POJ 1014 Dividing 解答

题目详见http://poj.org/problem?id=1014

看到这道题第一反应便知道它是一道类似背包问题的题,  解法我自然而然得从背包问题的解法入手,  网上查了查,  背包问题的基本题型是01背包, 即每种物品只有一种, 所以对于每种物品只有两种可能, 取或不取, 而这道题并不符合01背包问题的条件, 题目中每种物品不止一个, 所以情况不仅涉及取或不取, 还要考虑取几个的问题, 这种情况叫做多重背包问题(即每种物品有固定个数, 可能不止一个, 如果每种物品都有无限个, 则叫做完全背包问题). 这种问题一般用动态规划(Dynamic Programming, DP)的算法, 动态规划的话会涉及两方面, 必须满足这两方面, 才能使用动态规划(DP): 一是重叠子问题, 二是最优子结构. 满足重叠子问题, 我们才可以应用该算法避免重叠子问题的重复计算, 这便是DP提高速度的关键所在, 否则也就没有应用的必要; 满足最优子结构, 我们才可以将原问题分解为多个子问题, 并在求取子问题最优解的过程中计算原问题的最优解. 二者缺一不可.

接下来说背包问题的求解, 可以用下面的状态转移方程来表示问题求解的思路:

v[i][j] = max{v[]i-1[j], v[i-1][j-item[i]]+item[i]}

v[i][j]表示在前i件物品选择, 放入容量为j的背包中, 最多可以放的物品价值, item[i]表示第i件物品的价值.

所以, v[i-1][j]表示在前i-1件物品中找不大于j的最优解(即在前i件物品中不选取第i件再选取其他一些后的最优解), 而v[i-1][i-item[i]]表示在前i件物品中选取第i件再选取其他一些后的最优解.

以上是01背包问题用动态规划算法求解时的分析, 而完全背包问题我们可以转换为01背包问题, 我们可以把同一种物品的每一个视作不同种类, 这样原来第i中物品可能有k个, 现在可以理解为有k种不同的物品, 每种一个, 这样每种物品的个数转换为一个, 就变成了01背包问题.

在具体到本题, 可以先排除物品总价值非偶数的情况, 接下来可以将总价值的一般视作背包的大小, 而每个物品的价值视作背包问题中的体积, 本题并不是求最优解, 而是判断最优解是否就是背包本身的大小, 所以可以先求最优解, 再判断.

还有一点就是这道题中限定总物品数最大为20000, 如果只用这种思路可能会超时, 需要对算法加以优化, 减少需求解的情况, 这便用了网上所说的二进制压缩, 具体的证明应该在数论方面的书中, 是一个定理, 大意是说, 任何一个正整数, 均可以有一系列2的指数相加得到, 比如, 21 = 1 + 2 + 2 + 4 + 4 + 8 = 1 + 2*2 + 2*4 + 8 = 2^0 + 2*2^1 + 2*2^2 + 2^3. 依此定理, 每种物品的个数均可以如此表示, 但读者可能会问, 为什么要这样表示? 原因是这样的, 首先我们用这个定理的目的是压缩要求解的子问题的个数, 例如某种物品有21个, 如果单纯按多重背包转01背包的思路, 则新增了20中物品, 而利用二进制压缩, 我们可以将1件该种物品视为替代物品1, 将2件该种物品视为替代物品2, 将4件该种物品视为替代物品3, 依次类推, 这样转成的替代物品较少, 从而实现了压缩, 但有人会担心, 按原来转化的方法, 每件物品取与不取的情况都会考虑, 而二进制压缩后会不会丢解呢, 这种担心是多余的, 举例说明:

一种物品7个, 可用二进制压缩为 1 + 2 + 4,   即1个物品变为替代物品1, 2个物品变为替代物品2, 4个物品变为替代物品3, 如果按原先不压缩的方法, 则变为 1 1 1 1 1 1 1共7个替代物品:

给它们编号则为: (第一排为编号, 第二排为价值)

压缩前                                          压缩后

1   2   3   4   5   6   7                   1     2     3

1   1   1   1   1   1   1                   1     2     4

针对压缩前的每种物品取与不取共2^7=128种情况, 压缩后共2^3=8种情况, 压缩前各种情况可能取到的价值, 压缩后同样能取到, 如取1 ,3, 4, 5则价值为1+1+1+1=4, 则压缩后可用直接用取替代物品(压缩后)3来表示, 取1, 2 3, 4价值为1+1+1+1=4也可以用取替代物品3来表示, 再如取1, 2, 3, 4, 5, 6,7总价值为1+1+1+1+1+1+1=7, 可以表示为1+2+4=7, 即取替代物品1, 2, 3, 所以对于每种压缩前情况, 压缩后均可以表示, 用替代物品的取与不取替代原先较多物品时取与不取的情况, 这便实现了压缩.

具体代码如下(已Accepted): (参考了http://blog.csdn.net/zhu2mu/article/details/6649712)

#include <iostream>

using namespace std;

int v[70000];   // 暂存某一轮指定容量时最大价值 
int item[200];  // 二进制压缩后等价各个物品对应的价值 
const int n=6;  // 原始物品种类数 
int num[n];     // 存储各原始物品数量 

int main(int argc, char * argv[]) 
{   
    int index=0; // 数据集计数 
    while(true){        
        // 初始化, 数组置0 
        memset(v, 0, sizeof(v));
        memset(item, 0, sizeof(item));
        // 输入, 判断输入是否全为0,  
        int sum=0;
        int value=0; 
        for(int i=0;i<n;++i){
            cin>>num[i];
            sum+=num[i];     // 物品总数 
            value+=num[i]*(i+1); // 物品价值和 
        }
        if(0==sum) break;
        ++index;
        cout<<"Collection #"<<index<<":\n"; 
        // 如果总价值为奇数, 则必不可分 
        if(0!=value%2){
            cout<<"Can't be divided.\n"<<endl;
            continue; 
        } 
        
        // 执行二进制压缩过程, 转换成0/1背包 
        int k=0; // 记录二进制压缩后等价物品的数量 
        for(int i=0;i<n;++i){
            int t=1;
            // 针对每一件物品的数量, 转换成对应的二进制数目的等价物品 
            while(num[i]>0){
                if(num[i]>t){
                    item[k++]=t*(i+1);
                    num[i]-=t; 
                    t*=2;
                }else{
                    item[k++]=num[i]*(i+1);
                    num[i]=0;
                }
            }         
        }
        
        
        value/=2;
        // 总共有k件等价物品, 开始0/1背包问题用动态规划自底向上解决之
        // 每一个i代表在前i个物品中计算最优解 
        for(int i=0;i<k;++i){
            // 计算背包不同容量时, 暂时的可装价值
            // 已知前i-1件物品, 在容量分别为j-value时的最优解 
            for(int j=value;j>=item[i];--j){
                if(v[j]<v[j-item[i]]+item[i])
                    // 在计算前i个物品的最优解v[j]时
                    // v[j-item[i]]仍为前i-1个物品的最优解
                    // 相当于计算方程max{v[i-1][j], v[i-1][j-item[i]]+item[i]} 
                    v[j]=v[j-item[i]]+item[i]; 
            } 
        } 
        if(v[value]==value)
            cout<<"Can be divided.\n"<<endl;
        else
            cout<<"Can't be divided\n"<<endl;
    } 
    
    return 0;    
}