1.引言 多矩阵连乘
对于一般的矩阵乘法来说，如矩阵A(m,n)与矩阵B(n,p)相乘需要进行的加法次数为m*n*p次乘法。
由于矩阵乘法满足结合律，因此矩阵相乘的结合性，会影响整个计算表达式的乘法执行次数。
如下面的例子，其中A(10,5)、B(5,20)、C(20,3)：
(1) ((AB)C) 执行乘法次数为1300次
(2) (A(BC)) 执行乘法次数为450次
2.求最优的矩阵结合表达式
(1)设矩阵连乘积AiAi+1…Aj简记为A[i:j]，设最优计算次序在Ak和Ak+1之间断开，则加括号方式为：
((AiAi+1…Ak) (Ak+1…Aj) )
则依照这个次序，先计算A[i:k]和A[k+1:j]然后再将计算结果相乘，计算量是：
A[i:k]的计算量+A[K+1:j]的计算量+它们两者相乘的计算量
这里的关键是：计算A[i:j]的最优次序所包含的两个子过程（计算A[i:k]和A[K+1:j]）也是最优次序
(2)具体计算
设计算A[i,j]需要的乘法次数记为m[i,j]。
M[i,j] = 0; (i == j，表示一个矩阵，当然不需要乘法运算)
M[i,j] = min(M[i,k]+M[k+1,j]+pi*pk*pj); (k在[i,j)之间取值，表示分割点的位置，求最适合的分割点使得乘法次数最少)
下面是使用动态规划计算6个矩阵连乘的示意图。可以使用自底向上计算，这样矩阵的分割点好计算。如先计算01两个矩阵乘积，在计算02三个矩阵乘积，在计算03四个矩阵乘积：
01 12 23 34 45
02 13 24 35
03 14 25
04 15
05
3.程序实例
程序可以根据给出的多个矩阵的行、列，生成最优结合的相乘表达式。
1 #include <iostream> 2 #include <vector> 3 #include <algorithm> 4 #include <limits.h> 5 #include <string> 6 using namespace std; 7 ///计算M矩阵 8 int calculate_M(vector<vector<int> >&num,vector<pair<int,int> > &data,vector<vector<int> > &points){ 9 int len = data.size(); 10 for(int span = 1;span<len;span++){ ///间隔距离 11 for(int col=0;col<len-span;col++){ ///操作起始列 12 13 for(int i=col;i<col+span;i++){ 14 int tmp = num[col][i] + num[i+1][col+span] + data[col].first*data[i].second*data[col+span].second; 15 if(tmp < num[col][col+span]){ 16 points[col][col+span] = i; ///记录分割点 17 num[col][col+span] = tmp; ///记录最少乘法次数 18 } 19 } 20 } 21 } 22 return 0; 23 } 24 25 ///根据记录的分割点，生成最后的矩阵相乘表达式 26 string make_result(vector<vector<int> > &points,int t1,int t2){ 27 if(t1 == t2) 28 return string(1,'A'+t1); 29 int split = points[t1][t2]; 30 return "("+make_result(points,t1,split)+"*"+make_result(points,split+1,t2)+")"; 31 } 32 33 int main() 34 { 35 vector<pair<int,int>> data; ///保存矩阵的行、列 36 data.push_back(make_pair(10,100)); //A 37 data.push_back(make_pair(100,5)); //B 38 data.push_back(make_pair(5,25)); //C 39 data.push_back(make_pair(25,15)); //D 40 data.push_back(make_pair(15,20)); //E 41 42 43 int len = data.size(); 44 vector<vector<int> > num(len,vector<int>(len)); ///定义二维向量，并预先分配空间，记录乘法次数 45 vector<vector<int> > points(len,vector<int>(len)); ///定义二维向量，并预先分配空间，记录分割点 46 for(int i=0;i<len;i++){ 47 for(int j=0;j<len;j++){ 48 points[i][j] = -1; 49 if(i == j) 50 num[i][j] = 0; ///自己和自己相乘，所以为0 51 else 52 num[i][j] = INT_MAX; ///否则，记为最大整数值 53 } 54 } 55 56 calculate_M(num,data,points); 57 cout<<make_result(points,0,len-1)<<"\t最少乘法次数为:"<<num[0][len-1]<<endl; 58 return 0; 59 }
输入矩阵，表示每个矩阵的行、列：
输出最优的结合表达式：
