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在Miller Rabbin测试素数，就用到了快速幂取模的思想。这里总结下。
求a^b%c（这就是著名的RSA公钥的加密方法），当a,b很大时，直接求解这个问题不太可能
求a^b%c（这就是著名的RSA公钥的加密方法），当a,b很大时，直接求解这个问题不太可能
算法1：利用公式a*b%c=((a%c)*b)%c,这样每一步都进行这种处理，这就解决了a^b可能太大存不下的问题，但这个算法的时间复杂度依然没有得到优化
代码如下：
代码如下：
1 int modexp_simple(int a,int b,int n) 2 { 3 int ret = 1; 4 while (b--) 5 { 6 ret = a * ret % n; 7 } 8 return ret; 9 }
算法2：另一种算法利用了二分的思想，可以达到O(logn)。
可以把b按二进制展开为：b = p(n)*2^n + p(n-1)*2^(n-1) +…+ p(1)*2 + p(0)
其中p(i) (0<=i<=n)为 0 或 1
这样 a^b = a^ (p(n)*2^n + p(n-1)*2^(n-1) +...+ p(1)*2 + p(0))
= a^(p(n)*2^n) * a^(p(n-1)*2^(n-1)) *...* a^(p(1)*2) * a^p(0)
对于p(i)=0的情况, a^（p(i) * 2^(i-1) ） = a^0 = 1,不用处理
我们要考虑的仅仅是p(i)=1的情况
化简：a^(2^i) = a^(2^(i-1) * 2) = ( a^( p(i) * 2^(i-1) ) )^2
（这里很重要！！具体请参阅秦九韶算法：http://baike.baidu.com/view/1431260.htm）
利用这一点，我们可以递推地算出所有的a^(2^i)
当然由算法1的结论，我们加上取模运算：
a^(2^i)%c = ( (a^(2^(i-1))%c) * a^(2^(i-1))) %c
于是再把所有满足p(i)=1的a^(2^i)%c按照算法1乘起来再%c就是结果， 即二进制扫描从最高位一直扫描到最低位
当然由算法1的结论，我们加上取模运算：
a^(2^i)%c = ( (a^(2^(i-1))%c) * a^(2^(i-1))) %c
于是再把所有满足p(i)=1的a^(2^i)%c按照算法1乘起来再%c就是结果， 即二进制扫描从最高位一直扫描到最低位
实例代码：递归
1 //计算a^bmodn 2 int modexp_recursion(int a,int b,int n) 3 { 4 int t = 1; 5 6 if (b == 0) 7 return 1; 8 9 if (b == 1) 10 return a%n; 11 12 t = modexp_recursion(a, b>>1, n); 13 14 t = t*t % n; 15 16 if (b&0x1) 17 { 18 t = t*a % n; 19 } 20 21 return t; 22 }
实例代码2：非递归优化
1 #include <iostream> 2 using namespace std; 3 4 //计算a^bmodn 5 int modexp(int a,int b,int n) 6 { 7 int ret=1; 8 int tmp=a; 9 while(b) 10 { 11 //基数存在 12 if(b&0x1) ret=ret*tmp%n; 13 tmp=tmp*tmp%n; 14 b>>=1; 15 } 16 return ret; 17 } 18 19 int main() 20 { 21 cout<<modexp(2,10,3)<<endl; 22 return 0; 23 }
原文：http://kmplayer.javaeye.com/blog/601578
本文转自csdn博客：http://blog.csdn.net/lsldd/article/details/5506933
