国外电子与电气工程技术丛书

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射频集成电路及系统设计
Radio Frequency Integrated Circuits and Systems

［美］霍曼·达拉比（Hooman Darabi）著
吴建辉陈超译

第1章

射频元件

本章将讨论射频设计中所涉及的基本元件，对于高频条件下MOS管的详细建模与分析可参考文献［12］。虽然文献中的模型主要是为模拟和高速电路开发的，但也能很好地适用于大多数工作在几吉赫兹（GHz）的射频应用中，尤其适用于当今纳米CMOS工艺。因此，本章中将更加详细地研究电感、电容和LC振荡器的特性。在本章中将对分布式电路和传输线的基本工作进行简要讨论，而在第３章将进行更详细的分析。在第４章和第６章中，将会讨论一些与射频相关的晶体管特性，如更详细的噪声分析、体效应及栅电阻效应。
LC电路广泛应用于射频设计中，涵盖调谐放大器、匹配电路和LC振荡器。相比于晶体管，由于电感与电容具有较好的噪声性能和线性度，传统的射频电路大量地采用LC元件，这些元件在射频模块中占据了很大的比例。出于成本考虑，现代无线电通信电路对LC元件的依赖已经减弱，但射频设计者仍旧很频繁地使用集成电感和电容。
本章首先简要地介绍电磁场，然后从电磁场方面仔细探讨电容和电感；之后从电路的角度讨论电容、电感和LC振荡器；最后通过介绍集成电感和电容的规则及设计总结本章节。
本章涵盖以下主题：
●电磁场及电路中电容和电感的定义。
●麦克斯韦方程组。
●分布式元件和传输线的介绍。
●能量、功率及品质因子。
●无损和低损的谐振电路。
●集成电容和电感。
对于课堂教学，建议重点关注1.7节、1.8节和1.9节，而1.1～1.6节可以安排为课后阅读，如果认为有必要，可以做一个简单的总结。

1.1电场和电容

首先简要回顾一下电场和电势，并据此定义电容的概念。

1875年，法国军官查尔斯·库仑首先提出了库仑定律，表述的是真空或自由空间中相隔一段距离的两个点电荷间的作用力与每个电荷的电量成正比，而与它们之间距离的平方成反比（如图11所示）。库仑定律与一百多年前发现的牛顿万有引力公式非常类似。设力（Ft）为某一试探电荷在单位电荷产生的电场强度下受到的力，E通过下式所示的方式，以V/m（伏/米）为单位测量得到：

式中加粗的字体表示三维空间中的向量，ε0=136π×10－9F/m（法拉/米），表示真空介电常数，Q表示以库仑为单位的电量，ar是指向电场方向的单位向量，向量r的方向是从Q出发到空间中的某一兴趣点P，并且r与ar的方向相同（如图1.1所示），图1.1中，Qt是电荷Q产生的电场中的测试电荷。
在很多情况下，电场用高斯定律更容易计算，表述为通过任何密封空间的电通量D＝ε0E，等于该空间中包含的总电量，数学表达式如下：

式中∮SD·dS表示对密闭空间进行积分。点（·）表示向量幅值与二者间所夹锐角余弦的乘积。电荷Q可以为一些电荷的总和，即Q=∑Qi，对应于体分布电荷——，或者面分布等。面积分的本质表明只有D的表面法向向量才对电荷有贡献，反之，对于切向成分，D·dS等于零。
例如，考虑一个内圈半径为a、外圈半径为b的长同轴电缆，其内部导体的外表面电荷均匀分布，其密度为ρS（而外部导体的内表面电荷密度为），如图1.2所示，方便起见，图中用柱坐标表示［3］。

通量在ar方向有分量，垂直于同轴电缆表面。对于z轴方向的任意长度L，有：

因此，对于环内，即a<r<b，有：

环外的电场和通量密度都为零，净电荷为零。
基于电能的定义，A点与B点间的电势差（VAB）定义为：

式中W表示以焦耳（J）为单位的能量，表达式右边为电场的线积分。电势的物理解释为沿着电场线方向把电荷Q从A点移动到B点产生的能量损失，对应地假设A点为高电位。通过线积分的定义，闭合路径的静电势能总和一定为零，即∮E·dL=0，这是基尔霍夫电压法则或KVL的一般描述，该方程的物理意义为当一个电荷经过一个闭合路径，所吸收的能量和所释放的能量平衡，

即没有做功。
本节最后对电容进行定义。假设有两个带异性电荷（每一个电荷的电量为Q）的导体M1和M2在介电常数为ε=εrε0的电场中（如图1.3所示），同时假设两导体间的电势差为V0，定义以法拉为单位的电容为：

同时，C也可以写作：

该式表明电容与电荷量或者电势无关，根据高斯定理，E（或D）与Q呈线性关系。

在物理意义上，电容可表示为电学系统储存电能或者等效电通量的能力，与电感储存磁通量类似。
回到之前同轴电缆的例子，内层和外层导体间的电势差可以通过对E=D/ε（其中D在之前就已经得到）进行线积分得到，则有：

因此单位长度的电容为：

显然，电容只与同轴电缆的半径和介电常数有关。

1.2磁场和电感

一个稳定的磁场可以通过以下3种方法获得：永磁体、线性时变的电场，或者仅仅用直流电产生。永磁体在射频和微波器件中有一些应用，如用在无损环形器中的无源、非互易的回转器［4-5］。然而，本书更加关注后两种产生稳定磁场的方法，关于回转器和循环器的讨论可参考文献［4］。
在1820年，毕奥萨伐尔定律提出，将给定点P的磁场密度H（表示为A/m）与流过长度为dL理想灯丝的微分向量（如图1.4所示）的电流I的关系表示为：

叉乘（×）表示两数幅值相乘的结果再乘以较小夹角的正弦值。磁场方向垂直于导线和向量r确定的平面，向量r的方向根据右手螺旋法则确定。该定律指出：磁场强度与电流大小成正比，与离P点的距离平方成反比，同时与电流元和从电流元到P点之间夹角θ的正弦成正比，如图1.4所示。

关于磁场描述，更为大家熟知的是于1823年由安培提出的定理，即安培环路定律：

上式表明磁感应强度矢量（H）沿任一闭环路径的线积分等于该路径所包含的电流（如图1.5所示）。该定律被证明是更有用的，因为只要已知该磁场结构就可以轻松地计算磁

场，当电流对称分布时更是如此。通过比较，安培环路定律与高斯定律相似，而毕奥萨伐尔定律与库仑定律更为相似。

例如，假设有一根长同轴电缆中心导体通过电流为I，外层电流为-I，如图1.6所示，显然z轴方向没有任何场强分量，这是因为场强的方向必须垂直于电流方向，而且根据对称性，H不可能是φ或者z的函数，因此可以写为。在同轴线内，即a<r<b，通过线积分可得：

另外，与电场相似，由于电流通量为零的线圈外的磁场也为零，表现出同轴电缆的屏蔽作用。应该注意到，在电缆内部，磁场由环绕着电流的闭环组成，与从正极开始终止于负极的电场线相反。
真空中，磁感应强度B（单位为特斯拉或Wb/m2）定义为：
B=μ0H
式中μ0=（4π×10－7）H/m（真空中），称为磁导率。通过一确定面积S的磁通量φ定义为：

通常磁通量是电流I的线性函数，即φ=LI，其中比例系数L为感应系数，单位为亨利，有：

由于H为电流I的线性方程，根据安培定律（或毕奥萨伐尔定律），感应系数是导体的几何形状及电流分布的方程，而与电流本身无关。例如，计算之前例子中的同轴电缆的总磁通量，可得到单位长度中感应系数为：

然而根据高斯公式，同一根同轴电缆每单位长度的电容等于：

显然LC=μ0ε。
通过磁链定义回路1和回路2之间的互感M12，则有：

式中φ12表示I1产生的穿过电流为I2的线圈的磁通量，N2是线圈2的匝数。因此感应系数依赖于两电流之间的磁相互作用。
例如，假设有N匝有限长度为d的密绕线螺旋线圈，其电流为I，如图1。7所示，假设相对于直径，螺旋线圈很长。
磁场方向为az的方向，电流与aφ同向，由安培定律可知在螺旋线管上有：

如果半径为r，则对应面积为A=πr2，其感应系数为：

现在考虑两个同轴线圈管，半径分别为r0、r1，且r0< r1，通过的电流分别为I0和I1，匝数分别为N0和N1，如图1.8所示（顶视图）。

为了得到互感系数M01，有：

其中是较小的螺旋线圈产生的磁场强度，由于较小的螺旋线圈外的H0为零，因此可以得到：

通过相似的过程可以得到M10，其值与M01相等，与预想的一样，符合互易性。

1.3时变场和麦克斯韦方程组

正如之前所述，时变场也能产生电场和磁场。在1831年，法拉第发表了基于实验的发现，证明了一个时变的磁场确实可以产生电场。他将两根铜丝分别绕在一个铁圆环上，其中一根接电流表，而另一根接电池和开关（如图1.9所示），当开关闭合时，观察到电流表的指针瞬间偏转了；同样，当开关由闭合到断开时，他观察到了指针的偏转，只是偏转的方向与前一种情况相反。用场的理论解释，可以认为时变的磁场（或磁通量）产生了一种电动势（单位为伏特），从而在闭环电路中产生了电流。时变电流，或者恒定通量与一个闭环的相对运动，或者两者都发生，都会产生时变的磁场。

法拉第定律通常表述为：

其中线积分来源于电压的基本定义（E为电场强度），负号表示由于磁通量增加所产生的感应电流将会减小法拉第磁场的幅值，这就是众所周知的楞次定律。
类似地，时变的电通量会产生磁场，由修正的安培环路定律表示，其表达式为：

式中D为电通量密度，麦克斯韦定义为位移电流。总之，积分形式的麦克斯韦方程组可以表示为：

如前所述，第3个方程为高斯定律。第4个方程表明：与电场方向从正极开始终止于负极不同，

磁场形成同心圆，即磁通线不会终止于磁极，而是形成一个闭环（如图1.10所示），因此，一个磁场（或磁通量）的闭环表面积分值为零。
在真空中，媒介是无源的，电流I（或ρV）等于零。结合前两个麦克斯韦方程式，可以推导出E对位移的二阶偏导与其对时间二阶偏导的关系，以描述真空中的波动。例如，如果E=Exax，或者如果电场仅朝x方向，可直接用公式［6］或者利用差分形式的麦克斯韦方程得到：

z轴方向的传播速度定义为：

式中c=（3×108）m/s，为真空中的光速。

1.4电容和电感的电路描述

电容的电学符号如图1.11所示，电容上的电压（V(t)）和电流（I(t)）满足以下关系：

式中Q为电容上存储的电荷量，上式即为众所周知的连续方程。对于线性时不变的电容，由于Q＝CV，可以得到电容表达式：

需要注意的是在大多数物理书中，连续方程都表述为，表示正电荷向外流动必须与闭合表面电荷（Q）减少量相平衡，此时忽略了负号，因为在图1.11中，电流以极板电荷随时间增加的比率流入，而非流出。

电感的电学符号如图1.11所示，其电压和电流需要满足如下关系：

式中φ表示磁链，该方程是法拉第电磁感应定律的直接结果。由于φ=LI，故可得到众所周知的表达式：

在电感的I与V表达式中再次忽略了负号。下面证明上式是否符合楞次定律：假设电流增加，即dI/dt>0，表示磁场必须同时增强，因此dφ/dt>0，同时V（t）＞0，即A点的电势高于B点的电势，产生了阻止电流进一步增加所需要的极性，符合楞次定律。

1.5分布参数电路和集总参数电路

基尔霍夫电压定律（KVL）表明：沿着闭合回路所有的电动势的代数和等于零，即∮E·dL=0，然而麦克斯韦第一方程（或前面介绍的法拉第定律）中的表述与此不同。麦克斯韦第二方程中的时变项是位移电流，同样违反基尔霍夫电压定律。为了进一步证明，研究一下如图1.12所示的简单电路，该电路由一个理想的（零电感和阻抗）导线连接平板电容的两端而构成回路。

假设外加一个磁场于环内，该磁场强度以时间的正弦规律变化，因此根据法拉第定律，电容上产生了大小为V0cos（ω0t）的感生电动势；另一方面，假设导线是理想的，则由基尔霍夫电压定律可知电容上的电压为零，此时电容上的电压在导线中产生的电流I为：

式中ε，A，d都是平板电容的参数。在任何闭环回路中，根据安培环路定律可知电流可以产生磁场，尤其当该特定闭环经过电容的两个极板时，可以得到位移电流。在电容内部有：

根据麦克斯韦第二方程，位移电流为：

上式与之前得到的闭环电流结果相同。
上述结果引出关于集总电路和分布参数电路的讨论。如果各参数之间的传输延时可以忽略，则可认为电路中基本参数及其之间的联系是集总的（此时可以应用基尔霍夫电压定律和电流定律）；如果元件足够大或者频率足够高（或等效延时足够短），此时就必须视为分布参数元件，这意味电阻、电容和电感都必须用单位长度元计算。分布式电路的常见例子是传输线或波导管，用于将电磁能从一处传到另一处，两处之间的距离远大于波长。下面举个例子说明如何处理分布参数电路：假设一根无损导线连接电源与负载，如图1.13所示。

由于每一部分都对应到导线中很小的一段，即dz趋近于零，不考虑导线的分布特性，该部分满足KVL（基尔霍夫电压定律）和KCL（基尔霍夫电流定律）。
由KVL可得：

进一步可得：

类似地，由KCL可得：

上式两边对空间（z）求偏导，同时对时间（t）求偏导，则可消除电流项，即有：

可以发现这个微分方程与之前在波传导部分中给出的方程很相似，其中电压替代了电场强度，传播速度（稍后定义）则为。由于L和C分别为每单位长度的电感和电容，它们的单位与波导公式中μ和ε的单位一致，即H/m和F/m。
该微分方程的解可表示为：

通过将描述分布式波传导的原始微分方程中的V(z,t)代入上式即可证明，式中函数f1和f2为任意二阶偏导函数，并以t±2ν为自变量，f1和f2的变量分别表示函数在z轴方向上前移或者后移，因此分别用V+和V－表示。为了更好地理解，假设保持函数f1的自变量恒为零，z必须以ν×t的速度随时间而增大，因此函数f1发生前移，或朝z轴的正向移动；另一方面，对于f2，z随时间减小，表示向后移动。正向移动信号如图114所示，图中f1和f2都为正弦函数，实际上这是将在第3章讨论的正弦波稳态解的情形。

通过解原始的微分方程可以得到传播速度：

对于电流，有如下相似解：

式中Z0表示导线的特征阻抗，以欧姆（Ω）为单位，其值为：

尽管Z0以欧姆为单位，但是由于已经假设导线是无损的，所以它并不是一个物理电阻，仅仅是将向前、向后的电压和电流联系起来（如图1.13所示）：

回到之前同轴柱的例子，由于L和C的值都已经得到，其特征阻抗可以表示为：

式中ε=εrε0，为同轴柱的介电常数；由a、b和ε的典型值可以得到特征阻抗约为几十欧姆，通常设为50Ω。

1.6能量和功率

根据电磁场理论可以定义储存的静电能和磁能为［6］：

式中WE和WH分别表示电能和磁能，以焦耳为单位，上述积分都为体积分。
根据电路理论，如图1.15所示，信号源连接到单端口网络，电流I(t)流入该端口，并在该端口上产生电压V(t)。

电源给该端口提供的功率定义为：
p(t)=V(t)I(t)
初始时间t0到时间t由电压提供的能量为：

对于初始电压或电流为零的理想电容，即Q(t0)=0，有：

式中积分内的V和I都以等效的电荷量Q代替，与电感类似，有：

可以再一次证明能量方程中μ、ε与L、C及E、H与V、I之间的相似性。由于E和ε都以每米（/m）为单位，故场能量积分都是体积分。注意，有时采用能量定义计算一个给定的几何形状的电感或电容更方便，例如可以采用

计算电感（与先前提到的L＝φ/I相对应）。根据其定义，WH是B和H的函数。基于H表示WH和I，可以得到：

上式表明电感仅仅是几何形状的函数，而不是电流的函数，这是之前所讨论的定义的一个证明。关于互感也存在相似表达式，其中的积分定义在两个载流电路中（如图1.16所示）：

总结电场和磁场与电压和电流之间的相似性是有意义的：

同时需要注意高斯定理和安培定律之间的相似性，同时还有库仑定律及毕奥萨伐尔定律之间的相似性。

1.7 LC和RLC电路

在了解了背景知识以后，可以用正确的工具来分析LC电路。理想的（无损的）LC电路如图1.17（左图）所示。

假设电容的初始电压为V0，根据电路知识，初始电流可能来源于与电路并联且大小为I(t)=V0δ(t)的脉冲电流源。如果脉冲有一个大小为V0的电荷量，电容的初始电压将为vC(0+)=v0。将电容上电压vC(t)视为变量，可以得到：

通过对上式两边进行拉普拉斯变换可以求解出上述微分方程，有［7-8］：

得到电路的两个极点分别为，最终的解为：
vC(t)=V0cos（ω0t）
下一步将计算储存在电容和电感中的电能，根据之前章节的讨论，有：

相似地，电感流过的电流为：

由于C＝1/Lω20，则有：

因此任意时刻总的能量都为，即为一个常数，并且等于电容上最初存储的电能。由于LC电路是无损的，能量仅在电容和电感中间接转换，表现出稳定振荡，这是可以预期的结果，如图1.18所示。
实际上电容和电感都是有损耗的，可以将总的损耗看作一个并联电阻，如图1.17右图所示。假设损耗是适度的，即在关注的频率下电阻值比电容和电感的阻抗都要大，可以得到新的微分方程：

可解出其复数极点为，式中Q称为品质因子，其值为!
。为了得到复数极点，Q值必须大于1/2，该定义只是品质因子的数学表达式，也可以从能量的角度分析其物理意义。图1.19显示了复数极点在s域中的位置。

定义φ=arccos（ωd/ω0），则电容电压vC(t)和电感电流iL(t)可表示为：

假设Q>>1，储存在LC中的能量近似为：

表明初始能量CV20/2以e的指数幂减少，如图1.20所示。
与理想谐振器相似，电容与电感上的能量以频率ωd（稍小于ω0）在两者之间转换，最终衰减为零。总的能量衰减率或等效为电阻耗散功率：

重新整理上式，可以得到一个更具有物理意义且可能是更基础的品质因子的定义：

注意，如图1.21所示的曲线上的任何一点的斜率（即归一化衰减率）都等于WT/Q。

为了保持稳定振荡，必须补偿电阻所消耗的功率，由于无源电路不可能产生能量，所以必须通过有源电路实现，如图1.22所示。功率的产生要求电流电压乘积为负，所以希望有源电路的IV特性曲线的斜率为负值，实际上相当于一个负电阻抵消正电阻造成的功率损失，斜率越大，则效率越高。忽略有源电路细节的影响，建立理想的单端口电路模型，其IV特性曲线如图1.22所示。能量转换需要能量源，通常通过直流电源给有源电路供电（即图1.22中的VDD），可以合理地假设，随着电压或者电流增加，它们最终会达到一个极值，如图1.22中标示的I0一样。

当消耗的功率与补偿的功率处于稳定状态时，电容上的电压为vC(t)=V0cos(ω0t)，与理想的电容器一样，存储的总能量一定等于CV20/2。
由于该电压加到有源电路上，希望由该电压产生的流过有损LC的电流如图1.23所示。

因此，谐振电路的平均功耗（与有源单端口产生的功率相等）为：

根据品质因子定义，有：

在并联RLC电路中，Q=RCω0，因此有

上式表明稳定振幅V0仅仅是单端口电路饱和电流和损耗量的函数。当忽略其电压时，单端口电路始终从电源摄取2I0的恒定电流（以产生如图122所示的波形），因此其效率为：

假设V0可以达到的最大摆幅为2VDD，可以很直观地解释这一结果，由于假设的高Q值的谐振器产生正弦波，而有源电路提供的电流是方波（如图123所示），使其IV特性曲线的斜率非常陡。只考虑基波，则其损耗因子为2/π，这与第7章中将要介绍的硬开关混频器的结果相似。
不必过多地关注如何实现保持振荡所需的有源电路，本章的重点是在LC电路本身，而有关前面提到的各种实现有源电路的拓扑结构将会在第8章关于LC振荡器的章节中介绍。
实际上，与模型相反，电感由于有限的导线电导率而存在欧姆损耗，物理模型等效于串联了一个电阻，如图1.24所示。虽然将会在第3章中系统地证明这一点，但是很容易证明当Q值很大时，图124中的两个电路是等效的。品质因子为：

另外，如果电容存在并联电阻损耗，假设所有元件都具有高Q值，则可以得到等效并联RLC电路的Q值：

式中的QL和QC分别是电感和电容的品质因子。

1.8集成电容

在实际应用中经常需要调节LC谐振回路的振荡频率，例如，在一个调谐放大器中，可能需要进行离散调谐以展宽带宽，而在锁相环的振荡器中，同时需要离散与连续调谐。由于物理结构限制，电感经常是不可改变的［9］，虽然提出了通过采用多抽头分段电感的多种结构，但这通常以影响性能为代价，而且最多也只能提供离散调谐。另一方面，电容非常适合调谐，本节将会讨论一些经常在射频集成电路中使用的方案，在此之前，首先简要地讨论集成电路中常见的固定电容。
MOS晶体管的栅电容可用以实现高密度但是非线性的电容，如图1.25（灰色曲线）所示为一个40nm常规NMOS管电容与栅极电压关系的仿真曲线，根据栅极电压不同，晶体管可以工作在积累区（VGS<0）、耗尽区（0VTH）［2］。器件的阈值电压（VTH）估计为400mV左右，在反型区或积累区，电容值达到最大，近似等于栅氧电容COX，为了得到较好的线性响应，器件偏置电压应大于阈值电压（在以下的例子里即比500mV大），对于低电源电压的场合并不适用。而且，MOS电容经常有很大的栅极漏电流，这可能是个很大的问题，因此，可选用厚氧器件，虽然密度较低，但是漏电流很小。

为了避免反型，NMOS管可放在n阱中［10］，也不会有额外的花费，这即为众所周知的积累型MOS电容（如图1.26所示），对应的晶体管要么工作在耗尽区，要么工作在积累区。

此时的CV特性曲线如图1.25（黑色曲线）所示，尽管电容仍然具有很强的非线性，但积累区从0V左右开始，而不是阈值电压附近，因此，器件较易偏置于低电压下，而且更容易使栅电容达到近似为COX的平坦区域。
在大多情况下，如当电容连接在运放的反馈回路中时，采用相对大的偏置电压可能是不现实的，一个替代方法是采用由边缘场构成的线性电容，而在大多现代CMOS工艺中，由于金属线靠得很近，这种边缘场的电场强度很高。虽然存在信号走线和模块间连接的问题，但同时会有很多金属层可用，在制作线性电容时，可以充分利用这些优势。如图12.7所示的一个例子中，为了使密度最大化，在工艺所允许的最小空间中走最小宽度的金属线，两端组成类似梳状的结构，另外，连接在每一端的多层金属会被放在各自的顶层，从而进一步增加密度。

在CMOS工艺中，通常提供厚的或者超厚的顶层金属层用于产生时钟树布线或者电感。由于所允许的最小间距太大，顶层厚金属层可能用不到，另外关于底板寄生电容大小也必须考虑，因此，放弃底层金属层中的一层或者两层也许是有利的（尤其是多晶硅和M1金属层，因为它们的薄膜电阻很大），使电容的位置进一步远离衬底，进而减小底板电容。然而，如果使用更少的金属层，对于相同的电容值，电容结构需要更大，底板寄生电容也会因此而增加。在M6 40nm CMOS工艺中，最好的折中为使用M3～M5金属层，电容密度约为2fF/μm2。底板（或顶板）的寄生电容通常非常小，大约为1%～2%，对于给定的结构，通常很难通过公式计算出精确的电容量，最好采用参数提取工具（如EMX）预测电容值。
电容的集总模型如图1.27所示，由于电容的物理结构特点，底板和顶板寄生通常是对称的，并与衬底相连，衬底是有损耗的，通常用并联RC电路作为模型。由于底板寄生电容（Cbottom）很小，RSUB对于体工艺通常很大，该损耗对于频率高达几GHz的信号来说不能忽略。此外，构成梳状线的金属也存在串联电阻，对于给定的电容，如果该结构由N个小单元并联组成，其电阻将会减少到1/N2，对于一个好的设计，典型地会得到一个很高Q值的电容。
由于金属线之间的物理间隔通常随工艺改善，边缘电容可以很好地随着工艺减小尺寸，图1.28所示为在一些最近标准CMOS工艺中的最大叉指边缘电容密度，以fF/μm2为单位。注意，与MIM（金属绝缘体金属）电容不同，边缘电容不需要额外的工艺步骤，因此不需要额外的花费。通过比较，28nm工艺下薄氧MOS电容为23fF/μm2（对应的栅氧厚度约为1.25nm），而厚氧的MOS电容为10fF/μm2。需要注意的是，如果使用MOS电容，通过填充顶层边缘电容可以进一步提高密度。

连续调谐可以通过使用之前讨论的两种MOS结构中的一种实现，特别是，如果需要提供更宽的调谐范围，n阱中NMOS结构更合适。对于常规的NMOS，忽略施加的直流偏置，如果谐振回路的电压摆幅很大（与大多数CMOS振荡器一样），有效电容近似为COX，这是因为耗尽区电容在CV曲线中只对应一个相对窄的区域（如图1.25所示），为了证明这一点，图1.29显示了28nm MOS电容的大信号仿真，图中给出了4个不同的信号摆幅——0V、0.5V、1V和1.8V下的有效电容与控制电压的关系，此处的有效电容定义为电流的基波分量除以电容的电压摆幅，并对角频率进行归一化处理。

对于常规MOS电容，最大电容对最小电容的比率（近似为COX比COX‖CDEP）约为2.5，当信号摆幅增加时缩减到小于1.4。另一方面，积累型的可变电容器的最大电容与最小电容的比值更小，约为2，当信号摆幅达到1.8V时也可以很好地保持。这两种可变电容尺寸相同，同时采用沟道长度为0.75μm的厚氧层NMOS管。对于短沟道电容，虽然会导致有高Q值，但是可调谐性更差。
由于连续可调谐电容的Q值不一定很高，可以通过将MOS可变电容与开关线性电容一起进行离散调谐以获得更宽的调谐范围，并且不牺牲Q值，如图1.30所示［11］，这也会导致低的压控振荡器（VCO）增益，因此对VCO控制电压的噪声和干扰更不敏感。MOS管可变电容只需要提供足够的范围以覆盖最坏情况下的离散步长。

更大的开关会导致低阻抗，由此产生更好的品质因子，然而，开关在断开时的寄生电容会限制调谐范围。如果设计成差分，可以得到相同的调谐范围，但是Q值加倍，同时导通电阻减半。一个28nm CMOS工艺下的差分设计如图1.30所示，由32个40fF的线性电容单元组成，总的电容可以从430fF变化到1.36pF（大约3倍），步长为29fF（远小于40fF，因为开关寄生）。在3.5GHz下，当所有的电容都接通时，Q值从最大的80变到45。开关尺寸为11×1/0.1μm。

1.9集成电感

单片电感最先在1900年引入硅工艺［12-13］，从此广泛地用于射频和毫米波应用中。由于制造限制，片上电感通常用金属螺旋线实现。为了得到更低的功率损耗和更高Q值的电感，通常使用顶层金属，其厚度典型地很厚甚至超厚。应用毕奥萨伐尔定律计算磁场，可以得到一根长度为l的矩形断面在中等频率（几GHz）下的自感［14］：

式中t为金属厚度，对于给定的工艺，其值是固定的，而W是金属宽度，这是一个设计参数，所有的单位均为米，假设长度远远大于宽度，则相同导线在低频下的方块电阻为：

式中R□为金属方块电阻（对于40nm工艺极厚的M6金属层约为10mΩ/□）。增加W会减小片电阻值，但也会导致电感的减小和面积的增加。如果对于给定的电感只考虑得到最大的Q值，只增大W也只会在一定的范围内有所帮助，因为更大的W需要更长的长度来保持感抗，并产生更大的电阻。实际上，感抗对W的对数依赖特性说明开始增加W会造成Q值很大程度的改善，但是超过一定值只会导致更大的面积和更大的电容，对于Q值的改善很小。
例如，对于l=1mm，W=7μm，t=3μm的情况，感抗约为1.16nH，低频下M6金属层的串联阻抗为2.8Ω。假设低频并联电阻为唯一的损耗来源，这将导致在4GHz下的Q值上限为21.6，然而在实际中并不是这样。事实上在更高频率下的趋肤效应将会导致更低的Q值，与上述公式显示情形一致。可以通过观察良导体表面的电磁波表现的本质特征来理解趋肤效应。在之前的章节里简洁地讨论了波传导的基础，这里只给出其最终的结果，因为更详细的讨论超出了本书的范围［4-5］。在一种导电介质中，传导电流σE远远大于位移电流，电场可以表示为：

假设电场只在x轴方向，γ值为：

式中σ为电导率，ω0为频率，为趋肤深度，这表明在导体中，在离趋肤深度为δ的导体中场衰减了e-1，这可以与金属在高频下的宽度或者厚度相比拟，例如在40nm CMOS工艺下，M6金属层的表层厚度在4GHz时约为1μm。结果，有效的电流更多地趋向于在表面流动，因此增加了电阻值；对应地，一个包含趋肤效应修正的金属电阻表达式如下：

式中t为金属厚度。在低频时δ很大，等式可以简化为关于电阻的原始表达式。然而，在高频时，指数项趋于零，因此有：

即t在高频时被δ代替，很显然会导致更大的电阻值。

1.9.1螺旋电感

如之前所描述，采用一根长导线作为电感显然不是一种可行的选择，除了面积之外，将其连接到任何电路都是不实际的，用其构成更为紧凑和实际的螺旋线则更为普遍。最自然的选择是圆形，然而，圆形在集成电路中是物理上不可实现的，相同的长度可以环绕成方形螺旋，如图1.31所示。根据毕奥萨伐尔定律，4条边的磁场在中心叠加，方向垂直于纸面，尽管不会在边上显著地叠加。由于允许45°角存在，对于圆形更好的近似可能可以用六边形或者八边形实现，这会导致磁场显著增强（如图1.31所示），通常达到更大的Q值。

螺旋线的电感可以表示为以下一般表达式［14-15］：

式中第一项表示每条边的自感之和，第二项和第三项表示传输同向或者反向的平行边之间的互感。如图1.31所示的单匝方形螺旋线的情形，由于平行边只传输方向相反的电流，所以式中第二项不存在。对于之前的例子，暂时忽略互感项（第三项），并假设每条边的长约为250μm，总的电感为4×0.22=0.88nH，此值比由直线结构得到的1.16nH小。显然，这与之前所述的电感量与电感长度的附加对数有关。事实上，当负的互感进一步减小时，这个电感量会更小，由于串联电阻几乎相同，之前得到的上限Q值也要对应减小。两根长度均为l相距为d的导线之间互感的封闭表达式单调冗长，不利于计算［15-16］，为了进一步观察，只提供两根长度为l的丝状线（其t和W都远比l和d小）的表达式，其封闭公式的解相对简单。直接通过毕奥萨伐尔定律对空间积分就可以得到以下公式：

对于之前的例子，如果l/d≌1，此时很好地近似于一个方形单匝电感，两个直角边的互感大约为每条边电感的12%，进一步减小了总电感。
另外，增加线圈的匝数可以增加电感（如图1.32所示），假设内径（DIN）很大，即内径和外径（DIN和DOUT）相差不大，这种增加是因为电流方向相同的相邻边之间贡献了很大的正互感，而由于电流方向相反的边之间的负互感因其距离远依然很小，所以，在设计螺旋电感时，通常采用中空的结构，并且相邻的边尽可能地拉近，但是保持很大的内径会限制所允许的线圈匝数。

多匝电感通常有更高的Q值，但同时也存在更大的电容，多匝电感对Q值的改善并不能达到预期的原因是一种称为电流拥挤效应或者邻近效应的现象［15］。临近匝之间旋涡电流的互感和与之相关的损耗增加了Q值损耗，进而限制了Q值的改善。如果所需要的电感很小（即几纳亨），此时大半径的单匝线圈依然是最佳的选择。
通常对于一个给定的结构，知道金属宽度（W）、相邻直角边的距离（S）、线圈匝数、内外径或是总长度，就可以充分地表示电感（如图132所示）。对于大多数射频应用，集成电感的实际值从几十纳亨到几纳亨。除了非常简单的结构，获得电感值的封闭公式是不可能的。已对得到关于螺旋电感值的封闭表达式已做过大量尝试，这些表达式都有不同程度的准确度损失［16-18］。考虑到效率和精度，最好用例如EMX或者HFSS 等普通的三维电磁模拟器，其现已广泛地被射频设计者采用。

1.9.2二阶效应

除了欧姆损耗，还有很多其他因素限制电感的性能，如图1.33所示，金属条与衬底之间不可避免地有非零电容存在。

这种电容限制了电感可以应用的最高频率，通常称为自谐振频率，即总的寄生电容与电感谐振的频率。为保证正常工作，自谐振频率应明显高于电感应用的最高频率，而且这种电容是连接到有损的硅衬底上，会降低更高频率下的品质因子。电感线不同边之间也存在电容，这种电容在单匝结构中可以忽略，然而在多匝结构中，这种电容将会相当重要，这是为了最大化的互感，电感相邻边放置得很近。实际上，在多堆叠结构（如图1.34所示）中这种电容更大，这种结构中一些构造相似的电感用更低层金属串联起来，在不增加面积的前提下增加电感；考虑到更低层金属引入更大的方块电阻，这种结构也会导致Q值下降，所以除非需要很大的电感，否则这种结构不常用。

另一种结构是将一些用更低层金属设计的电感通过并联的方式连接彼此（如图1.34所示）。虽然不会引起感抗增加，但是在某种程度上会改善欧姆损耗，由于更低层金属对衬底的电容更大，这种结构以更低的自谐振频率为代价。由此，出于以下两个原因，这种结构的Q值可能也不会得到明显的改善：第一，更低层金属的薄层电阻性能更差；第二，由于对衬底的寄生电容增加，电容耦合使得Q值衰减更严重。在更低的频率下，比如1GHz或者更低时，这种结构可能有帮助，但在更高的频率下，如2GHz或者更高时，除了上述两点原因，趋肤效应也会变成很重要的问题，并联金属层可能不会改善Q值。
如图1.33所示的结构在高频时也会有磁损耗，交流电流流过电感线圈产生时变的磁通量，从而产生磁场。法拉第定律说明衬底中产生电场Esi。根据欧姆定律，这一电场产生的电流密度为J=σsiEsi，其中σsi为硅衬底的电导率，这就像存在一个变压器，表示与电感并联的衬底电阻（或损耗）（如图1.33中右图所示）。为了降低这种损耗，希望选用较高的衬底电阻（更低的σsi）。
幸运的是大多数现代CMOS工艺采用的衬底的电阻率相当高。电容损耗通过增加金属屏蔽层会有所减缓，但是磁损耗与此不同，增加屏蔽层通常没有作用，因为这相当于将电感短路。为了进一步解释，如图1.35所示，在28nm CMOS工艺下1nH电感有无本征层情况下的仿真Q值，没有本征层则导致大量的衬底注入提高了常规NMOS器件的阈值电压。因此，沟道电导率会从10mS/m增加到约50mS/m，虽然低频时Q值的差别很小，但是高频时衬底的电导率增加会导致Q值的衰减，因此这一层应该设计为免除屏蔽层，并减小高频时的衬底损耗的影响。

1.9.3差分电感和变压器

如果在一个差分电路中应用两个相同的电感，则它们可以用一个差分电感替代，即两个单独的电感组合起来（如图1.36所示）［19］，这自然会使得设计更紧凑，而且更小的面积意味着更少的衬底损耗和电容，这在高频的情况下很重要。当然，以上说明是基于这样一个假设，即用差分电感来实现两倍大的电感，其面积与一个单端电感相比保持不变。这通常与事实不符，面积通常会增加一点，但是本质上面积是节省的。

尽管希望减少与衬底之间的耦合电容（理想条件下为一半），与两个间距很远的单独电感相比，差分电感相邻边之间有较大的电容，因此差分拓扑结构主要的缺点为自谐振频率更低，如图1.36所示。差分电感的另一个缺点是，任何不期望的到电感的耦合(通过寄生电容，尤其是磁源)，都会以不期望的差分信号的形式出现在两个端口上；然而对于两个单端电感，如果寄生源足够远，就会以共模噪声的形式出现在输出端。
注意差分电感实际上是个变压器，第二个端口短接到一起连接到共模电压上，如图1.36所示（最右端）。因此在设计变压器时或多或少会遇到一些相似的折中，明显地，重点在于将主要的走线和次要的走线排布得越近越好，以最大化耦合系数（K）。通过合理设计，K值可以达到0.8。
在第3章中将会从电路的角度更深入地讨论变压器。

1.9.4电感集总电路模型

电感的尺寸相对较大，其本质上是分布式的，通过简单的集总元件可以很方便地对电感建模。
最常见的电路如图1.37所示，由低频电感（L）、串联欧姆电阻（r）、衬底的氧化物电容（COX）、衬底模型（RSUB和CSUB）和用以模拟相邻边间的电容（CF）组成。这种模型的主要优点是其所有的元素都是物理存在的，而且提供了在很宽的频率范围内都有效的合理近似。因此射频设计者经常用这种模型来模拟电感。由于衬底特性并不完全已知，RSUB和CSUB通常是拟合参数，COX与RSUB/CSUB一起足以用来计算衬底的磁损耗和电容损耗。虽然本模型适合表示至少在一个确定的频率下的电感，也可以描述一定频率范围下的情形，但是如果对全带宽范围内的模型感兴趣，也许可以利用模拟器(如EMX)得到的S参数。为了加快仿真速度，可能会使用EMX来产生包括RLC元件和受控源的分布元件等效电路。

不失一般性，研究一下单端口电感等效电路模型，假设一端接交流地，则输入阻抗为：

为了简化，我们认为r<<RSUB，CSUB<<COX，在感兴趣的频率及其远离频率处有，后者成立的原因是衬底阻抗很大，且在高频时COX的阻抗相对很小。
因此有：

该阻抗具有带通特性，尽管在很低频率下也不会接近零，而等于低频时的串联电阻r，与期望一致。自谐振频率为时，其阻抗达到最大，为。假设在更高的频率下r<<Lω，这在Q值相当大时是成立的。
电感值与频率相关，根据定义，其值可表示为L(ω)=Im{ZIN}/ω，进而可推导出：

显然，电感在低频时其值为L，然而在自谐振频率时最终趋近于零，这是合理的，因为在自谐振频率时，输入阻抗相位为零（如之前讨论，RSUB达到峰值）；远离自谐振频率时，ZIN是容性的。L(ω)对ω求偏导，可以发现与预期一样，电感在接近自谐振频率之前达到峰值。定义一个无量纲参数，电感接近峰值时频率约为(1-η)ωSRF，此时电感值为L/4η，注意典型情况下，η<<1；电感值在自谐振频率之前达到峰值的原因是分母中的(1-LCSUBω2)2为二次项，其趋近零的速度比分子快。
一个基于28nm CMOS工艺设计的差分电感的例子如图1.38所示，该电感在4GHz频率时设计为1nH，图中绘制了EMX拟合和集总等效曲线；电感的测试特性与EMX预计的结果非常接近。集总模型中的器件值为L=1nH，r=0.44Ω，COX=5.57pF，CSUB=61fF，RSUB=872Ω；这个电感仅采用顶层金属的两匝设计，总长度约为1.1mm，宽度为22μm，通过计算得到其直流电阻约为0.5Ω，如果设计成一个长的导线，则其直流电感值为1.1nH。

该电感的自谐振频率约为20GHz，与分析所预计的值非常接近，此时电感约为零，并且EMX和集总模型在一个很宽的频率范围内都能很好地匹配。根据推导，可以预测到当η=0.074时，电感值在18.5GHz处达到峰值，其值为3.4nH。
已经证明，要找到关于Q值的近似表达式是很困难的，在这里只给出定性的描述。在低频处，π模型的第二分支是无效的，因此，Q=Lω/r，即Q值随着频率线性增大，但是由于趋肤效应，其值会平坦一点（虽然简单的π模型中并不能捕获到这一点）。在更高的频率下，COX短路，模型简化为并联RLC等效电路，由L、RSUB和CSUB组成，因此有Q=RSUB/Lω，即其值随频率线性下降；在自谐振频率的情况下Q趋于零，此时ZIN为纯实数，而且高频和低频的品质因子在频率近似为rRSUB/L时近似相等，这说明平衡低频和高频损耗优化了给定频率处电感的品质因子。
同一电感的Q值仿真结果如图1.39所示，只计入串联电阻时的品质因子在4GHz处为57，而计入衬底电阻损耗时其Q值为35，因此在4GHz处综合品质因子为21.7，这稍微超出了EMX的结果。预计Q值在32GHz处达到峰值，这与EMX的仿真结果很接近。