Tarjan 求有向图的强连通分量

重温Tarjan, 网上看了许多博客感觉都讲的不清楚. 故传上来自己的笔记, 希望帮到大家.

提到的一些概念可以参考 oi wiki, 代码也是 oi wiki 的, 因为我不认为我能写出比大佬更好的代码了.

强连通分量: 有向图的最大强连通子图 ( 有向图中任意两点可达 )

• Tarjan

1. 对每个结点维护:

• dfn[x]: 当前节点的 dfs 序.
  
• low[x]: x 向下搜索能到达的最小 dfs 序.
  

2. 更新 low:

1. v 未被访问过: 初始 low[v] = dfn[v].v 入栈. 回溯时用 low[v] 更新它的 fa 的 low[ ].
   
2. v 被访问过, 且还在栈中: 用 dfs[v] 更新 fa 的 low.
   
3. v 被访问过, 不在栈中: 说明这是一个 fa 到 v 的单向访问, 跳过.
   

3. 获取答案:能让dfn[x] > low[x], 只有当 X 的子树中某个节点 C 有一条横向边连接到一棵已遍历过的子树一条返祖边连接到的祖先一条横向边连接到一棵已遍历过的子树一条返祖边连接到的祖先{1.一条横向边连接到一棵已遍历过的子树 𝐴2.一条返祖边连接到 𝑋 的祖先 𝑥𝑓𝑎.

1. 横向边: 说明 A 没有连接到 C 的边, 否则在之前 C 就被遍历了, 轮不到 X 来遍历. 就用是否 C 在栈中来排除这个情况, 子树 A 中的所有强连通分量之前已经出栈过了( 看代码的实现 ).
2. 返祖边: 说明 xfa -> x -> c -> xfa 形成环, 在同一个强连通子图( 我们知道, 强连通图是许多环嵌套成的 ). 而且这个子图的根是 xfa 满足 dfn[xfa] = low[xfa].

4. 此时栈中进来过三类节点 :
   在的子树中属于上述循环的在同一个强连通子图不在同一个强连通子图那递归的讲在之前就因为属于某个在的子树中而被踢出栈了不在的子树中即在已遍历过的子树中在栈中的位置一定在的下面在的子树中属于上述循环的在同一个强连通子图不在同一个强连通子图那递归的讲在之前就因为属于某个在的子树中而被踢出栈了不在的子树中即在已遍历过的子树中在栈中的位置一定在的下面{1. 在 𝑥 的子树中{1. 属于上述 𝑥𝑓𝑎 循环的, 在同一个强连通子图.2. 不在同一个强连通子图, 那递归的讲, 在之前就因为属于某个 𝑥𝑓𝑎′ (在 𝑋 的子树中),而被踢出栈了.2.不在 𝑥 的子树中(即在已遍历过的子树中), 在栈中的位置一定在 𝑥 的下面.
   故, 回溯时若节点符合 dfn[x] = low[x], 说明当前节点是它所属连通块的最小节点. 栈里它之上所有点都是一个强连通块.
   

代码:

const int Maxn = 1e5 + 10;
    
    int dfn[Maxn], low[Maxn], dfncnt, s[Maxn], in_stack[Maxn], tp;
    int scc[Maxn], sc;  // 结点 i 所在 SCC 的编号
    int sz[Maxn];       // 强连通 i 的大小
    
    void tarjan(int u) {
        low[u] = dfn[u] = ++dfncnt, s[++tp] = u, in_stack[u] = 1;
        for (int i = head[u]; i; i = eg[i].nex) {
            const int &v = eg[i].to;
            if (!dfn[v]) {
                tarjan(v);
                low[u] = min(low[u], low[v]);
            } else if (in_stack[v]) {
                low[u] = min(low[u], dfn[v]);
            }
        }
        if (dfn[u] == low[u]) {
            ++sc;
            while (s[tp] != u) {
                scc[s[tp]] = sc;
                sz[sc]++;
                in_stack[s[tp]] = 0;
                --tp;
            }
            scc[s[tp]] = sc;
            sz[sc]++;
            in_stack[s[tp]] = 0;
            --tp;
        }
    }