数论 + 公式 - HDU 4335 What is N?

简介: What is N?  Problem's Link:  http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4335   Mean:  给你三个数b、P、M,让你求有多少个n满足下式。

What is N? 

Problem's Link:  http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4335


 

Mean: 

给你三个数b、P、M,让你求有多少个n满足下式。

analyse:

看到数据被吓到了,没半点思路,后来看了解题报告,方法竟然是暴力!

当然暴力是有条件的。

有这样一个公式:

A^x = A^(x % Phi(C) + Phi(C)) (mod C) (x>=Phi(C))

这个公式的具体证明原来在aekdycoin的百度空间有,但是随着百度空间被转移(百度作死,流失了好多优质的文章==),这篇文章的完整版也流失了。

我们就当这个公式是定理吧!

当n!<Phi(C)时,此时我们暴力解决就可。
 
当n!大于phi(P)的时候,就需要用上面的降幂公式了。
 
方法还是暴力,n!%phi(p)会出现0,这是必然的,至少n>=phi(p)为0,
 
那么(n+1)!%phi(p)也为0,这便出现了重复,转变为n^(phi(p))%p==b的问题了。
 
固定了指数,根据鸽巢原理,余数是循环的,那么只要找出p个的结果,之后通过循环节求解便可以了。
 
Trick:当P为1的时候,b为0,这时候答案是m+1,不过m可能为2^64-1,如果加1的话就会溢出,巨坑。

 

Time complexity: O(N)

 

Source code:

/*
* this code is made by crazyacking
* Verdict: Accepted
* Submission Date: 2015-08-25-23.41
* Time: 0MS
* Memory: 137KB
*/
#include <queue>
#include <cstdio>
#include <set>
#include <string>
#include <stack>
#include <cmath>
#include <climits>
#include <map>
#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;
typedef __int64( LL);
typedef unsigned __int64( ULL);
const double eps( 1e-8);

LL get_eular( LL m)
{
      LL ret = 1;
      for( LL i = 2; i * i <= m; i ++)
            if( m % i == 0)
            {
                  ret *= i - 1;
                  m /= i;
                  while( m % i == 0)
                  {
                        m /= i;
                        ret *= i;
                  }
            }
      if( m > 1) ret *= m - 1;
      return ret;
}

long long Quickpow( long long a , long long b , long long m)
{
      long long ans = 1;
      while(b)
      {
            if(b & 1) { ans =( ans * a) % m ,b --; }
           b /= 2 , a = a * a % m;
      }
      return ans;
}

LL b ,p , m , ring [ 100010 ];
int main()
{
      int t , Cas = 0;
      scanf( "%d" , & t);
      while( t --)
      {
            scanf( "%I64u %I64u %I64u" , &b , &p , & m);
            if(p == 1)
            {
                  if( m == 18446744073709551615ULL)
                        printf( "18446744073709551616 \n ");
                  else
                        printf( "%I64u \n " , m + 1);
                  continue;
            }
            LL i = 0 , phi = get_eular(p ), fac = 1 , ans = 0;
            for( i = 0; i <= m && fac <= phi; i ++)
            {
                  if( Quickpow( i , fac ,p) ==b)
                        ans ++;
                  fac *= i + 1;
            }
            fac = fac % phi;
            for(; i <= m && fac; i ++)
            {
                  if( Quickpow( i , fac + phi ,p) ==b)
                        ans ++;
                  fac =( fac *( i + 1)) % phi;
            }
            if( i <= m)
            {
                  LL cnt = 0;
                  for( int j = 0; j <p; j ++)
                  {
                        ring [ j ] = Quickpow( i + j , phi ,p);
                        if( ring [ j ] ==b)
                              cnt ++;
                  }
                  LL idx =( m - i + 1) /p;
                  ans += cnt * idx;
                  LL remain =( m - i + 1) %p;
                  for( int j = 0; j < remain; j ++)
                        if( ring [ j ] ==b)
                              ans ++;
            }
            printf( "Case #%d: %I64u \n " , ++ Cas , ans);
      }
      return 0;
} /

 

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