从C语言到C++_27(AVL树)概念+插入接口实现(四种旋转)(下)

简介: 从C语言到C++_27(AVL树)概念+插入接口实现(四种旋转)

从C语言到C++_27(AVL树)概念+插入接口实现(四种旋转)(上):https://developer.aliyun.com/article/1522261

左右双旋代码:

  void RotateLR(Node* parent)
  {
    Node* subL = parent->_left; // 记录subL的平衡因子
    Node* subLR = subL->_right;
    int bf = subLR->_bf;
 
    RotateL(parent->_left);
    RotateR(parent);
 
    subLR->_bf = 0; // 三种情况一样
    if (bf == -1)
    {
      parent->_bf = 1;
      subL->_bf = 0;
    }
    else if (bf == 1)
    {
      parent->_bf = 0;
      subL->_bf = -1;
    }
    else if (bf == 0)
    {
      parent->_bf = 0;
      subL->_bf = 0;
    }
    else // 理论不应走到这
    {
      assert(false); //在旋转前树的平衡因子就有问题,报错
    }
  }

4.4 右左双旋

思路和左右双旋一样,这里看图就行

右左双旋步骤示意图

1、插入新结点。

2、以90为旋转点进行右单旋。



3、以30为旋转点进行左单旋。

右左双旋的步骤如下:

  1. 以subR为旋转点进行右单旋。
  2. 以parent为旋转点进行左单旋。
  3. 更新平衡因子。

右左双旋后满足二叉搜索树的性质:

       右左双旋后,实际上就是让subRL的左子树和右子树,分别作为parent和subR的右子树和左子树,再让parent和subR分别作为subRL的左右子树,最后让subRL作为整个子树的根(结合图理解)。

subRL的左子树当中的结点本身就比parent的值大,因此可以作为parent的右子树。


subRL的右子树当中的结点本身就比subR的值小,因此可以作为subR的左子树。


       经过步骤1/2后,parent及其子树当中结点的值都就比subRL的值小,而subR及其子树当中结点的值都就比subRL的值大,因此它们可以分别作为subRL的左右子树。右左双旋后,平衡因子的更新随着subRL原始平衡因子的不同分为以下三种情况:

1、当subRL原始平衡因子是1时,左右双旋后subRL、parent、subR的平衡因子分别更新为

0、-1、0。

2、当subRL原始平衡因子是-1时,左右双旋后subRL、parent、subR的平衡因子分别更新为

0、0、1。

3、当subRL原始平衡因子是0时,左右双旋后subRL、parent、subR的平衡因子分别更新为

0、0、0。

经过右左双旋后,树的高度变为插入之前了,即树的高度没有发生变化,

所以右左双旋后一样无需继续往上更新平衡因子。

右左双旋代码:

  void RotateRL(Node* parent)
  {
    Node* subR = parent->_right; // 记录subL的平衡因子
    Node* subRL = subR->_left;
    int bf = subRL->_bf;
 
    RotateR(parent->_right);
    RotateL(parent);
 
    subRL->_bf = 0; // 三种情况一样
    if (bf == -1)
    {
      parent->_bf = 0;
      subR->_bf = 1;
    }
    else if (bf == 1)
    {
      parent->_bf = -1;
      subR->_bf = 0;
    }
    else if (bf == 0)
    {
      parent->_bf = 0;
      subR->_bf = 0;
    }
    else // 理论不应走到这
    {
      assert(false); //在旋转前树的平衡因子就有问题,报错
    }
  }

5. AVL树的验证

       AVL树是在二叉搜索树的基础上加入了平衡性的限制,也就是说AVL树也是二叉搜索树,因此我们可以先获取二叉树的中序遍历序列,来判断二叉树是否为二叉搜索树。

  void InOrder()
  {
    _InOrder(_root)
  }
 
protected:
  void _InOrder(Node* root)
  {
    if (root == nullptr)
    {
      return;
    }
    _InOrder(root->_left);
    cout << root->_kv.first << ":" << root->_kv.second << endl;
    _InOrder(root->_right);
  }


       但中序有序只能证明是二叉搜索树,要证明二叉树是AVL树还需验证二叉树的平衡性,在该过程中我们可以顺便检查每个结点当中平衡因子是否正确。采用后序遍历,变量步骤如下:


从叶子结点处开始计算每课子树的高度。(每棵子树的高度 = 左右子树中高度的较大值 + 1)


求高度函数以前写过了:

  int Height(Node* root)
  {
    if (root == nullptr)
    {
      return 0;
    }
    return max(Height(root->_left), Height(root->_right)) + 1;
  }

       先判断左子树是否是平衡二叉树。再判断右子树是否是平衡二叉树。若左右子树均为平衡二叉树,则返回当前子树的高度给上一层,继续判断上一层的子树是否是平衡二叉树,直到判断到根为止。(若判断过程中,某一棵子树不是平衡二叉树,则该树也就不是平衡二叉树了)

  bool IsBalance()
  {
    return _IsBalance(_root);
  }
 
protected:
  bool _IsBalance(Node* root)
  {
    if (root == nullptr)
    {
      return true;
    }
 
    int leftHT = Height(root->_left);
    int rightHT = Height(root->_right);
    int diff = rightHT - leftHT;
 
    if (diff != root->_bf)
    {
      cout << root->_kv.first << "平衡因子异常" << endl;
      cout << rightHT << " - " << leftHT << endl;
      return false;
    }
 
    return abs(diff) < 2
      && _IsBalance(root->_left)
      && _IsBalance(root->_right);
  }

6. AVL树的删除(了解)和性能

AVL树的删除(了解)

       AVL树的删除和其它接口这里不实现了,如果不是AVL树会考到,工作中是不用学AVL树的,因为实际可以用接下来学的红黑树替代它。因为AVL树也是二叉搜索树,可按照二叉搜索树的方式将节点删除,然后再更新平衡因子,只不错与删除不同的时,删除节点后的平衡因子更新,最差情况下一直要调整到根节点的位置。


具体实现参考《数据结构 - 用面向对象方法与C++描述》殷人昆版。

AVL树的性能

       AVL树是一棵绝对平衡的二叉搜索树,其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过1,这样可以保证查询时高效的时间复杂度,即O(logN)。但是如果要对AVL树做一些结构修改的操作,性能非常低下,比如:插入时要维护其绝对平衡,旋转的次数比较多,更差的是在删除时,有可能一直要让旋转持续到根的位置。


       因此:如果需要一种查询高效且有序的数据结构,而且数据的个数为静态的(即不会改变),可以考虑AVL树,但一个结构经常修改,就不太适合。

7. AVL树插入验证完整代码

AVLTree.h:

#pragma once
 
#include <iostream>
#include <assert.h>
#include <algorithm>
#include <time.h>
using namespace std;
 
template <class K, class V>
struct AVLTreeNode
{
  AVLTreeNode<K, V>* _left;
  AVLTreeNode<K, V>* _right;
  AVLTreeNode<K, V>* _parent;
 
  pair<K, V> _kv; // 存的键值
  int _bf; // balance factor 平衡因子
 
  AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv)
    :_left(nullptr)
    , _right(nullptr)
    , _parent(nullptr)
    , _kv(kv)
    , _bf(0)
  {}
};
 
template <class K, class V>
class AVLTree
{
  typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
 
public:
  bool Insert(const pair<K, V>& kv)
  {
    if (_root == nullptr)
    {
      _root = new Node(kv);
      return true;
    }
 
    Node* cur = _root;
    Node* parent = nullptr;
    while (cur) // 找要插入的位置
    {
      if (kv.first < cur->_kv.first)
      {
        parent = cur;
        cur = cur->_left;
      }
      else if (kv.first > cur->_kv.first)
      {
        parent = cur;
        cur = cur->_right;
      }
      else
      {
        return false;
      }
    }
 
    cur = new Node(kv);
    if (kv.first < parent->_kv.first) // 插入要插入的位置
    {
      parent->_left = cur;
    }
    else
    {
      parent->_right = cur;
    }
    cur->_parent = parent; // 三叉链多一步
 
    while (parent) // 控制平衡, 更新平衡因子, 如果平衡因子不对, 就要旋转
    {
      if (cur == parent->_left)
      {
        parent->_bf--;
      }
      else
      {
        parent->_bf++;
      }
 
      if (parent->_bf == 0)
      {
        break;
      }
      else if (abs(parent->_bf) == 1) // 往上更新
      {
        parent = parent->_parent;
        cur = cur->_parent;
      }
      else if (abs(parent->_bf) == 2) // 不平衡了,需旋转
      {
        if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)
        {
          RotateL(parent);
        }
        else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)
        {
          RotateR(parent);
        }
        else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)
        {
          RotateLR(parent);
        }
        else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)
        {
          RotateRL(parent);
        }
        else // 理论不可能走到这,除非之前就错了
        {
          //assert(false); // 报个错
        }
        break;
      }
      else // 理论不可能走到这,除非之前就错了
      {
        assert(false); // 报个错
      }
    }
    return true;
  }
 
  void InOrder()
  {
    _InOrder(_root);
    cout << endl;
  }
 
  bool IsBalance()
  {
    return _IsBalance(_root);
  }
 
protected:
  bool _IsBalance(Node* root)
  {
    if (root == nullptr)
    {
      return true;
    }
 
    int leftHT = Height(root->_left);
    int rightHT = Height(root->_right);
    int diff = rightHT - leftHT;
 
    if (diff != root->_bf)
    {
      cout << root->_kv.first << "平衡因子异常" << endl;
      cout << rightHT << " - " << leftHT << endl;
      return false;
    }
 
    return abs(diff) < 2
      && _IsBalance(root->_left)
      && _IsBalance(root->_right);
  }
 
  void _InOrder(Node* root)
  {
    if (root == nullptr)
    {
      return;
    }
    _InOrder(root->_left);
    cout << root->_kv.first << ":" << root->_kv.second << endl;
    _InOrder(root->_right);
  }
 
  int Height(Node* root)
  {
    if (root == nullptr)
    {
      return 0;
    }
    return max(Height(root->_left), Height(root->_right)) + 1;
  }
 
  void RotateL(Node* parent)
  {
    Node* subR = parent->_right; // 动了三个标记了的结点,共更新六个指针,这更新两个指针
    Node* subRL = subR->_left;
 
    parent->_right = subRL;
    if (subRL) // subRL不为空才更新
    {
      subRL->_parent = parent;
    }
 
    Node* ppNode = parent->_parent; // 记录parent的parent,防止parent是一颗子树的头结点
 
    subR->_left = parent; // 再更新两个指针
    parent->_parent = subR;
 
    if (_root == parent)  // 最后更新两个指针
    {
      _root = subR;
      subR->_parent = nullptr;
    }
    else // parent是一颗子树的头结点
    {
      if (ppNode->_left == parent)
      {
        ppNode->_left = subR;
      }
      else
      {
        ppNode->_right = subR;
      }
      subR->_parent = ppNode;
    }
 
    subR->_bf = parent->_bf = 0; // 更新平衡因子
  }
 
  void RotateR(Node* parent)
  {
    Node* subL = parent->_left;
    Node* subLR = subL->_right;
 
    parent->_left = subLR; // 更新两个节点
    if (subLR)
    {
      subLR->_parent = parent;
    }
 
    Node* ppNode = parent->_parent;
 
    subL->_right = parent; // 再更新两个节点
    parent->_parent = subL;
 
    if (_root == parent) // 最后更新两个结点
    {
      _root = subL;
      subL->_parent = nullptr;
    }
    else
    {
      if (ppNode->_left == parent)
      {
        ppNode->_left = subL;
      }
      else
      {
        ppNode->_right = subL;
      } 
 
      subL->_parent = ppNode;
    }
 
    subL->_bf = parent->_bf = 0; // 更新平衡因子
  }
 
  void RotateLR(Node* parent)
  {
    Node* subL = parent->_left; // 记录subL的平衡因子
    Node* subLR = subL->_right;
    int bf = subLR->_bf;
 
    RotateL(parent->_left);
    RotateR(parent);
 
    subLR->_bf = 0; // 三种情况一样
    if (bf == -1)
    {
      parent->_bf = 1;
      subL->_bf = 0;
    }
    else if (bf == 1)
    {
      parent->_bf = 0;
      subL->_bf = -1;
    }
    else if (bf == 0)
    {
      parent->_bf = 0;
      subL->_bf = 0;
    }
    else // 理论不应走到这
    {
      assert(false); //在旋转前树的平衡因子就有问题,报错
    }
  }
 
  void RotateRL(Node* parent)
  {
    Node* subR = parent->_right; // 记录subL的平衡因子
    Node* subRL = subR->_left;
    int bf = subRL->_bf;
 
    RotateR(parent->_right);
    RotateL(parent);
 
    subRL->_bf = 0; // 三种情况一样
    if (bf == -1)
    {
      parent->_bf = 0;
      subR->_bf = 1;
    }
    else if (bf == 1)
    {
      parent->_bf = -1;
      subR->_bf = 0;
    }
    else if (bf == 0)
    {
      parent->_bf = 0;
      subR->_bf = 0;
    }
    else // 理论不应走到这
    {
      assert(false); //在旋转前树的平衡因子就有问题,报错
    }
  }
 
  Node* _root = nullptr; // 给缺省值直接在初始化列表初始化
};

Test.c:

#include "AVLTree.h"
 
void TestAVLTree1()
{
  //int arr[] = { 16, 3, 7, 11, 9, 26, 18, 14, 15 };  // 测试单旋平衡因子调节
  int arr[] = { 4, 2, 6, 1, 3, 5, 15, 7, 16, 14 };  // 测试双旋平衡因子调节
  AVLTree<int, int> t1;
  for (const auto& e : arr)
  {
    t1.Insert(make_pair(e, e));
  }
 
  t1.InOrder();
  cout << "IsBalance:" << t1.IsBalance() << endl;
} 
 
void TestAVLTree2()
{
  size_t N = 10000;
  srand(time(0));
  AVLTree<int, int> t1;
  for (size_t i = 0; i < N; ++i)
  {
    int x = rand();
    t1.Insert(make_pair(x, i));
    //bool ret = t1.IsBalance();
    //if (ret == false)
    //{
    //  int u = 1; // 查bug打断点用
    //}
    //else
    //{
    //  cout << "Insert:" << x << " IsBalance:" << ret << endl;
    //}
  }
  cout << "IsBalance:" << t1.IsBalance() << endl;
}
 
int main()
{
  TestAVLTree1();
 
  return 0;
}


8. AVL树笔试选择题

1. 下面关于AVL树说法不正确的是()

A.AVL树也是二叉搜索树

B.极端情况下,AVL树可能也会退化成单支树


C.AVL查询的时间复杂度是O(log_2N)


D.AVL树是通过平衡因子限制保证其平衡性的


2. 现有一棵无重复关键字的平衡二叉树(AVL树),对其进行中序遍历可得到一个降序序列。


下列关于该平衡二叉树的叙述中,正确的是()


A.根结点的度一定为2


B.树中最小元素一定是叶结点


C.最后插入的元素一定是叶结点


D.树中最大元素一定是无左子树


3. 关于AVL树的旋转说法正确的是()


A.插入时,AVL树最多只需要旋转两次


B.删除时,只要某个节点的平衡因子不满足特性时 ,只需要对该棵子树进行旋转,就可以使AVL树再次平衡


C.AVL树的节点中必须维护平衡因子,因为要依靠其平衡因子是否需要旋转以维护其平衡性


D.AVL树的双旋转只需要直接使用对应的单旋转即可

答案:

1. B

 AVL树:一棵AVL树或者是空树,或者是具有以下性质的二叉搜索树


  1. 它的左右子树都是AVL树


  2. 左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1)


 故:如果一棵二叉搜索树是高度平衡的,它就是AVL树。如果它有n个结点,其高度可保持在O(logN),搜索时间复杂度O(logN)


 A:正确,参考上述概念


 B:错误,AVL树没有极端情况,其是为了防止二叉搜索树的极端情况二给出的


 C:正确,参考上述概念


 D:正确,平衡因子:左右子树高度之间,其绝对值如果不超过1,则认为树就是平衡的


2. D


题目中说:中序遍历得到一个降序序列,则说明:根小于左子树中节点,大于右子树中节点


 A:错误,根可以没有左子树,比如树中只有两个节点,即根以及根的右子树


 B:错误,树中最小的元素一定是最左侧或者最右侧节点,但不一定是叶子节点


 C:错误,最后插入的元素不一定是叶子节点,因为新节点插入后,为了保证其平衡性,还要对树 进行旋转处理,旋    转之后,就不一定在叶子的位置


 D:正确,因为最大元素如果存在左子树,中序遍历就不可能是降序序列


3. A


 A:正确,即双旋


 B:错误,可能需要旋转多次,子树旋转后,其高度降低了一层,其上层可能也需要跟着旋转


 C:错误,平衡因子不是必须要维护的,在操作时也可以直接通过高度函数来算,只不过比较麻烦


 D:错误,不能直接使用单旋转,因为两个单旋转完成后,还需要对部分节点的平衡因子进行更新


本篇完。

本篇完。

下一篇:红黑树概念和实现。然后是set和map的模拟实现。

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