题目描述
求关于 x 的同余方程 ax ≡ 1 (mod b)的最小正整数解。
输入输出格式
输入格式：
输入只有一行，包含两个正整数 a, b，用一个空格隔开。
输出格式：
输出只有一行，包含一个正整数 x0，即最小正整数解。输入数据保证一定有解。
输入输出样例
输入样例#1：
3 10
输出样例#1：
7
说明
【数据范围】
对于 40%的数据，2 ≤b≤ 1,000；
对于 60%的数据，2 ≤b≤ 50,000,000；
对于 100%的数据，2 ≤a, b≤ 2,000,000,000。
NOIP 2012 提高组 第二天 第一题
//智商太低，搞这个搞了一晚上……
解题思路
我太菜了，不会扩欧，用的是dalao教的费马小定理，但这题没规定b一定是质数，所以要用欧拉定理，费马小定理其实就是欧拉定理的特殊情况。
1、同余的传递性。
若$$a \equiv b\mod p $$ 且$$c \equiv b\mod p $$ 则$$ a \equiv c\mod p$$
2、欧拉定理(同余的那个)$$a^{\phi(b)} \equiv 1\mod b$$
3、题目要求的那个式子$$ax \equiv 1\mod b$$
以上三项代换一下得到$ax \equiv a^{\phi(b)} \mod{b}$，我不知道为什么左边的a可以除过去——$x \equiv a^{\phi(b)-1}\mod b$，于是最小的x就是$a^{\phi(b)-1}\mbox{%} b$。
源代码
#include<stdio.h> #include<time.h> #include<math.h> #include<algorithm> #include<cstring> #define ll long long long long phi(long long n) { ll res=n,now=n,max=ceil(sqrt(n)); int b[max+1],size=0;ll prime[max/2]; memset(b,1,sizeof(b));b[1]=0; for(int i=2;i<=max;i++){//不筛素数表会TLE一个点，本机要跑44s…… if(b[i]==0) continue; size++;prime[size]=i; for(int t=2*i;t<=max;t+=i) b[t]=0; } for(int i=1;i<=size;i++){ if(now%prime[i]==0){ res=res/prime[i]*(prime[i]-1); while(now%prime[i]==0){ now/=prime[i]; } } if(now==1) break; } if(now!=1) res=res/now*(now-1); return res; } long long p(long long n,long long k,long long mo) { if(k==0) return 1; if(k==1) return n%mo; long long a=p(n,k>>1,mo)%mo; a=a*a%mo; //printf("%lld %lld\n",k,a); return a*p(n,k&1,mo)%mo; } int main() { //freopen("mod.in","r",stdin); //freopen("mod.out","w",stdout);//cogs的印记…… long long a,b; //double start=clock(); scanf("%lld%lld",&a,&b); long long k=phi(b)-1; //printf("%lf\n",(clock()-start)/1000000); printf("%lld\n",(p(a,k,b)+b)%b); return 0; }
