求数组中的最大值和最小值

程序中，我们经常使用数组（列表）存储给定的线性序列（例如 {1,2,3,4}），那么如何查找数组（序列）中的最大值或者最小值呢？

查找数组（序列）中最大值或最小值的算法有很多，接下来我们以 {3,7,2,1} 序列为例讲解两种查找最值的算法，一种是普通算法，另一种是借助分治算法解决。

普通算法

普通算法的解决思路是：创建两个变量 max 和 min 分别记录数组中的最大值和最小值，它们的初始值都是数组中的第一个数字。从第 2 个数字开始遍历数组，每遇到一个比 max 大的数字，就将它存储到 max 变量中；每遇到一个比 min 小的数字，就将它存储到 min 变量中。直到遍历完整个数组，max 记录的就是数组中的最大值，min 记录的就是数组中的最小值。

下面的动画，演示了找最大值的过程：

图1：数组中找最大值的过程

找最小值的过程和图 1 类似，这里不再给出具体的动画演示。

如下是普通算法对应的伪代码：

输入 num[1...n]              // 输入 n 个数字

max <- num[1]                // 将第 1 个数字赋值给 max（表示最大值）

min <- num[1]                // 将第 1 个数字赋值给 min（表示最小值）

for i <- 2 to n:             // 从第 2 个数字开始遍历

   if num[i] > max:         // 如果 max 小于遍历到的数字，则更新 max 的值

       max <- num[i]

   if num[i] < min:         // 如果 min 小于遍历到的数字，则更新 min 的值

       min <- num[i]

Print max , min              // 输出 max 和 min 的值

实现过程非常简单，感兴趣的读者可以自行编写对应的 C、Java 或者 Python 代码。

分治算法

下图展示了用分治算法查找 {3, 7, 2, 1} 中最大值的实现过程：

图2：分治算法找最大值

分治算法的实现思路是：不断地等分数组中的元素，直至各个分组中元素的个数 ≤2。由于每个分组内的元素最多有 2 个，很容易就可以找出其中的最值（最大值或最小值），然后这些最值再进行两两比较，最终找到的最值就是整个数组中的最值。

如图 2 所示，借助“分而治之”的思想，我们将“找 {3, 7, 2, 1} 中最值”的问题转换成了：先找出 {3 , 7]、[2 , 1} 中各自的最值，找出的最值再进行两两比较，最终就可以找到整个数组中的最值。

如下是分治算法求数组中最大值的伪代码：

输入 arr[1...n]           // 输入 n 个数字

arr_max(x , y) :          // 设计一个递归函数，[x , y] 用来限定查找最大数的范围

   if y-x ≤ 1 :         // 如果 y-x 的值小于等于 1，则比较 arr[x] 和 arr[y] 的值，大的就是最大值

       return max(arr[x] , arr[y])

   else :

       // 将 [x , y] 区域划分为 [x , ⌊(x+y)/2⌋ ] 和 [ ⌊(x+y)/2+1⌋ , y] 两个区域，求出两个区域内各自的最大值

       max1 = arr_max(x , ⌊(x+y)/2⌋ )    

       max2 = arr_max( ⌊(x+y)/2+1⌋ , y)

   return max(max1 , max2)   // 比较两个区域的最大值，最终找出 [x , y] 中的最大值

分治算法实现“求数组中最大值”的C语言程序如下：

1. #include <stdio.h>
2. //自定义函数，其中 [left,right] 表示 arr 数组中查找最大值的范围
3. int get_max(int* arr, int left, int right) {
4. int max_left = 0, max_right = 0, middle = 0;
5. //如果数组不存在
6. if (arr == NULL) {
7. return  -1;
8. }
9. //如果查找范围中仅有一个数字
10. if (right - left == 0) {
11. return arr[left];
12. }
13. //如果查找范围中有 2 个数字，直接比较即可
14. if (right - left <= 1) {
15. if (arr[left] >= arr[right]) {
16. return arr[left];
17. }
18. return  arr[right];
19. }
20. //等量划分成 2 个区域
21.    middle = (right - left) / 2 + left;
22. //得到左侧区域中的最大值
23.    max_left = get_max(arr, left, middle);
24. //得到右侧区域中的最大值
25.    max_right = get_max(arr, middle + 1, right);
26. //比较左、右两侧的最大值，找到 [left,right] 整个区域的最大值
27. if (max_left >= max_right) {
28. return  max_left;
29. }
30. else {
31. return max_right;
32. }
33. }
34. int main() {
35. int arr[4] = { 3,7,2,1 };
36. int max = get_max(arr, 0, 3);
37. printf("最大值：%d", max);
38. return 0;
39. }

分治算法实现“求数组中最大值”的 Java 程序如下：

1. public class Demo {
2. public static int get_max(int [] arr,int left,int right) {
3. //如果数组不存在或者数组内没有元素
4. if (arr == null || arr.length == 0) {
5. return -1;
6. }
7. //如果查找范围中仅有 2 个数字，则直接比较即可
8. if(right - left <=1) {
9. if(arr[left] >= arr[right]) {
10. return arr[left];
11. }
12. return arr[right];
13. }
14. //等量划分成 2 个区域
15. int middle = (right-left)/2 + left;
16. int max_left = get_max(arr,left,middle);
17. int max_right = get_max(arr,middle+1,right);
18. if(max_left >= max_right) {
19. return max_left;
20. }else {
21. return max_right;
22. }
23. }
24. public static void main(String[] args) {
25. int [] arr = new int[] { 3,7,2,1 };
26. int max = get_max(arr,0,3);
27.        System.out.println("最大值："+max);
28. }
29. }

分治算法实现“求数组中最大值”的 Python 程序如下：

1. def get_max(arr,left,right):
2. #列表中没有数据
3. if len(arr) == 0:
4. return -1
5. #如果查找范围中仅有 2 个数字，则直接比较即可
6. if right - left <= 1:
7. if arr[left] >= arr[right]:
8. return arr[left]
9. return arr[right]
10. #等量划分成 2 个区域
11.    middle = int((right-left)/2 + left)
12.    max_left = get_max(arr,left,middle)
13.    max_right = get_max(arr,middle+1,right)
14. if max_left >= max_right:
15. return max_left
16. else:
17. return max_right
18. arr = [3,7,2,1]
19. max = get_max(arr,0,3)
20. print("最大值：",max,sep='')

以上程序的输出结果均为：

最大值：7

您可以根据伪代码和给出的找数组中最大值的程序，自行编写出找数组中最小值的程序，这里不再过多赘述。