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一、哈夫曼树的概念和定义
什么是哈夫曼树?
让我们先举一个例子。
判定树:
- if(score<60)
- cout<<"Bad"<<endl;
- else if(score<70)
- cout<<"Pass"<<endl
- else if(score<80)
- cout<<"General"<<endl;
- else if(score<90)
- cout<<"Good"<<endl;
- else
- cout<<"Very good!"<<endl;
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![](https://yqfile.alicdn.com/img_a2e7d7fddf0e62df36bc1e6a626ae43c.gif?x-oss-process=image/resize,w_1400/format,webp)
![](https://yqfile.alicdn.com/img_c38658eb274bfa66a9da2031b883f1ee.gif?x-oss-process=image/resize,w_1400/format,webp)
定义哈夫曼树之前先说明几个与哈夫曼树有关的概念:
路径: 树中一个结点到另一个结点之间的分支构成这两个结点之间的路径。
路径长度:路径上的分枝数目称作路径长度。
树的路径长度:从树根到每一个结点的路径长度之和。
结点的带权路径长度:在一棵树中,如果其结点上附带有一个权值,通常把该结点的路径长度与该结点上的权值
之积称为该结点的带权路径长度(weighted path length)
什么是权值?( From 百度百科 )
计算机领域中(数据结构)
权值就是定义的路径上面的值。可以这样理解为节点间的距离。通常指字符对应的二进制编码出现的概率。
至于霍夫曼树中的权值可以理解为:权值大表明出现概率大!
一个结点的权值实际上就是这个结点子树在整个树中所占的比例.
abcd四个叶子结点的权值为7,5,2,4. 这个7,5,2,4是根据实际情况得到的,比如说从一段文本中统计出abcd四个字母出现的次数分别为7,5,2,4. 说a结点的权值为7,意思是说a结点在系统中占有7这个份量.实际上也可以化为百分比来表示,但反而麻烦,实际上是一样的.
树的带权路径长度:如果树中每个叶子上都带有一个权值,则把树中所有叶子的带权路径长度之和称为树的带
权路径长度。
设某二叉树有n个带权值的叶子结点,则该二叉树的带权路径长度记为:
公式中,Wk为第k个叶子结点的权值;Lk为该结点的路径长度。
示例:
二、哈夫曼树的构造
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三、哈夫曼树的在编码中的应用
![](https://yqfile.alicdn.com/img_4838b84fca8e51b05003825ea6f46882.gif?x-oss-process=image/resize,w_1400/format,webp)
- #include<iostream>
- #include<cstdio>
- #include<cstring>
- using namespace std;
- #define N 10 // 带编码字符的个数,即树中叶结点的最大个数
- #define M (2*N-1) // 树中总的结点数目
- class HTNode{ // 树中结点的结构
- public:
- unsigned int weight;
- unsigned int parent,lchild,rchild;
- };
- class HTCode{
- public:
- char data; // 待编码的字符
- int weight; // 字符的权值
- char code[N]; // 字符的编码
- };
- void Init(HTCode hc[], int *n){
- // 初始化,读入待编码字符的个数n,从键盘输入n个字符和n个权值
- int i;
- printf("input n = ");
- scanf("%d",&(*n));
- printf("\ninput %d character\n",*n);
- fflush(stdin);
- for(i=1; i<=*n; ++i)
- scanf("%c",&hc[i].data);
- printf("\ninput %d weight\n",*n);
- for(i=1; i<=*n; ++i)
- scanf("%d",&(hc[i].weight) );
- fflush(stdin);
- }//
- void Select(HTNode ht[], int k, int *s1, int *s2){
- // ht[1...k]中选择parent为0,并且weight最小的两个结点,其序号由指针变量s1,s2指示
- int i;
- for(i=1; i<=k && ht[i].parent != 0; ++i){
- ; ;
- }
- *s1 = i;
- for(i=1; i<=k; ++i){
- if(ht[i].parent==0 && ht[i].weight<ht[*s1].weight)
- *s1 = i;
- }
- for(i=1; i<=k; ++i){
- if(ht[i].parent==0 && i!=*s1)
- break;
- }
- *s2 = i;
- for(i=1; i<=k; ++i){
- if(ht[i].parent==0 && i!=*s1 && ht[i].weight<ht[*s2].weight)
- *s2 = i;
- }
- }
- void HuffmanCoding(HTNode ht[],HTCode hc[],int n){
- // 构造Huffman树ht,并求出n个字符的编码
- char cd[N];
- int i,j,m,c,f,s1,s2,start;
- m = 2*n-1;
- for(i=1; i<=m; ++i){
- if(i <= n)
- ht[i].weight = hc[i].weight;
- else
- ht[i].parent = 0;
- ht[i].parent = ht[i].lchild = ht[i].rchild = 0;
- }
- for(i=n+1; i<=m; ++i){
- Select(ht, i-1, &s1, &s2);
- ht[s1].parent = i;
- ht[s2].parent = i;
- ht[i].lchild = s1;
- ht[i].rchild = s2;
- ht[i].weight = ht[s1].weight+ht[s2].weight;
- }
- cd[n-1] = '\0';
- for(i=1; i<=n; ++i){
- start = n-1;
- for(c=i,f=ht[i].parent; f; c=f,f=ht[f].parent){
- if(ht[f].lchild == c)
- cd[--start] = '0';
- else
- cd[--start] = '1';
- }
- strcpy(hc[i].code, &cd[start]);
- }
- }
- int main()
- {
- int i,m,n,w[N+1];
- HTNode ht[M+1];
- HTCode hc[N+1];
- Init(hc, &n); // 初始化
- HuffmanCoding(ht,hc,n); // 构造Huffman树,并形成字符的编码
- for(i=1; i<=n; ++i)
- printf("\n%c---%s",hc[i].data,hc[i].code);
- printf("\n");
- return 0;
- } uffman