每日练习之数学——砝码和天平

砝码和天平

题目描述

运行代码

#include<iostream>
using namespace std;
int main()
{
  int w,m,T;
   cin>>T;
    while(T--)
    {
       cin>>w>>m;
        while(m)
        {
            if((m-1)%w==0)m=(m-1)/w;
            else if((m+1)%w==0)m=(m+1)/w;
            else if(m%w==0)m/=w;
            else break;
        }
        if(!m)
            cout<<"YES"<<endl;
        else 
            cout<<"NO"<<endl;
    }
}

代码思路

通过模拟天平的称量过程来检查是否能够使用给定的砝码（其质量为w的幂次）来表示一个特定的质量m。不是直接根据题目的数学思路来解决问题的，它实际上是在尝试模拟一个通过增加或减少少量质量来尝试使质量m能被w整除的过程。

1. 首先读取测试数据的组数T。
2. 对于每一组数据，读取w和m的值。
3. 使用一个while循环尝试将m“调整”到一个可以被w整除的值。这里尝试了三种操作：

• 如果m-1可以被w整除，则将m设置为(m-1)/w。
• 如果m+1可以被w整除，则将m设置为(m+1)/w。
• 如果m本身可以被w整除，则将m除以w。

4. 如果在循环结束后m变为0，那么输出"YES"，表示可以通过这些砝码来表示质量m（尽管这不是直接通过砝码组合，而是通过上述的“调整”过程）。
5. 如果循环结束后m不为0，那么输出"NO"，表示无法通过这些砝码来表示质量m。

改进思路

问题

• 它没有直接利用到砝码是w的幂次这一特性。实际上，我们可以直接使用二进制表示法来判断m是否可以通过这些砝码来表示，而不需要这种“调整”过程。
• 它假设了通过增加或减少1个单位的质量可以使得m变得可以被w整除，这在实际情况下并不总是正确的。
• 即便m在某个点变得可以被w整除，这并不意味着它可以通过砝码组合来表示。因为代码没有检查这个整除后的m是否仍然在1到w的n次方减1的范围内。

改进

判断质量m是否可以用w的幂次砝码来表示，即判断m是否小于w的(n+1)次方（其中n是砝码的最大幂次，但在这个问题中我们不需要确切知道n，只需要知道w的(n+1)次方大于m即可）。

由于w可能非常大，直接计算w的(n+1)次方可能会导致整数溢出。但幸运的是，我们只需要检查m是否小于w的平方，因为任何大于w的m都可以通过w的更高次幂来表示（假设有足够的砝码）。

要判断一个质量m是否能用w的幂次砝码来表示，我们需要确保m可以表示为w的幂次的和，这相当于检查m的二进制表示是否只包含1（即m是w的幂次的组合）。但是，由于我们不知道具体的n（砝码的最大幂次），我们可以简单地检查m是否小于或等于w的某个足够大的幂次，比如w的32次方（因为int类型通常有32位）。

然而，更简单的方法是检查m是否小于w的(n+1)次方，其中n是使得w^(n+1)大于m的最小整数。由于w非常大，我们不能直接计算w^(n+1)，但我们可以知道，如果m小于w的平方，那么它肯定可以用w的幂次来表示（因为w^0到w^n的砝码可以覆盖从1到w^(n+1) - 1的所有整数）。

这个题目目前还没想到切实可行通过全部示例数据的数学方法解答的代码