对于向量的相似检索，除了检索算法本身以外，如何优化存储空间也是我们必须要关注的一个技术问题。以 1024 维的向量为例，因为每个向量维度值是一个浮点数（浮点数就是小数，一个浮点数有 4 个字节），所以一个向量就有 4K 个字节。如果是上亿级别的数据，光是存储向量就需要几百 G 的内存，这会导致向量检索难以在内存中完成检索。
因此，为了能更好地将向量加载到内存中，我们需要压缩向量的表示。比如说，我们可以用聚类中心的向量代替聚类中的每个向量。这样，一个类内的点都可以用这个类的 ID 来代替和存储，我们也就节省了存储每个向量的空间开销。那计算查询向量和原始样本向量距离的过程，也就可以改为计算查询向量和对应聚类中心向量的距离了。
想要压缩向量，我们往往会使用 向量量化（Vector Quantization）技术。其中，我们最常用的是 乘积量化（Product Quantization）技术。
乍一看，你会觉得乘积量化是个非常晦涩难懂的概念，但它其实并没有那么复杂。接下来，我就把它拆分成乘积和量化这两个概念，来为你详细解释一下。
量化指的就是将一个空间划分为多个区域，然后为每个区域编码标识。比如说，一个二维空间 可以被划为两块，那我们只需要 1 个比特位就能分别为这两个区域编码了，它们的空间编码分别是 0 和 1。那对二维空间中的任意一个点来说，它要么属于区域 0，要么属于区域 1。
这样，我们就可以用 1 个比特位的 0 或 1 编码，来代替任意一个点的二维空间坐标 了 。假设 x 和 y 是两个浮点数，各 4 个字节，那它们一共是 8 个字节。如果我们将 8 个字节的坐标用 1 个比特位来表示，就能达到压缩存储空间的目的了。前面我们说的用聚类 ID 代替具体的向量来进行压缩，也是同样的原理。
而 乘积指的是高维空间可以看作是由多个低维空间相乘得到的。我们还是以二维空间 为例，它就是由两个一维空间和相乘得到。类似的还有，三维空间 是由一个二维空间 和一个一维空间相乘得到，依此类推。
那将高维空间分解成多个低维空间的乘积有什么好处呢？它能降低数据的存储量。比如说，二维空间是由一维的 x 轴和 y 轴相乘得到。x 轴上有 4 个点 x1 到 x4，y 轴上有 4 个点 y1 到 y4，这四个点的交叉乘积，会在二维空间形成 16 个点。但是，如果我们仅存储一维空间中，x 轴和 y 轴的各 4 个点，一共只需要存储 8 个一维的点，这会比存储 16 个二维的点更节省空间。
总结来说，对向量进行乘积量化，其实就是将向量的高维空间看成是多个子空间的乘积，然后针对每个子空间，再用聚类技术分成多个区域。最后，给每个区域生成一个唯一编码，也就是聚类 ID。
好了，乘积量化压缩向量的原理我们已经知道了。接下来，我们就通过一个例子来说说，乘积量化压缩样本向量的具体操作过程。
如果我们的样本向量都是 1024 维的浮点数向量，那我们可以将它分为 4 段，这样每一段就都是一个 256 维的浮点向量。然后，在每一段的 256 维的空间里，我们用聚类算法将这 256 维空间再划分为 256 个聚类。接着，我们可以用 1 至 256 作为 ID，来为这 256 个聚类中心编号。这样，我们就得到了 256 4 共 1024 个聚类中心，每个聚类中心都是一个 256 维的浮点数向量（256 4 字节 = 1024 字节）。最后，我们将这 1024 个聚类中心向量都存储下来。
这样，对于这个空间中的每个向量，我们就不需要再精确记录它在每一维上的权重了。我们只需要将每个向量都分为四段，让 每段子向量都根据聚类算法找到所属的聚类，然后用它所属聚类的 ID 来表示这段子向量 就可以了。
因为聚类 ID 是从 1 到 256 的，所以我们只需要 8 个比特位就可以表示这个聚类 ID 了。由于完整的样本向量有四段，因此我们用 4 个聚类 ID 就可以表示一个完整的样本向量了，也就一共只需要 32 个比特位。因此，一个 1024 维的原始浮点数向量（共 1024 * 4 字节）使用乘积量化压缩后，存储空间变为了 32 个比特位，空间使用只有原来的 1/1024。存储空间被大幅降低之后，所有的样本向量就有可能都被加载到内存中了。
