定义问题
外部排序指的是大文件的排序，即待排序的记录存储在外存储器上，待排序的文件无法一次装入内存，需要在内存和外部存储器之间进行多次数据交换，以达到排序整个文件的目的。外部排序最常用的算法是多路归并排序，即将原文件分解成多个能够一次性装入内存的部分，分别把每一部分调入内存完成排序。然后，对已经排序的子文件进行多路归并排序。
处理过程
（1）按可用内存的大小，把外存上含有n个记录的文件分成若干个长度为L的子文件，把这些子文件依次读入内存，并利用有效的内部排序方法对它们进行排序，再将排序后得到的有序子文件重新写入外存；
（2）对这些有序子文件逐趟归并，使其逐渐由小到大，直至得到整个有序文件为止。
先从一个例子来看外排序中的归并是如何进行的？
假设有一个含10000 个记录的文件，首先通过10 次内部排序得到10 个初始归并段R1～R10 ，其中每一段都含1000 个记录。然后对它们作如图10.11 所示的两两归并，直至得到一个有序文件为止 如下图
多路归并排序算法以及败者树
多路归并排序算法在常见数据结构书中都有涉及。从2路到多路（k路），增大k可以减少外存信息读写时间，但k个归并段中选取最小的记录需要比较k-1次，为得到u个记录的一个有序段共需要(u-1)(k-1)次，若归并趟数为s次，那么对n个记录的文件进行外排时，内部归并过程中进行的总的比较次数为s(n-1)(k-1)，也即(向上取整)(logkm)(k-1)(n-1)=(向上取整)(log2m/log2k)(k-1)(n-1)，而(k-1)/log2k随k增而增因此内部归并时间随k增长而增长了，抵消了外存读写减少的时间，这样做不行，由此引出了“败者树”tree of loser的使用。在内部归并过程中利用败者树将k个归并段中选取最小记录比较的次数降为(向上取整)(log2k)次使总比较次数为(向上取整)(log2m)(n-1)，与k无关。
败者树是完全二叉树，因此数据结构可以采用一维数组。其元素个数为k个叶子结点、k-1个比较结点、1个冠军结点共2k个。ls[0]为冠军结点，ls[1]--ls[k-1]为比较结点，ls[k]--ls[2k-1]为叶子结点（同时用另外一个指针索引b[0]--b[k-1]指向）。另外bk为一个附加的辅助空间，不属于败者树，初始化时存着MINKEY的值。
多路归并排序算法的过程大致为：
1）：首先将k个归并段中的首元素关键字依次存入b[0]--b[k-1]的叶子结点空间里，然后调用CreateLoserTree创建败者树，创建完毕之后最小的关键字下标（即所在归并段的序号）便被存入ls[0]中。然后不断循环：
2）把ls[0]所存最小关键字来自于哪个归并段的序号得到为q，将该归并段的首元素输出到有序归并段里，然后把下一个元素关键字放入上一个元素本来所在的叶子结点b[q]中，调用Adjust顺着b[q]这个叶子结点往上调整败者树直到新的最小的关键字被选出来，其下标同样存在ls[0]中。循环这个操作过程直至所有元素被写到有序归并段里。
四、伪代码：
void Adjust(LoserTree &ls, int s)
/*从叶子结点b[s]到根结点的父结点ls[0]调整败者树*/
{ int t, temp;
t=(s+K)/2; /*t为b[s]的父结点在败者树中的下标，K是归并段的个数*/
while(t>0) /*若没有到达树根，则继续*/
{ if(b[s]>b[ls[t]]) /*与父结点指示的数据进行比较*/
{ /*ls[t]记录败者所在的段号，s指示新的胜者，胜者将去参加更上一层的比较*/
temp=s;
s=ls[t];
ls[t]=temp;
}
t=t/2; /*向树根退一层，找到父结点*/
}
ls[0]=s; /*ls[0]记录本趟最小关键字所在的段号*/
}
void K_merge( int ls[K])
/*ls[0]~ls[k-1]是败者树的内部比较结点。b[0]~b[k-1]分别存储k个初始归并段的当前记录*/
/*函数Get_next(i)用于从第i个归并段读取并返回当前记录*/
{ int b[K+1),i,q;
for(i=0; i<K;i++)
{ b[i]=Get_next(i); /*分别读取K个归并段的第一个关键字*/ }
b[K]=MINKEY; /*创建败者树*/
for(i=0; i<K ; i++) /*设置ls中的败者初值*/
ls[i]=K;
for(i=K-1 ; i>=0 ; i--) /*依次从b[K-1]……b[0]出发调整败者*/
Adjust(ls , i); /*败者树创建完毕，最小关键字序号存入ls[0]
while(b[ls[0]] !=MAXKEY )
{ q=ls[0]; /*q为当前最小关键字所在的归并段*/
prinftf("%d",b[q]);
b[q]=Get_next(q);
Adjust(ls,q); /*q为调整败者树后，选择新的最小关键字*/
}
}
如下图，一个详细的过程。2个子结点比较后的败者放入它们的父结点，而胜者送到它们父结点的父节点去再作比较，这才是败者树。b[0]放的是最终的胜者。
胜者树与败者树
胜者树和败者树都是完全二叉树，是树形选择排序的一种变型。每个叶子结点相当于一个选手，每个中间结点相当于一场比赛，每一层相当于一轮比赛。
不同的是，胜者树的中间结点记录的是胜者的标号；而败者树的中间结点记录的败者的标号。
胜者树与败者树可以在log(n)的时间内找到最值。任何一个叶子结点的值改变后，利用中间结点的信息，还是能够快速地找到最值。在k路归并排序中经常用到。
胜者树
胜者树的一个优点是，如果一个选手的值改变了，可以很容易地修改这棵胜者树。只需要沿着从该结点到根结点的路径修改这棵二叉树，而不必改变其他比赛的结果。
Fig. 1
Fig.1是一个胜者树的示例。规定数值小者胜。
1. b3 PK b4，b3胜b4负，内部结点ls[4]的值为3；
2. b3 PK b0，b3胜b0负，内部结点ls[2]的值为3；
3. b1 PK b2，b1胜b2负，内部结点ls[3]的值为1；
4. b3 PK b1，b3胜b1负，内部结点ls[1]的值为3。.
当Fig. 1中叶子结点b3的值变为11时，重构的胜者树如Fig. 2所示。
1. b3 PK b4，b3胜b4负，内部结点ls[4]的值为3；
2. b3 PK b0，b0胜b3负，内部结点ls[2]的值为0；
3. b1 PK b2，b1胜b2负，内部结点ls[3]的值为1；
4. b0 PK b1，b1胜b0负，内部结点ls[1]的值为1。.
Fig. 2
败者树
败者树是胜者树的一种变体。在败者树中，用父结点记录其左右子结点进行比赛的败者，而让胜者参加下一轮的比赛。败者树的根结点记录的是败者，需要加一个结点来记录整个比赛的胜利者。采用败者树可以简化重构的过程。
Fig. 3
Fig. 3是一棵败者树。规定数大者败。
1. b3 PK b4，b3胜b4负，内部结点ls[4]的值为4；
2. b3 PK b0，b3胜b0负，内部结点ls[2]的值为0；
3. b1 PK b2，b1胜b2负，内部结点ls[3]的值为2；
4. b3 PK b1，b3胜b1负，内部结点ls[1]的值为1；
5. 在根结点ls[1]上又加了一个结点ls[0]=3，记录的最后的胜者。
败者树重构过程如下：
· 将新进入选择树的结点与其父结点进行比赛：将败者存放在父结点中；而胜者再与上一级的父结点比较。
· 比赛沿着到根结点的路径不断进行，直到ls[1]处。把败者存放在结点ls[1]中，胜者存放在ls[0]中。
Fig. 4
Fig. 4是当b3变为13时，败者树的重构图。
注意，败者树的重构跟胜者树是不一样的，败者树的重构只需要与其父结点比较。对照Fig. 3来看，b3与结点ls[4]的原值比较，ls[4]中存放的原值是结点4，即b3与b4比较，b3负b4胜，则修改ls[4]的值为结点3。同理，以此类推，沿着根结点不断比赛，直至结束。
由上可知，败者树简化了重构。败者树的重构只是与该结点的父结点的记录有关，而胜者树的重构还与该结点的兄弟结点有关。
败者树 多路平衡归并外部排序
外部排序的基本思路
假设有一个72KB的文件，其中存储了18K个整数，磁盘中物理块的大小为4KB，将文件分成18组，每组刚好4KB。
首先通过18次内部排序，把18组数据排好序，得到初始的18个归并段R1~R18，每个归并段有1024个整数。
然后对这18个归并段使用4路平衡归并排序：
第1次归并：产生5个归并段
R11 R12 R13 R14 R15
其中
R11是由{R1,R2,R3,R4}中的数据合并而来
R12是由{R5,R6,R7,R8}中的数据合并而来
R13是由{R9,R10,R11,R12}中的数据合并而来
R14是由{R13,R14,R15,R16}中的数据合并而来
R15是由{R17,R18}中的数据合并而来
把这5个归并段的数据写入5个文件：
foo_1.dat foo_2.dat foo_3.dat foo_4.dat foo_5.dat
第2次归并：从第1次归并产生的5个文件中读取数据，合并，产生2个归并段
R21 R22
其中R21是由{R11,R12,R13,R14}中的数据合并而来
其中R22是由{R15}中的数据合并而来
把这2个归并段写入2个文件
bar_1.dat bar_2.dat
第3次归并：从第2次归并产生的2个文件中读取数据，合并，产生1个归并段
R31
R31是由{R21,R22}中的数据合并而来
把这个文件写入1个文件
foo_1.dat
此即为最终排序好的文件。
使用败者树加快合并排序
外部排序最耗时间的操作时磁盘读写，对于有m个初始归并段，k路平衡的归并排序，磁盘读写次数为
|logkm|，可见增大k的值可以减少磁盘读写的次数，但增大k的值也会带来负面效应，即进行k路合并
的时候会增加算法复杂度，来看一个例子。
把n个整数分成k组，每组整数都已排序好，现在要把k组数据合并成1组排好序的整数，求算法复杂度
u1: xxxxxxxx
u2: xxxxxxxx
u3: xxxxxxxx
.......
uk: xxxxxxxx
算法的步骤是：每次从k个组中的首元素中选一个最小的数，加入到新组，这样每次都要比较k-1次，故
算法复杂度为O((n-1)*(k-1))，而如果使用败者树，可以在O(logk)的复杂度下得到最小的数，算法复杂
度将为O((n-1)*logk)， 对于外部排序这种数据量超大的排序来说，这是一个不小的提高。
关于败者树的创建和调整，可以参考清华大学《数据结构-C语言版》
产生二进制测试数据
打开Linux终端，输入命令
dd if=/dev/urandom of=random.dat bs=1M count=512
这样在当前目录下产生一个512M大的二进制文件，文件内的数据是随机的，读取文件，每4个字节
看成1个整数，相当于得到128M个随机整数。
程序实现
[cpp] view plain copy
- #include <assert.h>
- #include <fcntl.h>
- #include <stdio.h>
- #include <stdlib.h>
- #include <string.h>
- #include <unistd.h>
- #include <sys/time.h>
- #include <sys/types.h>
- #include <sys/stat.h>
- #define MAX_INT ~(1<<31)
- #define MIN_INT 1<<31
- //#define DEBUG
- #ifdef DEBUG
- #define debug(...) debug( __VA_ARGS__)
- #else
- #define debug(...)
- #endif
- #define MAX_WAYS 100
- typedef struct run_t {
- int *buf; /* 输入缓冲区 */
- int length; /* 缓冲区当前有多少个数 */
- int offset; /* 缓冲区读到了文件的哪个位置 */
- int idx; /* 缓冲区的指针 */
- } run_t;
- static unsigned int K; /* K路合并 */
- static unsigned int BUF_PAGES; /* 缓冲区有多少个page */
- static unsigned int PAGE_SIZE; /* page的大小 */
- static unsigned int BUF_SIZE; /* 缓冲区的大小, BUF_SIZE = BUF_PAGES*PAGE_SIZE */
- static int *buffer; /* 输出缓冲区 */
- static char input_prefix[] = "foo_";
- static char output_prefix[] = "bar_";
- static int ls[MAX_WAYS]; /* loser tree */
- void swap(int *p, int *q);
- int partition(int *a, int s, int t);
- void quick_sort(int *a, int s, int t);
- void adjust(run_t ** runs, int n, int s);
- void create_loser_tree(run_t **runs, int n);
- long get_time_usecs();
- void k_merge(run_t** runs, char* input_prefix, int num_runs, int base, int n_merge);
- void usage();
- int main(int argc, char **argv)
- {
- char filename[100];
- unsigned int data_size;
- unsigned int num_runs; /* 这轮迭代时有多少个归并段 */
- unsigned int num_merges; /* 这轮迭代后产生多少个归并段 num_merges = num_runs/K */
- unsigned int run_length; /* 归并段的长度，指数级增长 */
- unsigned int num_runs_in_merge; /* 一般每个merge由K个runs合并而来，但最后一个merge可能少于K个runs */
- int fd, rv, i, j, bytes;
- struct stat sbuf;
- if (argc != 3) {
- usage();
- return 0;
- }
- long start_usecs = get_time_usecs();
- strcpy(filename, argv[1]);
- fd = open(filename, O_RDONLY);
- if (fd < 0) {
- printf("can't open file %s\n", filename);
- exit(0);
- }
- rv = fstat(fd, &sbuf);
- data_size = sbuf.st_size;
- K = atoi(argv[2]);
- PAGE_SIZE = 4096; /* page = 4KB */
- BUF_PAGES = 32;
- BUF_SIZE = PAGE_SIZE*BUF_PAGES;
- num_runs = data_size / PAGE_SIZE; /* 初始时的归并段数量，每个归并段有4096 byte, 即1024个整数 */
- buffer = (int *)malloc(BUF_SIZE);
- run_length = 1;
- run_t **runs = (run_t **)malloc(sizeof(run_t *)*(K+1));
- for (i = 0; i < K; i++) {
- runs[i] = (run_t *)malloc(sizeof(run_t));
- runs[i]->buf = (int *)calloc(1, BUF_SIZE+4);
- }
- while (num_runs > 1) {
- num_merges = num_runs / K;
- int left_runs = num_runs % K;
- if(left_runs > 0) num_merges++;
- for (i = 0; i < num_merges; i++) {
- num_runs_in_merge = K;
- if ((i+1) == num_merges && left_runs > 0) {
- num_runs_in_merge = left_runs;
- }
- int base = 0;
- printf("Merge %d of %d,%d ways\n", i, num_merges, num_runs_in_merge);
- for (j = 0; j < num_runs_in_merge; j++) {
- if (run_length == 1) {
- base = 1;
- bytes = read(fd, runs[j]->buf, PAGE_SIZE);
- runs[j]->length = bytes/sizeof(int);
- quick_sort(runs[j]->buf, 0, runs[j]->length-1);
- } else {
- snprintf(filename, 20, "%s%d.dat", input_prefix, i*K+j);
- int infd = open(filename, O_RDONLY);
- bytes = read(infd, runs[j]->buf, BUF_SIZE);
- runs[j]->length = bytes/sizeof(int);
- close(infd);
- }
- runs[j]->idx = 0;
- runs[j]->offset = bytes;
- }
- k_merge(runs, input_prefix, num_runs_in_merge, base, i);
- }
- strcpy(filename, output_prefix);
- strcpy(output_prefix, input_prefix);
- strcpy(input_prefix, filename);
- run_length *= K;
- num_runs = num_merges;
- }
- for (i = 0; i < K; i++) {
- free(runs[i]->buf);
- free(runs[i]);
- }
- free(runs);
- free(buffer);
- close(fd);
- long end_usecs = get_time_usecs();
- double secs = (double)(end_usecs - start_usecs) / (double)1000000;
- printf("Sorting took %.02f seconds.\n", secs);
- printf("sorting result saved in %s%d.dat.\n", input_prefix, 0);
- return 0;
- }
- void k_merge(run_t** runs, char* input_prefix, int num_runs, int base, int n_merge)
- {
- int bp, bytes, output_fd;
- int live_runs = num_runs;
- run_t *mr;
- char filename[20];
- bp = 0;
- create_loser_tree(runs, num_runs);
- snprintf(filename, 100, "%s%d.dat", output_prefix, n_merge);
- output_fd = open(filename, O_CREAT|O_WRONLY|O_TRUNC,
- S_IRWXU|S_IRWXG);
- if (output_fd < 0) {
- printf("create file %s fail\n", filename);
- exit(0);
- }
- while (live_runs > 0) {
- mr = runs[ls[0]];
- buffer[bp++] = mr->buf[mr->idx++];
- // 输出缓冲区已满
- if (bp*4 == BUF_SIZE) {
- bytes = write(output_fd, buffer, BUF_SIZE);
- bp = 0;
- }
- // mr的输入缓冲区用完
- if (mr->idx == mr->length) {
- snprintf(filename, 20, "%s%d.dat", input_prefix, ls[0]+n_merge*K);
- if (base) {
- mr->buf[mr->idx] = MAX_INT;
- live_runs--;
- } else {
- int fd = open(filename, O_RDONLY);
- lseek(fd, mr->offset, SEEK_SET);
- bytes = read(fd, mr->buf, BUF_SIZE);
- close(fd);
- if (bytes == 0) {
- mr->buf[mr->idx] = MAX_INT;
- live_runs--;
- }
- else {
- mr->length = bytes/sizeof(int);
- mr->offset += bytes;
- mr->idx = 0;
- }
- }
- }
- adjust(runs, num_runs, ls[0]);
- }
- bytes = write(output_fd, buffer, bp*4);
- if (bytes != bp*4) {
- printf("!!!!!! Write Error !!!!!!!!!\n");
- exit(0);
- }
- close(output_fd);
- }
- long get_time_usecs()
- {
- struct timeval time;
- struct timezone tz;
- memset(&tz, '\0', sizeof(struct timezone));
- gettimeofday(&time, &tz);
- long usecs = time.tv_sec*1000000 + time.tv_usec;
- return usecs;
- }
- void swap(int *p, int *q)
- {
- int tmp;
- tmp = *p;
- *p = *q;
- *q = tmp;
- }
- int partition(int *a, int s, int t)
- {
- int i, j; /* i用来遍历a[s]...a[t-1], j指向大于x部分的第一个元素 */
- for (i = j = s; i < t; i++) {
- if (a[i] < a[t]) {
- swap(a+i, a+j);
- j++;
- }
- }
- swap(a+j, a+t);
- return j;
- }
- void quick_sort(int *a, int s, int t)
- {
- int p;
- if (s < t) {
- p = partition(a, s, t);
- quick_sort(a, s, p-1);
- quick_sort(a, p+1, t);
- }
- }
- void adjust(run_t ** runs, int n, int s)
- {
- int t, tmp;
- t = (s+n)/2;
- while (t > 0) {
- if (s == -1) {
- break;
- }
- if (ls[t] == -1 || runs[s]->buf[runs[s]->idx] > runs[ls[t]]->buf[runs[ls[t]]->idx]) {
- tmp = s;
- s = ls[t];
- ls[t] = tmp;
- }
- t >>= 1;
- }
- ls[0] = s;
- }
- void create_loser_tree(run_t **runs, int n)
- {
- int i;
- for (i = 0; i < n; i++) {
- ls[i] = -1;
- }
- for (i = n-1; i >= 0; i--) {
- adjust(runs, n, i);
- }
- }
- void usage()
- {
- printf("sort <filename> <K-ways>\n");
- printf("\tfilename: filename of file to be sorted\n");
- printf("\tK-ways: how many ways to merge\n");
- exit(1);
- }
编译运行
gcc sort.c -o sort -g
./sort random.dat 64
以64路平衡归并对random.dat内的数据进行外部排序。在I5处理器，4G内存的硬件环境下，实验结果如下
文件大小 耗时
128M 14.72 秒
256M 30.89 秒
512M 71.65 秒
1G 169.18秒
读取二进制文件，查看排序结
[cpp] view plain copy
- #include <assert.h>
- #include <fcntl.h>
- #include <stdio.h>
- #include <stdlib.h>
- #include <string.h>
- #include <unistd.h>
- #include <sys/time.h>
- #include <sys/types.h>
- #include <sys/stat.h>
- int main(int argc, char **argv)
- {
- char *filename = argv[1];
- int *buffer = (int *)malloc(1<<20);
- struct stat sbuf;
- int rv, data_size, i, bytes, fd;
- fd = open(filename, O_RDONLY);
- if (fd < 0) {
- printf("%s not found!\n", filename);
- exit(0);
- }
- rv = fstat(fd, &sbuf);
- data_size = sbuf.st_size;
- bytes = read(fd, buffer, data_size);
- for (i = 0; i < bytes/4; i++) {
- printf("%d ", buffer[i]);
- if ((i+1) % 10 == 0) {
- printf("\n");
- }
- }
- printf("\n");
- close(fd);
- free(buffer);
- return 0;
- }
