和电感逼近理想的变换器。如同前面的电路,该方法本身就是窄带的,如图3.15所示,暂时忽略电感,计算左边电路的阻抗。

image.png

可以得到:

image.png

假设在所关注的频率下由并联电阻R导致的电容损耗很小,即image.png,则可以得到:

image.png

可以简化为:

image.png

定义image.png,忽略最后一项,并假设损耗适中或很小(R很大),则有:

image.png

因此,电路简化成如图3.15中右图所示的形式,即由一个线圈匝数比为n的理想变压器和一个分流电容C组成,可以用电感来抵消等效电容,提供一个电阻元件。
通过两个串联电感L1、L2以及一个用来调谐的分流电容可以实现该变换器[3],但是由于需要两个电感,该方案没有之前提到的方案常见。图3.15中的方案常用在考毕兹振荡器中(第8章)。

3.4传输线

除了集总的LC元件之外,传输线也可以用来做匹配。第1章中展示的无损传输线中说明了这一点,一般的方法表现为如下形式:

image.png

式中f1和f2为任意函数,分别表示前向与后向的传播。现在假设只关心正弦稳态解,即只关心频率为f=ω/2π的信号,则其解也是正弦的,可以表示为:

image.png

式中β=ω/vp,为相位常数(单位为rad/m),vp为相位速度(单位为m/s)。如之前所讨论的,+表示信号后向传播,-为信号前向传播,分别用下标b和f表示。现在选择φ=0,并将时间固定于t=0时,信号变为:

image.png

显然β表示空间频率。定义波长λ=2π/β=vp/f,注意,以上函数的周期为λ。实际上,对于前向传播的波形,设定如下条件:

image.png

该波形在给定的时间是一个常数,随着时间增加,z必须也在正方向上以vp的速率增加。后向传播的波形与此类似,但是z需要随时间减小而减小。
根据欧拉公式image.png,对于正弦稳态情况,可以用一个相量来描述前向传播和后向传播的信号,即可以将V(z,t)表示为:

image.png

式中,image.png表示复幅度。对于无损耗传输线,初始的波方程在第1章中已推导出:

image.png


进而得到:

image.png

这是正弦稳态情况下的向量形式,VS表示复向量电压,可以表示为如下形式:

image.png

和之前的结论一致,略去了时间项,因为波形始终是频率ω的余弦函数形式。要注意的是传输线假设是无损耗的,如果不是无损耗,则jβ必须替换成γ=α+jβ,α表征传输线的损耗[2,4]。类似地有:

image.png

在处理传输线问题时一般用上面的等式来表示电压和电流。根据波形差分方程的特点,也常用下面的两个等式:

image.png

式中,Z0是传输线的特征阻抗。

3.4.1终端传输线

任何传输线不可避免地都在终端接有负载,由于需要在非连续状态下(例如一个负载)满足所有电压、电流边界条件,进而导致了反射波。基本的反射问题如图3.16所示。

image.png

为了方便起见,假设负载处于z=0的位置处,因此剩下的传输线处于z<0的区域。假设有一个向量形式的入射电压为:

image.png

当波到达负载时,产生一个反向传播的反射波:

image.png

在z=0处,有:

image.png

式中VL为负载电压,负载电流为:

image.png

可以求出V+0和V-0,更重要的是二者的比值,称为反射系数,即:

image.png

反射系数通常是复数。已知入射和反射的电压、电流,也可以估算出相互间的功率关系,可以简单显示反射和入射功率的比值:

image.png

3.4.2电压驻波比

在终端传输线的不同点检测信号是很有指导意义的。实际上,可以通过在开槽传输线上插入一个电压探头测量所关心的点的电压幅度来实现。前面已经将传输线上的电压表示为一般的形式:

image.png

式中,image.png是之前用负载阻抗函数得到的反射系数,通过一些代数运算,上式可以展开为如下形式:

image.png

将上式从向量形式转化为时域信号为:

image.png

第一项有cos(ωt-βz)的形式,它是沿前向z方向传播的,也称行波,幅度为image.pngimage.png;第二项称为驻波,幅度为2V0|Г|。这两项在z方向上相加或者相减,导致了不同的探测结果。事实上,当行波和驻波相加时,传输线上的最大电压幅度为image.png,计算最小值就没那么容易了。首先要注意到,由于image.png,当两项存在180°的相移时,即当image.png时,取得最小值,在这种情况下,最小幅度为image.png
尽管已经计算了最大值,但通过同样的推理可以知道,最大值是在image.png处得到的,如图3.17所示。

image.png

两个相邻峰值之间的间距为λ/2,而相邻的波峰和波谷之间的间距为λ/4。传输线上最大电压值和最小电压值的比值称为电压驻波比(VSWR),可以表示为:

image.png

如果负载匹配,则没有反射,VSWR为1,表明传输线上没有驻波。另一个极限情况为,负载短路或开路时,|Г|=1,则VSWR为无穷大。

3.4.3传输线输入阻抗

考虑图3.18中长为l的传输线,该传输线在z=0处为终端,并且接有一个复阻抗ZL,求解传输线上给定点的阻抗。

image.png

这可以通过求出传输线上的电压和电流而简单得到,即有:

image.png

考虑image.png,可以得到任意点的阻抗为:

image.png

可以通过在z=0处,Z(0)=ZL简单验证。在传输线的源端,即z=-1处的传输线阻抗为:

image.png

上面的等式有一些有趣的特性。例如,如果传输线的长度等于波长的一半或者半波长的整数倍,输入阻抗总是等于负载阻抗;如果长度为四分之一波长,就有image.png,因此,一端的短路在另一端可表现为开路;同理,一端的开路在另一端可表现为短路。

3.5史密斯圆图

解决传输线问题常常需要引入复数,通过图解法,所涉及的工作可得到很大的简化且不影响精度。最基本的图解法是史密斯圆图[5]。史密斯圆图的基本概念是建立在反射系数方程上的:

image.png

由于Г为复数,通常用image.png来表示,由于对任意ZL,|Г|≤1,在用复数描述Г时,所有的信息就落在了一个单位圆里。通常是将负载阻抗对传输线特征阻抗进行归一化,表示为如下所示的一个复数:

image.png

相应地有:

image.png

或者,如果定义特征导纳yL=YL/Y0=Z0YL,其中YL=1/ZL,则反射系数可以表示为:

image.png

这表明用归一化导纳表示反射系数的幅度相同,相位相差180°,利用这个结果,可以方便地在图上动态选择导纳或电阻。很明显,yL=1/zL。
从归一化阻抗开始,有:

image.png

通过简单几步的代数运算,得到了两组用r和x表示Г的实部和虚部的方程:

image.png

每个方程代表一族与特定参数r(或x)相关的圆,如图3.19所示。

image.png

阻抗的实部为正,所以r始终大于0,而x可以是正的(感性阻抗)也可以是负的(容性阻抗)。r=0对应的圆为单位圆,对应Г=1。两族圆一起画在史密斯圆图上,就可以从中得到一个给定负载阻抗的Г的幅度和相位。例如,如果ZL=100+j25Ω,r=2,x=0.5,则对应于图3.20中史密斯圆图上的点。

image.png

相应地,凭借在史密斯圆图中的测量,可以得到Г≌0.37∠23°。甚至在这个非常简单的例子中,采用Г方程的原始形式,必须进行arctan和幅度计算等几个步骤才能得到同样的结果。在计算从负载沿传输线移开后的阻抗时,史密斯圆图被证明更加有效。之前给出传输线上给定点z的阻抗为:

image.png

因此,在z=-1点,即距离负载l处的归一化输入阻抗为:

image.png

上式表明,一旦计算出在负载处,即l=0处的Г,相应地距离负载-l处的阻抗可以通过保持Г幅值不变,但是相位顺时针旋转image.png来计算得到。距离负载四分之一波长时旋转一个半圆,即相位旋转180°。在实际的史密斯圆图中显示的并不是旋转角度,而是朝着源头移动的以半波长(或360°)归一化的距离(顺时针旋转),如图3.20中的虚线所示。如果史密斯圆图中的阻抗已知,相应的导纳可以通过阻抗镜像得到,如之前已得到的:

image.png

上式表明Г幅值必须保持不变,但是相位相差180°(或四分之一波长)。
例如,考虑一个如图3.21所示的50Ω传输线,终端接一个阻抗ZL=250Ω的负载,代表一个放大器的输入。已经讨论过如何用LC组合网络将该阻抗匹配到50Ω(如图3.13所示);现在的目标是用传输线将之匹配到50Ω,一般的方法是在距离负载d处插入一段长度为dS的短路短截线。

image.png

首先注意到,这段短路短截线长度无论多少,其阻抗总是电抗,并与z=-d处的阻抗相并联,由于增加导纳更加容易,可以采用导纳的形式进行计算。如图3.21所示的史密斯圆图中,归一化负载阻抗为5+j0,为了转化为导纳,当阻抗转换为Z20/ZL,或者zL转换为yL时,直接增加四分之一波长。很明显,yL对应r=0.2的圆,在图中用点yL表示,现在在0λ处。接着,为了匹配到50Ω,需要考虑r=1的圆,由于在传输线上的移动只需要改变反射系数的相角,需要计算的点就是r=1的圆和点yL所在的半径为Г的圆的交点,如图3.21中的P3点,图上显示读数为0.182λ,所以,将负载移动1.182λ的距离,或者设定d=0.182λ即可;点P3实部为1,但是是容性的(注意现在处理的是导纳)。从x族圆上,可以得到归一化虚部为1.74。如果短路线虚部为-1.74,若加到传输线上,则传输线的导纳就只有实部,归一化为1(或者50Ω)。短路短截线的近似长度可以通过取x=-1.74的圆和|Г|=1的圆的交点得到,该点记为P4,其读数为0.37λ。由于短路短截线在0.25λ,则长度dS=0.12λ。很明显,如果不用史密斯圆图,计算将很复杂。如果负载带有电抗,计算步骤也类似。
为了展示史密斯圆图在传输线和离散元件上的应用,用集总LC网络(如图3.13所示)重做上面的匹配例子,即将放大器的输入阻抗匹配到50Ω,但这次用史密斯圆图来做。由于RIN大于50Ω,将落在圆的右半边(如图3.22所示);同时假设有一个电容分量与之相连,这是更为接近实际的放大器输入阻抗模型,归一化阻抗为图中的P1点。
由于首先要接入一个并联电感,通过增加四分之一波长到达P2的方式将zin转换为yin。为了最终得到50Ω的实部,需要一个匹配电感把点P2移到r=1的圆的镜像上(带阴影的圆)。如果这样,在转换回阻抗时(为了方便接下来接入串联电容),就必须落在r=1的圆上,这可以通过取P2所在的半径为常数r的圆和r=1的镜像圆的交点获得,交点有两个,但只有P3是正解。这是因为另一个点在转换回阻抗时将落在圆的下半边,即表现为容性,这个点只能通过一个串联电感匹配到50Ω,然而匹配网络包含一个串联电容,所需的电感值可以通过考虑初始的电纳得到,新的电纳对应于点P3;P3转换回阻抗为点P4,落在r=1的圆上,其电抗为x4,该点是感性的,需要加一个串联电容C使得x4=1Cω0/50。显然如果RIN小于50Ω,或者对阴影圆内的任意点,该匹配网络是无解的。如果用并串计算的方式这一结果就不明显了。

image.png

回到刚才的例子中,如果RIN=250Ω,则yin=0.2+j0。在与r=1的镜像圆相交后,由图3.22可以读出x3为-0.4。由于在这一点处理的是归一化导纳,0.4=50Lω0,或者Lω0=125Ω,所以在2GHz处的电感L=10nH。点P4在图上读出为1+j2,现在是阻抗,因此2=1Cω0/50,在2GHz处的电容C=0.8pF。史密斯圆图的另一个优越的特性是得到的电抗和电纳与频率无关,只有转换为电容和电感时才变为频率的函数。

3.6 S参数

用阻抗(或导纳)矩阵描述微波电路是不实际的,因为电压、电流和阻抗在微波频率时不能直接测量。可以用测量相对场强的小探头直接测量的量是驻波比和功耗,这两个参数可以直接导出反射系数。另外,相比于入射信号的情况(例如通过直接耦合器),可以直接测量的是传输信号的幅度和相位的相对关系;换句话说,直接测量的量是反射波或散射波的幅度与相位的相对关系(相对于入射波)。描述这种关系的矩阵称为散射矩阵,或S矩阵。与微波电路类似,在射频电路中采用散射参数的方法也是很常见的,尤其是解决射频电路与外界的关系时,例如,接收机输入端或者发射机的输出端,因此在本节进行简单介绍。有关S参数的详细讨论见文献[4]和[6]。
考虑图3.23中的N端口网络。如果等效电压为V+1的电波从端口1入射,反射波为V-1=S11V+1,S11为反射系数;另外,很自然地可以假设,电波也可以从其他端口散射,表示为V-n=Sn1V+1,n=2,3,…,N。

image.png

当电磁波从所有端口入射,通常可以写为:

image.png

或者[V-]=[S][V+],其中[S]为散射矩阵。
假设所有端口具有相同的特征阻抗Z0,因此对于所有给定的端口有:

image.png

以及

image.png

综合以上方程,可以发现,S矩阵可以用阻抗或导纳的矩阵表示。例如,用矩阵形式表示为:

image.png

式中,image.png为N端口网络的归一化阻抗矩阵,则有:

image.png

式中image.png为单位矩阵。根据S矩阵的定义有:

image.png

可以观察到两个重要的结论。
1)首先,即使已经讨论过包含了入射和反射的电磁波,S参数并不仅限于散射参数。任意N端口网络,集总的或是分立的,都可以用一个S矩阵表示。然而,在微波频率证明了必须用S参数,这是由于前面提到的测量限制,在本章结尾将进一步说明。
2)对于任意可逆的N端口网络,已知阻抗矩阵的对称性,就可以知道S矩阵的对称性。即[S]T=[S],其中下标T表示转置,这可以用基本定义简单地证明。
除了可逆N端口网络的S矩阵的对称性,如果电路是无损耗的,根据能量守恒可以进一步简化。由于输出无损耗N端口网络的总能量必须等于入射的总能量,则有:

image.png

由于image.png,能量守恒可以表示为:

image.png

V+n为互不相关的入射电压,如果选择除了V+i之外的其他所有电压都为0,则有:

image.png

进一步可得到:

image.png

下标i为任意值。类似地,可以选择除了V+s和V+r(s≠r)之外的其他V+n都为0,可以得到(证明见本章习题15):

image.png

以上两种情况足以将散射矩阵大小限制为N(N+1)/2,而不是N2,这样的一个矩阵称为单位矩阵。
由于大多常见的射频电路是二端口网络,现主要讨论如图3.24所示的二端口网络的散射矩阵。

image.png

入射和散射的电磁波可以表示为:

image.png


如果输出接一个匹配的阻抗,则V+2=0,因此S11表示反射系数。但是,如果输出接一任意负载ZL,比值V+2/V-2必须等于负载的反射系数(V-2为入射负载),因此:

image.png

另外,可以求解出V+1和V-1,有:

image.png

这是修正后的输入反射系数。
对于一个可逆的二端口网络,S12=S21。如果二端口网络是无损耗的,根据能量守恒可以得到:

image.png

上式表明输入端和输出端的反射系数幅度相同,并且有:

image.png

举一个简单的例子,考虑一个分流电纳jB接在特征阻抗为Z0=1/Y0的传输线上,如图3.25所示。

image.png

S11是一个匹配负载的输入反射系数,因此有:

image.png

由于对称性,上式必然等于S22。为了计算S21,以输出为端口,强制V+2等于0,对于一个分流元件,则必须有V+1+V-1=V-2,据此可以推导出:

image.png

可以发现,图3.25所示的例子中得到的S参数实际上满足了能量守恒所决定的两个限制条件。
如果传输线的右边有一个不同的特征阻抗,即Z′0,可以很容易得到:

image.png

S22和S21可以类似地得到。
第二个例子,考虑如图3.26所示的集总放大器,进一步假设信号源和负载很靠近放大器,所以不包含散射元件。由于放大器是集总的,入射和反射电磁波将没有意义,但是,这还是展示了电路特性的内在本质,尤其是在考虑有效功率概念时。

image.png

设置散射矩阵的参考阻抗等于信号源阻抗,也就是RS,由于电路是单向的,大多数工作良好的射频放大器都是如此,所以S12=0。则有:

image.png

上式等于反射系数,与输出端无关。尽管电路是集总的,但仍然可以根据之前的基本定义计算V+1和V-1。由于:

image.png

则有:

image.png

现在定义与V+1和V-1相关的功率,即P+1和P-1:

image.png

注意到P+1实际上是前面定义的电路有效功率(Pa),而且传输到放大器输入端的总功率PIN可以表示为:

image.png

上式表明P+1和P-1具有与入射、反射波相似的概念,传送到电路的总功率是二者之差,如同P+1为入射功率,P-1为反射回信号源的功率。对于一个匹配的输入,S11=0,因此反射功率为0,意味着信号源有效功率全部传送到了放大器。
如果设定输出端的参考阻抗为ROUT,则有:

image.png

而且可以将有效功率增益简单表示为:

image.png


如果系统设计成输入/输出匹配,则有效功率增益简化为S212。

3.7低损传输线

虽然在分析时假设传输线是无损耗的,但提到过一般情况下电压相可表示为:

image.png
image.png

式中γ=α+jβ,参数α表示传输线的损耗[2,4,6]。这个结果可以通过修改传输线的集总等效电路得到,如图3.27所示,图中R与G同L与C一样,表示每单位长度的传输线损耗。描述传输线的新的微分方程为:

image.png

如果R=G=0,则方程可简化为初始的微分方程形式。而且在稳态情况下,相量的解具有之前提到的VS(z)=image.png的形式,γ可以写成[2]:

image.png

对于低损耗传播,α和β由以下两个式子得到:

image.png


式中image.png为特征阻抗。上式进一步表明,当电磁波在这样的低损耗传输线上传播时,传输线上给定点的功率衰减为image.png,这与第1章分析的RLC电路非常相似。
作为一个非常有建设性的例子,考虑如图3.28所示的同轴传输线。

image.png

在第1章的分析中,已得到image.png,推导出image.png。另外,有image.png,可以表示为电压项,image.png。可以进一步求出同轴低损耗传输线的G值和R值;介质泄漏G和电容很像,对此,要做的工作就是观察电流密度J=σE,其中σ为介电常数;因此可以得到一个非常相似的表达式(证明见第1章习题):

image.png

假设空气同轴线中介质泄漏如同电导率一样小是合理的,所以G≈0。为了计算导体的损耗R,假设频率足够高以至于电流只集中在距离导体表面深度δ处;另外,假设电流均匀分布,导体的电导率为σc,因此,对于内层导体而言,给定电流传导的面积为2πδα,则有:

image.png

式中将内层和外层导体的电阻相加,因为它们等效为串联连接。对于空气传输线,忽略G,则损耗因子为:

image.png

通过对α和b/a求导,可求得当b/a=3.6时损耗因子最小,由此得到特征阻抗为77Ω(对于空气,Er=1)。
另外,由于:

image.png

在r=a处电场最强,其值为image.png。由于传导到负载的功率为:

image.png

对于给定的可接受的最大场强Emax,当image.png时功率最大,此时Z0=30Ω。在最大功率传输(对于某个最大的场强)和最小损耗间直接有一个折中,通常应用时设定特征阻抗为50Ω。
显然在现代基于芯片尺寸和频率的无线电中没必要考虑50Ω的接口,但是大部分传统的外部元件,例如射频SAW滤波器或者天线都设定为50Ω接口。如在刚开始时所介绍的,为了连接这些元件,通常需要在射频IC和外围元件间有一个准确的或者接近于50Ω的阻抗的接口。另一方面,理想情况下,在全定制设计平台上不需要设定50Ω的特征阻抗,这个数字是任意的,只是简单地作为一个待定的设计参数。

3.8差分二端口网络

众所周知,差分二端口网络(尤其是差分放大器)得以广泛应用在射频设计中,最主要的原因包括高电源抑制、低二阶非线性和大摆幅。另一方面,大部分用于测量电路的信号源和网络分析仪都是单端的,通常用外部的单转双混合器测量这些电路。
考虑图3.29中差分输入阻抗2RIN=2RS,有效电压增益为g的差分放大器。

image.png

一个在输入端的image.png的理想变换器对信号源提供了单端输入阻抗RS。由于变压器是理想的,功率分为两半,分布在副线圈的两端,每端电压为主线圈电压的image.png倍,且有180°的相位差。每个电压经放大器放大g倍到输出端。后面同样接一个线圈比为image.png∶1的理想变换器,则测量到的总的有效电压增益为g,与单端的情况相同。大部分接收机输入端都是匹配的,通常有一个高阻抗输出,这是由于信号处于低频。如果负载是高阻抗的,就会测量到一个额外的6dB的电压增益,尽管这对无线电的性能影响不大。实际上,用来进行这种测量的变压器是用PCB板上窄带巴伦或者宽带混合电路实现的,它们的损耗必须事先测定,并在测量中排除。
尽管将在下一章讨论噪声,电路的噪声性能也具有相似的特点,把差分放大器看作两个相同的单端放大器进行处理[7]。

3.9习题

1.推导图3.30所示电路的L矩阵。

2.推导图3.31所示的双调谐电路的传输函数和输入阻抗。

image.png

3.利用并串转换计算将图3.32所示电路的输入阻抗从250Ω匹配到50Ω所需的L和C的值。

4.用史密斯圆图再次计算习题3。

5.用并串转换设计一个LC匹配网络,将一个输入阻抗为20Ω‖1pF的放大器匹配到50Ω。

6.在史密斯圆图上画出一个串联RLC电路的阻抗随频率的变化曲线。

7.考虑图3.33中的二端口网络,第二端接一个导纳YL,第一端接输出导纳为Ys的电压源vs。

image.png

(a)证明:

image.png

(b)使用Z参数再次作答题目(a),并计算Zin、Zout和Av的值。

8.在习题7中,证明在稳定和不稳定的边缘,Ys+Yin=0和YL+Yout=0都可以推出(Ys+Y11)YL+Y22-Y12Y21=0,这与Av为无穷大的情况是等效的。

9.在习题7中,当输入和输出同时共轭匹配时,功率增益最大,这在Ys和YL满足下面两个等式时实现:

image.png


这样的Ys和YL称为Ys,opt和YL,opt。

(a)证明Ys,opt和YL,opt可以由下式得到:

image.png

其中,image.png

(b)证明在上述最优情况下,功率增益为image.png,这也表明对于一个可逆的网络(Y12=Y21),功率增益小于1。特殊情况下,一个LTI无源网络不能放大功率。

10.计算低损耗传输线的微分方程和γ的值。

11.考虑带有分布式串联阻抗Zs和并联导纳YP的传输线,二者都是每单位长度值。

(a)证明在正弦稳态情况下,传输线上电压(或电流)相量的微分方程可以表示为image.png

(b)证明差分方程的解具有image.png

(c)计算有损传输线的γ的实部和虚部,已知Zs=jωLs+Rs,YP=jωCP+GP。γ的实部为电磁波幅度的衰减率。

12.考虑一个分布式无损传输线,带有每单位长度为L的串联电感和每单位长度为C(v)的分布式并联电容。电容为压控变容二极管。

(a)证明传输线上的任何行波必须满足经修正的电磁波方程:image.png

(b)假设C(v)=C0+αv,α≠0,并且具有f(ωt-βz)的形式解,其中image.png,将它代入导出的波方程中,证明该解为image.png

13.计算图3.34中电路的输入反射系数。

14.计算图3.35中电路的输入反射系数和VSWR;当X和RL为何值时VSWR最小?

image.png

15.证明image.png,其中对于任意N端口网络s≠r。

16.如图3.36所示,计算具有两个不同特征阻抗的传输线上串联了一个电抗时的S矩阵。

17.将二端口网络的S矩阵转换为Y矩阵,再反过来做一次。

18.考虑图3.37中的AM检测器,由正弦信号源驱动,其中vs(t)=Acos(ω0t)。

为了简单起见,我们假设二极管是理想的,其I-V特性如图3.37中右图所示,画出电容上电压和电流的草图,并从中得到输入电流;计算从信号源传递到检测器的瞬态平均功率;分析二极管导通的瞬态响应;已知平均功率,估算检测器的平均输入电阻。假设R<>1。

答案:image.png

image.png

19.设计一个LC电路使这个AM检测器的非线性输入电阻与电源匹配,试分析瞬态反射系数。

3.10参考文献

image.png

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