在搜索引擎和推荐引擎中，往往有很多文章的内容是非常相似的，它们可能只有一些修饰词不同。如果在搜索结果或者推荐结果中，我们将这些文章不加过滤就全部展现出来，那用户可能在第一页看到的都是几乎相同的内容。这样的话，用户的使用体验就会非常糟糕。因此，在搜索引擎和推荐引擎中，对相似文章去重是一个非常重要的环节。
对相似文章去重，本质上就是把相似的文章都检索出来。今天，我们就来聊聊如何快速检索相似的文章。
如何在向量空间中进行近邻检索？
既然是要讨论相似文章的检索，那我们就得知道，一篇文章是怎么用计算机能理解的形式表示出来的，以及怎么计算两篇文章的相似性。最常见的方式就是使用 向量空间模型（Vector Space Model）。所谓向量空间模型，就是将所有文档中出现过的所有关键词都提取出来。如果一共有 n 个关键词，那每个关键词就是一个维度，这就组成了一个 n 维的向量空间。
那一篇文档具体该如何表示呢？我们可以假设，一篇文章中有 k（0。这样一来，每一个文档就都是 n 维向量空间中的一个点。
那接下来，计算两个文章相似度就变成了计算两个向量的相似度。计算向量相似度实际上就是计算两个向量的距离，距离越小，它们就越相似。具体在计算的时候，我们可以使用很多种距离度量方式。比如说，我们可以采用余弦距离，或者采用欧式距离等。一般来说，我们会采用余弦距离来计算向量相似度。
拓展到搜索引擎和推荐引擎中，因为每个文档都是 n 维向量中的一个点，所以查询相似文章的问题，就变成了在 n 维空间中，查询离一个点距离最近的 k 个点的问题。如果把这些「点」想象成「人」，这不就和我们在二维空间中查询附近的人的问题非常类似了吗？这就给了我们一个启发，我们是不是也能用类似的检索技术来解决它呢？下面，我们一起来看一下。
首先，在十几维量级的低维空间中，我们可以使用 k-d 树进行 k 维空间的近邻检索，它的性能还是不错的。但随着维度的增加， 如果我们还要精准找到最邻近的 k 个点，k-d 需要不停递归来探索邻接区域，检索效率就会急剧下降，甚至接近于遍历代价。当关键词是几万乃至百万级别时，文档的向量空间可能是一个上万维甚至是百万维的超高维空间，使用 k-d 树就更难以完成检索工作了。因此，我们需要寻找更简单、高效的方案。
这个时候，使用非精准 Top K 检索代替精准 Top K 检索的方案就又可以派上用场了。这是为什么呢？因为高维空间本身就很抽象，在用向量空间中的一个点表示一个对象的过程中，如果我们选择了不同的权重计算方式，那得到的向量就会不同，所以这种表示方法本身就已经损失了一定的精确性。
因此，对于高维空间的近邻检索问题，我们可以使用 近似最近邻检索（Approximate Nearest Neighbor）来实现。你可以先想一想查询附近的人是怎么实现的，然后再和我一起来看高维空间的近似最近邻检索是怎么做的。
什么是局部敏感哈希？
借助非精准检索的思路，我们可以将高维空间的点也进行区域划分，然后为每个区域都生成一个简单的一维编码。这样，当我们要查找一个点最邻近的 k 个点的时候，直接计算出区域编码就能高效检索出同一个区域的所有对象了。
也因此，我们就能得出一个结论，那就是同一个区域中的不同的点，通过统一的计算过程，都能得到相同的区域编码。这种将复杂对象映射成简单编码的过程，是不是很像哈希的思路？
所以，我们可以利用哈希的思路，将高维空间中的点映射成低维空间中的一维编码。换句话说，我们通过计算不同文章的哈希值，就能得到一维哈希编码。如果两篇文章内容 100% 相同，那它们的哈希值就是相同的，也就相当于编码相同。
不过，如果我们用的是普通的哈希函数，只要文档中的关键词有一些轻微的变化（如改变了一个字），哈希值就会有很大的差异。但我们又希望，整体相似度高的两篇文档，通过哈希计算以后得到的值也是相近的。因此，工业界设计了一种哈希函数，它可以让相似的数据通过哈希计算后，生成的哈希值是相近的（甚至是相等的）。这种哈希函数就叫作 局部敏感哈希（Locality-Sensitive Hashing）。
其实局部敏感哈希并不神秘。让我们以熟悉的二维空间为例来进一步解释一下。
在二维空间中，我们随意划一条直线就能将它一分为二，我们把直线上方的点的哈希值定为 1，把直线下方的点的哈希值定为 0。这样就完成一个简单的哈希映射。通过这样的随机划分，两个很接近的点被同时划入同一边的概率，就会远大于其他节点。也就是说，这两个节点的哈希值相同的概率会远大于其他节点。
当然，这样的划分有很大的随机性，不一定可靠。但是，如果我们连续做了 n 次这样的随机划分，这两个点每次都在同一边，那我们就可以认为它们在很大概率上是相近的。因此，我们只要在 n 次随机划分的过程中，记录下每一个点在每次划分后的值是 0 还是 1，就能得到一个 n 位的包含 0 和 1 的序列了。这个序列就是我们得到的哈希值，也就是区域编码。
因此，对于高维空间，我们构造局部敏感哈希函数的方案是，随机地生成 n 个超平面，每个超平面都将高维空间划分为两部分。位于超平面上面的点的哈希值为 1，位于超平面下方的点的哈希值为 0。由于有 n 个超平面，因此一个点会被判断 n 次，生成一个 n 位的包含 0 和 1 的序列，它就是这个点的哈希值。这就是一个基于超平面划分的局部敏感哈希构造方法。（为了方便你直观理解，我简单说成了判断一个点位于超平面的上面还是下面。在更严谨的数学表示中，其实是求一个点的向量和超平面上法向量的余弦值，通过余弦值的正负判断是 1 还是 0。这里，你理解原理就可以了，严谨的数学分析我就不展开了。）
如果有两个点的哈希值是完全一样的，就说明它们被 n 个超平面都划分到了同一边，它们有很大的概率是相近的。即使哈希值不完全一样，只要它们在 n 个比特位中有大部分是相同的，也能说明它们有很高的相近概率。
上面我们说的判断标准都比较笼统，实际上，在利用局部敏感哈希值来判断文章相似性的时候，我们会以表示比特位差异数的 海明距离（Hamming Distance）为标准。我们可以认为如果两个对象的哈希值的海明距离低于 k，它们就是相近的。举个例子，如果有两个哈希值，比特位分别为 00000 和 10000。你可以看到，它们只有第一个比特位不一样，那它们的海明距离就是 1。如果我们认为海明距离在 2 之内的哈希值都是相似的，那它们就是相似的。
SimHash 是怎么构造的？
不过，这种构造局部敏感哈希函数的方式也有一些缺陷：在原来的空间中，不同维度本来是有着不同权重的，权重代表了不同关键词的重要性，是一个很重要的信息。但是空间被 n 个超平面随机划分以后，权重信息在某种程度上就被丢弃了。
那为了保留维度上的权重，并且简化整个函数的生成过程，Google 提出了一种简单有效的局部敏感哈希函数，叫作 SimHash。它其实是使用一个普通哈希函数代替了 n 次随机超平面划分，并且这个普通哈希函数的作用对象也不是文档，而是文档中的每一个关键词。这样一来，我们就能在计算的时候保留下关键词的权重了。这么说有些抽象，让我们一起来看看 SimHash 的实现细节。
方便起见，我们就以 Google 官方介绍的 64 位的 SimHash 为例，来说一说它构造过程。整个过程，我们可以总结为 5 步。
- 选择一个能将关键词映射到 64 位正整数的普通哈希函数。
- 使用该哈希函数给文档中的每个关键词生成一个 64 位的哈希值，并将该哈希值中的 0 修改为 -1。比如说，关键词 A 的哈希值编码为 <1,0,1,1,0>，那我们做完转换以后，编码就变成了 <1,-1,1,1,-1>。
- 将关键词的编码乘上关键词自己的权重。如果关键词编码为 <1,-1,1,1,-1>，关键词的权重为 2，最后我们得到的关键词编码就变成了 <2,-2,2,2,-2>。
- 将所有关键词的编码按位相加，合成一个编码。如果两个关键词的编码分别为 <2,-2,2,2,-2> 和 <3,3,-3,3,3>，那它们相加以后就会得到 <5,1,-1,5,1>。
- 将最终得到的编码中大于 0 的值变为 1，小于等于 0 的变为 0。这样，编码 <5,1,-1,5, 1> 就会被转换为 <1,1,0,1,1> 。
通过这样巧妙的构造，SimHash 将每个关键词的权重保留并且叠加，一直留到最后，从而使得高权重的关键词的影响能被保留。从上图中你可以看到，整个文档的 SimHash 值和权重最大的关键词 word 2 的哈希值是一样的。这就体现了高权重的关键词对文档的最终哈希值的影响。此外，SimHash 通过一个简单的普通哈希函数就能生成 64 位哈希值，这替代了随机划分 64 个超平面的复杂工作，也让整个函数的实现更简单。
如何对局部敏感哈希值进行相似检索？
和其他局部敏感哈希函数一样，如果两个文档的 SimHash 值的海明距离小于 k，我们就认为它们是相似的。举个例子，在 Google 的实现中，k 的取值为 3。这个时候，检索相似文章的问题变成了要找出海明距离在 3 之内的所有文档。如果是一个个文档比对的话，这就是一个遍历过程，效率很低。有没有更高效的检索方案呢？
一个直观的想法是，我们可以针对每一个比特位做索引。由于每个比特位只有 0 和 1 这 2 个值，一共有 64 个比特位，也就一共有 2*64 共 128 个不同的 Key。因此我们可以使用倒排索引，将所有的文档根据自己每个比特位的值，加入到对应的倒排索引的 posting list 中。这样，当要查询和一个文档相似的其他文档的时候，我们只需要通过 3 步就可以实现了，具体的步骤如下：
- 计算出待查询文档的 SimHash 值；
- 以该 SimHash 值中每个比特位的值作为 Key，去倒排索引中查询，将相同位置具有相同值的文档都召回；
- 合并这些文档，并一一判断它们和要查询的文档之间的海明距离是否在 3 之内，留下满足条件的。
我们发现，在这个过程中，只要有一个比特位的值相同，文档就会被召回。也就是说，这个方案和遍历所有文档相比，其实只能排除掉「比特位完全不同的文档」。因此，这种方法的检索效率并不高。
这又该怎么优化呢？Google 利用 抽屉原理 设计了一个更高效的检索方法。什么是抽屉原理呢？简单来说，如果我们有 3 个苹果要放入 4 个抽屉，就至少有一个抽屉会是空的。那应用到检索上，Google 会将哈希值平均切为 4 段，如果两个哈希值的比特位差异不超过 3 个，那这三个差异的比特位最多出现在 3 个段中，也就是说至少有一个段的比特位是完全相同的！因此，我们可以将前面的查询优化为「有一段比特位完全相同的文档会被召回」。
根据这个思路，我们可以将每一个文档都根据比特位划分为 4 段，以每一段的 16 个比特位的值作为 Key，建立 4 个倒排索引。检索的时候，我们会把要查询文档的 SimHash 值也分为 4 段，然后分别去对应的倒排索引中，查询和自己这一段比特位完全相同的文档。最后，将返回的四个 posting list 合并，并一一判断它们的的海明距离是否在 3 之内。
通过使用 SimHash 函数和分段检索（抽屉原理），使得 Google 能在百亿级别的网页中快速完成过滤相似网页的功能，从而保证了搜索结果的质量。
重点回顾
今天，我们重点学习了使用局部敏感哈希的方法过滤相似文章。
我们可以使用向量空间模型将文章表示为高维空间中的点，从而将相似文章过滤问题转为高维空间的最近邻检索问题。对于高维空间的最近邻检索问题，我们可以使用非精准的检索思路，使用局部敏感哈希为高维空间的点生成低维的哈希值。
局部敏感哈希有许多构造方法，我们主要讲了随机超平面划分和 SimHash 两种方法。相比于随机超平面划分，SimHash 能保留每一个关键词的权重，并且它的函数实现也更简单。
那对于局部敏感哈希的相似检索，我们可以使用海明距离定义相似度，用抽屉原理进行分段划分，从而可以建立对应的倒排索引，完成高效检索。
实际上，不仅过滤相似文章可以使用局部敏感哈希，在拍照识图和摇一摇搜歌等应用场景中，我们都可以使用它来快速检索。以图像检索为例，我们可以对图像进行特征分析，用向量来表示一张图片，这样一张图片就是高维空间中的一个点了，图像检索就也抽象成了高维空间中的近邻检索问题，也就可以使用局部敏感哈希来完成了。
当然基于局部敏感哈希的检索也有它的局限性。以相似文章检索为例，局部敏感哈希更擅长处理字面上的相似而不是语义上的相似。比如，一篇文章介绍的是随机超平面划分，另一篇文章介绍的是 SimHash，两篇文章可能在字面上差距很大，但内容领域其实是相似的。好的推荐系统在用户看完随机超平面划分的文章后，还可以推荐 SimHash 这篇文章，但局部敏感哈希在这种语义相似的推荐系统中就不适用了。
因此，对于更灵活的相似检索问题，工业界还有许多的解决方法，我们后面再详细介绍。
课堂讨论
- 对于 SimHash，如果将海明距离在 4 之内的文章都定义为相似的，那我们应该将哈希值分为几段进行索引和查询呢？
- SimHash 的算法能否应用到文章以外的其他对象？你能举个例子吗？
