已经是大二新学期的第六周周末了，一番瞎折腾之后，还是想抽出一部分精力来搞一搞机器学习的理论部分，趁年轻，万一哪天开悟了。。。好了，除了废话不多了，博客以后正常更新噢，不光是机器学习的，还有其他方面的系列学习笔记，希望能有所收获（￣︶￣）↗
接着之前的两篇博客：
现在来说说软间隔和正则化。
软间隔
软间隔要解决的问题
SVM是解决线性可分问题的，如果线性不可分，那就引入核函数，使其在更高的维度上可分，虽说一定存在一个超平面使其可分（不出任何差错，这即是之前所说的“硬间隔”），但容易发生过拟合的风险，训练效果反而不好。所以，缓解的办法就是允许支持向量在一些样本上出错，这便引入了“软间隔”。
如上图，“软间隔”允许某些样本不满足约束：
$$ y_{i} (\boldsymbol{\omega^{T}}\boldsymbol{x}+b ) >=1\;(2) $$
当然，在最大化间隔的同时，也需要让不满足约束的样本尽可能的少，于是，优化目标可以些为：
$$ min_{\boldsymbol{\omega},b}\frac{1}{2}||\boldsymbol{\omega}||^{2} + C\sum_{i = 1}^{m}l_{0/1}(y_{i}(\omega^{T}x_{i}+b)-1)\;(1) $$
其中，$C$是一个常数，$l_{0/1}$是一个“0/1损失函数”
$$ l_{0/1}(z) = \left\{\begin{matrix}1 &if \;z<0 \\ 0 & otherwise \end{matrix}\right. $$
$C>0$为惩罚参数，和逻辑回归等其他算法模型中的正则化参数一样，都是用于调节分类误差和模型复杂度代价的权重，使模型在保证分类误差最小的情况得到最大间隔超平面。$C$越大，对分类错误的惩罚越大（因为(1)式要求的是最小值，而$C$的增大产生了阻碍），C为无穷大时，式(1)迫使所有样本均满足约束条件(2)。$C$取有限值时，允许一些样本不满足约束。
然而，一般不使用$l_{0/1}$作为损失函数，因为它非凸，不连续，通常采用下面的函数来代替它，称为“替代损失”（surrogate loss）：
hinge损失：$l_{hinge}(z) = max(0,1-z)$
指数损失（exponential loss）：$l_{exp}(z) = exp(-z)$
对率损失（logistic loss）：$l_{log}(z) = log(1+exp(-z))$
若采用hinge损失，则式（1）变成：
$$ min_{\boldsymbol{\omega},b}\frac{1}{2}||\boldsymbol{\omega}||^{2} + C\sum_{i = 1}^{m}max(0,1-y_{i}(\omega^{T}x_{i}+b)).\;(3) $$
松弛变量
SVM对训练集里面的每个样本$(x_i,y_i)$引入了一个松弛变量$\xi_i \geq 0$,使函数间隔加上松弛变量大于等于1，也就是说:
$$ y_i(\omega\bullet x_i +b) \geq 1- \xi_i $$
对比硬间隔最大化，可以看到我们对样本到超平面的函数距离的要求放松了，之前是一定要大于等于1，现在只需要加上一个大于等于0的松弛变量能大于等于1就可以了。当然，松弛变量不能白加，这是有成本的，每一个松弛变量$\xi_i$, 对应了一个代价$\xi_i$，这个就得到了我们的软间隔最大化的SVM学习条件,也就是把(3)重写为：
$$ \underset{\omega,b,\xi_i}{min}\;\; \frac{1}{2}||\omega||_2^2 +C\sum\limits_{i=1}^{m}\xi_i $$
$$ s.t. \;\; y_i(\omega^Tx_i + b) \geq 1 - \xi_i \;\;(i =1,2,...m) $$
$$ \xi_i \geq 0 \;\;(i =1,2,...m) $$
这就是“软间隔支持向量机”
注意：
- 并非所有的样本点都有一个松弛变量与其对应。实际上只有“离群点”才有，或者也可以这么看，所有没离群的点松弛变量都等于0（对负类来说，离群点就是在前面图中，跑到H2右侧的那些负样本点，对正类来说，就是跑到H1左侧的那些正样本点）。
- 松弛变量的值实际上标示出了对应的点到底离群有多远，值越大，点就越远。
- 惩罚因子C决定了你有多重视离群点带来的损失，显然当所有离群点的松弛变量的和一定时，你定的C越大，对目标函数的损失也越大，此时就暗示着你非常不愿意放弃这些离群点，最极端的情况是你把C定为无限大，这样只要稍有一个点离群，目标函数的值马上变成无限大，马上让问题变成无解，这就退化成了硬间隔问题。
- 惩罚因子C不是一个变量，整个优化问题在解的时候，C是一个你必须事先指定的值，指定这个值以后，解一下，得到一个分类器，然后用测试数据看看结果怎么样，如果不够好，换一个C的值，再解一次优化问题，得到另一个分类器，再看看效果，如此就是一个参数寻优的过程，但这和优化问题本身决不是一回事，优化问题在解的过程中，C一直是定值，要记住。
- 尽管加了松弛变量这么一说，但这个优化问题仍然是一个优化问题（汗，这不废话么），解它的过程比起原始的硬间隔问题来说，没有任何更加特殊的地方。
引入拉格朗日乘子
那么，问题就和之前的一样了，通过引入拉格朗日乘子，来将有不等式约束条件的转化为无约束的：
$$ L(\omega,b,\xi,\alpha,\mu) = \frac{1}{2}||\omega||_2^2 +C\sum\limits_{i=1}^{m}\xi_i - \sum\limits_{i=1}^{m}\alpha_i[y_i(\omega^Tx_i + b) - 1 + \xi_i] - \sum\limits_{i=1}^{m}\mu_i\xi_i $$
其中，$\mu_i \geq 0, \alpha_i \geq 0$是拉格朗日乘子。
令$L$对$\omega, b, \xi$的偏导为零可得：
$$ \frac{\partial L}{\partial \omega} = 0 \;\Rightarrow \omega = \sum\limits_{i=1}^{m}\alpha_iy_ix_i $$
$$ \frac{\partial L}{\partial b} = 0 \;\Rightarrow \sum\limits_{i=1}^{m}\alpha_iy_i = 0 $$
$$ \frac{\partial L}{\partial \xi} = 0 \;\Rightarrow C- \alpha_i - \mu_i = 0 $$
$$ \begin{align} L(\omega,b,\xi,\alpha,\mu) & = \frac{1}{2}||\omega||_2^2 +C\sum\limits_{i=1}^{m}\xi_i - \sum\limits_{i=1}^{m}\alpha_i[y_i(\omega^Tx_i + b) - 1 + \xi_i] - \sum\limits_{i=1}^{m}\mu_i\xi_i \\&= \frac{1}{2}||\omega||_2^2 - \sum\limits_{i=1}^{m}\alpha_i[y_i(\omega^Tx_i + b) - 1 + \xi_i] + \sum\limits_{i=1}^{m}\alpha_i\xi_i \\& = \frac{1}{2}||\omega||_2^2 - \sum\limits_{i=1}^{m}\alpha_i[y_i(\omega^Tx_i + b) - 1] \\& = \frac{1}{2}\omega^Tw-\sum\limits_{i=1}^{m}\alpha_iy_iw^Tx_i - \sum\limits_{i=1}^{m}\alpha_iy_ib + \sum\limits_{i=1}^{m}\alpha_i \\& = \frac{1}{2}\omega^T\sum\limits_{i=1}^{m}\alpha_iy_ix_i -\sum\limits_{i=1}^{m}\alpha_iy_iw^Tx_i - \sum\limits_{i=1}^{m}\alpha_iy_ib + \sum\limits_{i=1}^{m}\alpha_i \\& = \frac{1}{2}\omega^T\sum\limits_{i=1}^{m}\alpha_iy_ix_i - \omega^T\sum\limits_{i=1}^{m}\alpha_iy_ix_i - \sum\limits_{i=1}^{m}\alpha_iy_ib + \sum\limits_{i=1}^{m}\alpha_i \\& = - \frac{1}{2}\omega^T\sum\limits_{i=1}^{m}\alpha_iy_ix_i - \sum\limits_{i=1}^{m}\alpha_iy_ib + \sum\limits_{i=1}^{m}\alpha_i \\& = - \frac{1}{2}\omega^T\sum\limits_{i=1}^{m}\alpha_iy_ix_i - b\sum\limits_{i=1}^{m}\alpha_iy_i + \sum\limits_{i=1}^{m}\alpha_i \\& = -\frac{1}{2}(\sum\limits_{i=1}^{m}\alpha_iy_ix_i)^T(\sum\limits_{i=1}^{m}\alpha_iy_ix_i) - b\sum\limits_{i=1}^{m}\alpha_iy_i + \sum\limits_{i=1}^{m}\alpha_i \\& = -\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{m}\alpha_iy_ix_i^T\sum\limits_{i=1}^{m}\alpha_iy_ix_i - b\sum\limits_{i=1}^{m}\alpha_iy_i + \sum\limits_{i=1}^{m}\alpha_i \\& = -\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{m}\alpha_iy_ix_i^T\sum\limits_{i=1}^{m}\alpha_iy_ix_i + \sum\limits_{i=1}^{m}\alpha_i \\& = -\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1,j=1}^{m}\alpha_iy_ix_i^T\alpha_jy_jx_j + \sum\limits_{i=1}^{m}\alpha_i \\& = \sum\limits_{i=1}^{m}\alpha_i - \frac{1}{2}\sum\limits_{i=1,j=1}^{m}\alpha_i\alpha_jy_iy_jx_i^Tx_j \end{align} $$
注：
- 范数的定义：$||\omega||_2^2 =\omega^Tw$
- $(a+b+c+…)(a+b+c+…)=aa+ab+ac+ba+bb+bc+…$
这个式子和我们上一篇线性可分SVM的一样。唯一不一样的是约束条件。现在我们看看我们的优化目标的数学形式：
$$ \underbrace{ max }_{\alpha} \sum\limits_{i=1}^{m}\alpha_i - \frac{1}{2}\sum\limits_{i=1,j=1}^{m}\alpha_i\alpha_jy_iy_jx_i^Tx_j $$
$$ s.t. \; \sum\limits_{i=1}^{m}\alpha_iy_i = 0 $$
$$ C- \alpha_i - \mu_i = 0 $$
$$ \mu_i \geq 0 \;(i =1,2,...,m)\;\;,\alpha_i \geq 0 \;(i =1,2,...,m) $$
这就是软间隔最大化时的线性可分SVM的优化目标形式，和硬间隔最大化的线性可分SVM相比，我们仅仅是多了一个约束条件$0 \leq \alpha_i \leq C$。我们依然可以通过SMO算法来求上式极小化时对应的$\alpha$向量就可以求出$\omega$和$b$了。
软间隔SVM也可以用于非线性支持向量机，只需要将内积改为的内核即可。软间隔支持向量的代价函数既考虑了样本分类误差，又考虑了模型的复杂度，通过调节其中的参数$C$可以使函数既能够兼顾训练集上的分类精度，又控制模型复杂度，使模型泛化能力增加。因此，我们实际中所使用的SVM分类器基本上属于这一类。
总结成一句话：支持向量机就是使用了核函数的软间隔线性分类法。
看书&&看大神们博客的整理，给以后复习记下笔记，也希望对你有用（￣︶￣）↗
支持向量机的故事还在继续，我会持续更新哒~~也希望能关注一波我的独立博客——白水东城(●'◡'●)
参考：
