【C++航海王：追寻罗杰的编程之路】关联式容器的底层结构——AVL树
1 -> 底层结构
在上文中对对map/multimap/set/multiset进行了简单的介绍，在其文档介绍中发现，这几个容器有个共同点是：其底层都是按照二叉搜索树来实现的，但是二叉搜索树有其自身的缺陷，假如往树中
插入的元素有序或者接近有序，二叉搜索树就会退化成单支树，时间复杂度会退化成O(N)，因此
map、set等关联式容器的底层结构是对二叉树进行了平衡处理，即采用平衡树来实现。
2 -> AVL树
2.1 -> AVL树的概念
二叉搜索树虽然可以缩短查找的效率，但如果数据有序或者接近有序的二叉搜索树将退化成单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新节点后，如果能保证每个节点的左右子树的高度差的绝对值不超过1(需要对树中的节点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索的长度。
一棵AVL树或者空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树：
- 它的左右子树都是AVL树
- 左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1)
如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，它就是AVL树。如果它有n个节点，其高度可保持在O(n)，搜索时间复杂度O(n)。
2.2 -> AVL树节点的定义
AVL树节点的定义：
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1 #include <iostream> using namespace std; template<class T> struct AVLTreeNode { AVLTreeNode(const T& data) : _pLeft(nullptr), _pRight(nullptr), _pParent(nullptr) , _data(data), _bf(0) {} AVLTreeNode<T>* _pLeft; // 该节点的左孩子 AVLTreeNode<T>* _pRight; // 该节点的右孩子 AVLTreeNode<T>* _pParent; // 该节点的双亲 T _data; int _bf; // 该节点的平衡因子 }
2.3 -> AVL树的插入
AVL树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子，因此AVL树也可以看成是二叉搜索树。那么AVL树的插入过程可以分为两步：
- 按照二叉搜索树的方式插入新节点。
- 调整节点的平衡因子。
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1 #include <iostream> using namespace std; template<class T> struct AVLTreeNode { AVLTreeNode(const T& data) : _pLeft(nullptr), _pRight(nullptr), _pParent(nullptr) , _data(data), _bf(0) {} AVLTreeNode<T>* _pLeft; // 该节点的左孩子 AVLTreeNode<T>* _pRight; // 该节点的右孩子 AVLTreeNode<T>* _pParent; // 该节点的双亲 T _data; int _bf; // 该节点的平衡因子 bool Insert(const T& data) { // 1. 先按照二叉搜索树的规则将节点插入到AVL树中 // 2. 新节点插入后，AVL树的平衡性可能会遭到破坏， // 此时就需要更新平衡因子，并检测是否破坏了AVL树的平衡性 /* pCur插入后，pParent的平衡因子一定需要调整，在插入之前，pParent 的平衡因子分为三种情况：-1，0, 1, 分以下两种情况： 1. 如果pCur插入到pParent的左侧，只需给pParent的平衡因子-1即可 2. 如果pCur插入到pParent的右侧，只需给pParent的平衡因子+1即可 此时：pParent的平衡因子可能有三种情况：0，正负1， 正负2 1. 如果pParent的平衡因子为0，说明插入之前pParent的平衡因子为正负1，插入后被调整 成0，此时满足 AVL树的性质，插入成功 2. 如果pParent的平衡因子为正负1，说明插入前pParent的平衡因子一定为0，插入后被更 新成正负1，此 时以pParent为根的树的高度增加，需要继续向上更新 3. 如果pParent的平衡因子为正负2，则pParent的平衡因子违反平衡树的性质，需要对其进 行旋转处理 */ while (pParent) { // 更新双亲的平衡因子 if (pCur == pParent->_pLeft) pParent->_bf--; else pParent->_bf++; // 更新后检测双亲的平衡因子 if (0 == pParent->_bf) { break; } else if (1 == pParent->_bf || -1 == pParent->_bf) { // 插入前双亲的平衡因子是0，插入后双亲的平衡因为为1 或者 -1 ，说明以双亲为根的二叉树 // 的高度增加了一层，因此需要继续向上调整 pCur = pParent; pParent = pCur->_pParent; } else { // 双亲的平衡因子为正负2，违反了AVL树的平衡性，需要对以pParent // 为根的树进行旋转处理 if (2 == pParent->_bf) { // ... } else { // ... } } } return true; } };
2.4 -> AVL树的旋转
如果在一棵原本是平衡的AVL树中插入一个新节点，可能造成不平衡，此时必须调整树的结构，使之平衡化。根据节点插入位置的不同，AVL树的旋转分为四种：
1. 新节点插入较高左子树的左侧——左左：右单旋
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1 #include <iostream> using namespace std; template<class T> struct AVLTreeNode { AVLTreeNode(const T& data) : _pLeft(nullptr), _pRight(nullptr), _pParent(nullptr) , _data(data), _bf(0) {} AVLTreeNode<T>* _pLeft; // 该节点的左孩子 AVLTreeNode<T>* _pRight; // 该节点的右孩子 AVLTreeNode<T>* _pParent; // 该节点的双亲 T _data; int _bf; // 该节点的平衡因子 bool Insert(const T& data) { // 1. 先按照二叉搜索树的规则将节点插入到AVL树中 // 2. 新节点插入后，AVL树的平衡性可能会遭到破坏， // 此时就需要更新平衡因子，并检测是否破坏了AVL树的平衡性 /* pCur插入后，pParent的平衡因子一定需要调整，在插入之前，pParent 的平衡因子分为三种情况：-1，0, 1, 分以下两种情况： 1. 如果pCur插入到pParent的左侧，只需给pParent的平衡因子-1即可 2. 如果pCur插入到pParent的右侧，只需给pParent的平衡因子+1即可 此时：pParent的平衡因子可能有三种情况：0，正负1， 正负2 1. 如果pParent的平衡因子为0，说明插入之前pParent的平衡因子为正负1，插入后被调整 成0，此时满足 AVL树的性质，插入成功 2. 如果pParent的平衡因子为正负1，说明插入前pParent的平衡因子一定为0，插入后被更 新成正负1，此 时以pParent为根的树的高度增加，需要继续向上更新 3. 如果pParent的平衡因子为正负2，则pParent的平衡因子违反平衡树的性质，需要对其进 行旋转处理 */ while (pParent) { // 更新双亲的平衡因子 if (pCur == pParent->_pLeft) pParent->_bf--; else pParent->_bf++; // 更新后检测双亲的平衡因子 if (0 == pParent->_bf) { break; } else if (1 == pParent->_bf || -1 == pParent->_bf) { // 插入前双亲的平衡因子是0，插入后双亲的平衡因为为1 或者 -1 ，说明以双亲为根的二叉树 // 的高度增加了一层，因此需要继续向上调整 pCur = pParent; pParent = pCur->_pParent; } else { // 双亲的平衡因子为正负2，违反了AVL树的平衡性，需要对以pParent // 为根的树进行旋转处理 if (2 == pParent->_bf) { // ... } else { // ... } } } return true; } /* 在插入前，AVL树是平衡的，新节点插入到30的左子树(注意：此处不是左孩子)中，30左 子树增加了一层，导致以60为根的二叉树不平衡，要让60平衡， 只能将60左子树的高度减少一层，右子树增加一层， 即将左子树往上提，这样60转下来，因为60比30大， 只能将其放在30的右子树，而如果30有右子树， 右子树根的值一定大于30，小于60，只能将其放在60的左子树， 旋转完成后，更新节点的平衡因子即可。 在旋转过程中，有以下几种情况需要考虑： 1. 30节点的右孩子可能存在，也可能不存在 2. 60可能是根节点，也可能是子树如果是根节点，旋转完成后，要更新根节点 如果是子树，可能是某个节点的左子树，也可能是右子树 */ void _RotateR(PNode pParent) { // pSubL: pParent的左孩子 // pSubLR: pParent左孩子的右孩子 PNode pSubL = pParent->_pLeft; PNode pSubLR = pSubL->_pRight; // 旋转完成之后，30的右孩子作为双亲的左孩子 pParent->_pLeft = pSubLR; // 如果30的左孩子的右孩子存在，更新亲双亲 if (pSubLR) pSubLR->_pParent = pParent; // 60 作为 30的右孩子 pSubL->_pRight = pParent; // 因为60可能是棵子树，因此在更新其双亲前必须先保存60的双亲 PNode pPParent = pParent->_pParent; // 更新60的双亲 pParent->_pParent = pSubL; // 更新30的双亲 pSubL->_pParent = pPParent; // 如果60是根节点，根新指向根节点的指针 if (NULL == pPParent) { _pRoot = pSubL; pSubL->_pParent = NULL; } else { // 如果60是子树，可能是其双亲的左子树，也可能是右子树 if (pPParent->_pLeft == pParent) pPParent->_pLeft = pSubL; else pPParent->_pRight = pSubL; } // 根据调整后的结构更新部分节点的平衡因子 pParent->_bf = pSubL->_bf = 0; } };
2. 新节点插入较高右子树的右侧——右右：左单旋
实现参考右单旋。
3. 新节点插入较高左子树的右侧——左右：先左单旋再右单旋
将双旋变成单旋后再旋转，即：先对30进行左单旋，然后再对90进行右单旋，旋转完成后再考虑平衡因子的更新。
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1 #include <iostream> using namespace std; template<class T> struct AVLTreeNode { AVLTreeNode(const T& data) : _pLeft(nullptr), _pRight(nullptr), _pParent(nullptr) , _data(data), _bf(0) {} AVLTreeNode<T>* _pLeft; // 该节点的左孩子 AVLTreeNode<T>* _pRight; // 该节点的右孩子 AVLTreeNode<T>* _pParent; // 该节点的双亲 T _data; int _bf; // 该节点的平衡因子 bool Insert(const T& data) { // 1. 先按照二叉搜索树的规则将节点插入到AVL树中 // 2. 新节点插入后，AVL树的平衡性可能会遭到破坏， // 此时就需要更新平衡因子，并检测是否破坏了AVL树的平衡性 /* pCur插入后，pParent的平衡因子一定需要调整，在插入之前，pParent 的平衡因子分为三种情况：-1，0, 1, 分以下两种情况： 1. 如果pCur插入到pParent的左侧，只需给pParent的平衡因子-1即可 2. 如果pCur插入到pParent的右侧，只需给pParent的平衡因子+1即可 此时：pParent的平衡因子可能有三种情况：0，正负1， 正负2 1. 如果pParent的平衡因子为0，说明插入之前pParent的平衡因子为正负1，插入后被调整 成0，此时满足 AVL树的性质，插入成功 2. 如果pParent的平衡因子为正负1，说明插入前pParent的平衡因子一定为0，插入后被更 新成正负1，此 时以pParent为根的树的高度增加，需要继续向上更新 3. 如果pParent的平衡因子为正负2，则pParent的平衡因子违反平衡树的性质，需要对其进 行旋转处理 */ while (pParent) { // 更新双亲的平衡因子 if (pCur == pParent->_pLeft) pParent->_bf--; else pParent->_bf++; // 更新后检测双亲的平衡因子 if (0 == pParent->_bf) { break; } else if (1 == pParent->_bf || -1 == pParent->_bf) { // 插入前双亲的平衡因子是0，插入后双亲的平衡因为为1 或者 -1 ，说明以双亲为根的二叉树 // 的高度增加了一层，因此需要继续向上调整 pCur = pParent; pParent = pCur->_pParent; } else { // 双亲的平衡因子为正负2，违反了AVL树的平衡性，需要对以pParent // 为根的树进行旋转处理 if (2 == pParent->_bf) { // ... } else { // ... } } } return true; } //1. 新节点插入较高左子树的左侧——左左：右单旋 /* 在插入前，AVL树是平衡的，新节点插入到30的左子树(注意：此处不是左孩子)中，30左 子树增加了一层，导致以60为根的二叉树不平衡，要让60平衡， 只能将60左子树的高度减少一层，右子树增加一层， 即将左子树往上提，这样60转下来，因为60比30大， 只能将其放在30的右子树，而如果30有右子树， 右子树根的值一定大于30，小于60，只能将其放在60的左子树， 旋转完成后，更新节点的平衡因子即可。 在旋转过程中，有以下几种情况需要考虑： 1. 30节点的右孩子可能存在，也可能不存在 2. 60可能是根节点，也可能是子树如果是根节点，旋转完成后，要更新根节点 如果是子树，可能是某个节点的左子树，也可能是右子树 */ void _RotateR(PNode pParent) { // pSubL: pParent的左孩子 // pSubLR: pParent左孩子的右孩子 PNode pSubL = pParent->_pLeft; PNode pSubLR = pSubL->_pRight; // 旋转完成之后，30的右孩子作为双亲的左孩子 pParent->_pLeft = pSubLR; // 如果30的左孩子的右孩子存在，更新亲双亲 if (pSubLR) pSubLR->_pParent = pParent; // 60 作为 30的右孩子 pSubL->_pRight = pParent; // 因为60可能是棵子树，因此在更新其双亲前必须先保存60的双亲 PNode pPParent = pParent->_pParent; // 更新60的双亲 pParent->_pParent = pSubL; // 更新30的双亲 pSubL->_pParent = pPParent; // 如果60是根节点，根新指向根节点的指针 if (NULL == pPParent) { _pRoot = pSubL; pSubL->_pParent = NULL; } else { // 如果60是子树，可能是其双亲的左子树，也可能是右子树 if (pPParent->_pLeft == pParent) pPParent->_pLeft = pSubL; else pPParent->_pRight = pSubL; } // 根据调整后的结构更新部分节点的平衡因子 pParent->_bf = pSubL->_bf = 0; } //3. 新节点插入较高左子树的右侧——左右：先左单旋再右单旋 // 旋转之前，60的平衡因子可能是-1/0/1，旋转完成之后，根据情况对其他节点的平衡因子进行调整 void _RotateLR(PNode pParent) { PNode pSubL = pParent->_pLeft; PNode pSubLR = pSubL->_pRight; // 旋转之前，保存pSubLR的平衡因子，旋转完成之后，需要根据该平衡因子来调整其他节点的平衡因子 int bf = pSubLR->_bf; // 先对30进行左单旋 _RotateL(pParent->_pLeft); // 再对90进行右单旋 _RotateR(pParent); if (1 == bf) pSubL->_bf = -1; else if (-1 == bf) pParent->_bf = 1; } };
4. 新节点插入较高右子树的左侧——右左：先右单旋再左单旋
参考左右双旋。
总结：
假如以pParent为根的子树不平衡，即pParent的平衡因子为2或者-2，分为以下情况考虑：
1. pParent的平衡因子为2，说明pParent的右子树高，设pParent的右子树的根为pSubR。
当pSubR的平衡因子为1时，执行左单旋。
当pSubR的平衡因子为-1时，执行右左单旋。
2. pParent的平衡因子为-2，说明pParent的左子树高，设pParent的左子树的根为pSubL。
当pSubL的平衡因子为-1时，执行右单旋。
当pSubL的平衡因子为1时，执行左右单旋。
旋转完成后，原pParent为根的子树高度降低，已经平衡，不需要再向上更新。
2.5 -> AVL树的验证
AVL树是在二叉搜索树的基础上加入了平衡性的限制，因此要验证AVL树，可以分为两步：
1. 验证其为二叉搜索树
如果中序遍历可以得到一个有序的序列，就说明其为二叉搜索树。
2. 验证其为平衡树
每个节点子树高度差的绝对值不超过1(注意节点中如果没有平衡因子)。
节点的平衡因子是否计算正确。
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1 #include <iostream> using namespace std; template<class T> struct AVLTreeNode { AVLTreeNode(const T& data) : _pLeft(nullptr), _pRight(nullptr), _pParent(nullptr) , _data(data), _bf(0) {} AVLTreeNode<T>* _pLeft; // 该节点的左孩子 AVLTreeNode<T>* _pRight; // 该节点的右孩子 AVLTreeNode<T>* _pParent; // 该节点的双亲 T _data; int _bf; // 该节点的平衡因子 bool Insert(const T& data) { // 1. 先按照二叉搜索树的规则将节点插入到AVL树中 // 2. 新节点插入后，AVL树的平衡性可能会遭到破坏， // 此时就需要更新平衡因子，并检测是否破坏了AVL树的平衡性 /* pCur插入后，pParent的平衡因子一定需要调整，在插入之前，pParent 的平衡因子分为三种情况：-1，0, 1, 分以下两种情况： 1. 如果pCur插入到pParent的左侧，只需给pParent的平衡因子-1即可 2. 如果pCur插入到pParent的右侧，只需给pParent的平衡因子+1即可 此时：pParent的平衡因子可能有三种情况：0，正负1， 正负2 1. 如果pParent的平衡因子为0，说明插入之前pParent的平衡因子为正负1，插入后被调整 成0，此时满足 AVL树的性质，插入成功 2. 如果pParent的平衡因子为正负1，说明插入前pParent的平衡因子一定为0，插入后被更 新成正负1，此 时以pParent为根的树的高度增加，需要继续向上更新 3. 如果pParent的平衡因子为正负2，则pParent的平衡因子违反平衡树的性质，需要对其进 行旋转处理 */ while (pParent) { // 更新双亲的平衡因子 if (pCur == pParent->_pLeft) pParent->_bf--; else pParent->_bf++; // 更新后检测双亲的平衡因子 if (0 == pParent->_bf) { break; } else if (1 == pParent->_bf || -1 == pParent->_bf) { // 插入前双亲的平衡因子是0，插入后双亲的平衡因为为1 或者 -1 ，说明以双亲为根的二叉树 // 的高度增加了一层，因此需要继续向上调整 pCur = pParent; pParent = pCur->_pParent; } else { // 双亲的平衡因子为正负2，违反了AVL树的平衡性，需要对以pParent // 为根的树进行旋转处理 if (2 == pParent->_bf) { // ... } else { // ... } } } return true; } //1. 新节点插入较高左子树的左侧——左左：右单旋 /* 在插入前，AVL树是平衡的，新节点插入到30的左子树(注意：此处不是左孩子)中，30左 子树增加了一层，导致以60为根的二叉树不平衡，要让60平衡， 只能将60左子树的高度减少一层，右子树增加一层， 即将左子树往上提，这样60转下来，因为60比30大， 只能将其放在30的右子树，而如果30有右子树， 右子树根的值一定大于30，小于60，只能将其放在60的左子树， 旋转完成后，更新节点的平衡因子即可。 在旋转过程中，有以下几种情况需要考虑： 1. 30节点的右孩子可能存在，也可能不存在 2. 60可能是根节点，也可能是子树如果是根节点，旋转完成后，要更新根节点 如果是子树，可能是某个节点的左子树，也可能是右子树 */ void _RotateR(PNode pParent) { // pSubL: pParent的左孩子 // pSubLR: pParent左孩子的右孩子 PNode pSubL = pParent->_pLeft; PNode pSubLR = pSubL->_pRight; // 旋转完成之后，30的右孩子作为双亲的左孩子 pParent->_pLeft = pSubLR; // 如果30的左孩子的右孩子存在，更新亲双亲 if (pSubLR) pSubLR->_pParent = pParent; // 60 作为 30的右孩子 pSubL->_pRight = pParent; // 因为60可能是棵子树，因此在更新其双亲前必须先保存60的双亲 PNode pPParent = pParent->_pParent; // 更新60的双亲 pParent->_pParent = pSubL; // 更新30的双亲 pSubL->_pParent = pPParent; // 如果60是根节点，根新指向根节点的指针 if (NULL == pPParent) { _pRoot = pSubL; pSubL->_pParent = NULL; } else { // 如果60是子树，可能是其双亲的左子树，也可能是右子树 if (pPParent->_pLeft == pParent) pPParent->_pLeft = pSubL; else pPParent->_pRight = pSubL; } // 根据调整后的结构更新部分节点的平衡因子 pParent->_bf = pSubL->_bf = 0; } //3. 新节点插入较高左子树的右侧——左右：先左单旋再右单旋 // 旋转之前，60的平衡因子可能是-1/0/1，旋转完成之后，根据情况对其他节点的平衡因子进行调整 void _RotateLR(PNode pParent) { PNode pSubL = pParent->_pLeft; PNode pSubLR = pSubL->_pRight; // 旋转之前，保存pSubLR的平衡因子，旋转完成之后，需要根据该平衡因子来调整其他节点的平衡因子 int bf = pSubLR->_bf; // 先对30进行左单旋 _RotateL(pParent->_pLeft); // 再对90进行右单旋 _RotateR(pParent); if (1 == bf) pSubL->_bf = -1; else if (-1 == bf) pParent->_bf = 1; } //验证是否为AVL树 int _Height(PNode pRoot); bool _IsBalanceTree(PNode pRoot) { // 空树也是AVL树 if (nullptr == pRoot) return true; // 计算pRoot节点的平衡因子：即pRoot左右子树的高度差 int leftHeight = _Height(pRoot->_pLeft); int rightHeight = _Height(pRoot->_pRight); int diff = rightHeight - leftHeight; // 如果计算出的平衡因子与pRoot的平衡因子不相等，或者 // pRoot平衡因子的绝对值超过1，则一定不是AVL树 if (diff != pRoot->_bf || (diff > 1 || diff < -1)) return false; // pRoot的左和右如果都是AVL树，则该树一定是AVL树 return _IsBalanceTree(pRoot->_pLeft) && _IsBalanceTree(pRoot->_pRight); } };
2.6 -> AVL树的性能
AVL树是一棵绝对平衡的二叉搜索树，其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过1，这样可以保证查询时高效的时间复杂度，即O(n)。但是如果要对AVL树做一些结构修改的操作，性能非常低下，比如：插入时要维护其绝对平衡，旋转的次数比较多，更差的是在删除时，有可能一直要让旋转持续到根的位置。因此：如果需要一种查询高效且有序的数据结构，而且数据的个数为静态的(即不会改变)，可以考虑AVL树。
