@[TOC]

图的基本概念

1. 图的定义

图由顶点集V和边集E组成,记为G=(V,E).
图中顶点的个数,也称为图G的阶,用|V| 表示图G中顶点的个数, |E|表示图G中边的条数.

注意:
图不可以为空.即图的点集不能为空,图可以没有边,但是有边,边肯定要连接图.

1.1 无向图和有向图

无向图:
E是无向边,边是顶点的无序对,记为(v,w)=(w,v),其中v,w是顶点.

有向图:
E是有向边(也称弧)的有限集合时,则图G为有向图.弧是顶点的有序对,记为,其中v,w是顶点,v称为弧尾,w称为弧头

1.2 简单图和多重图

简单图:
:one: 不存在重复边
:two:不存在顶点到自身的边(无环的意思)

多重图:
可以存在重复边,可以有环.

2.图的一些术语

2.1 顶点的度，入度，出度

对于无向图，顶点的度是指依附于该顶点边的条数，记为TD(v).

简言之，与顶点接触的边的条数，对一个边来说，他必然会和两条边接触。所以一个无向图中，所有顶点的度之和=2倍的边数。

对于有向图，
入度数以顶点v为终点的有向边的数目，记为ID(v).
出度是以顶点v为起点的有向边的数目，记为OD(v)
顶点的度=其入度和出度之和，即TD(v)=ID(v)+OD(v)

简言之，入度数箭头接触该结点的边数，出度是线尾接触结点的边数

2.2 路径 回路，简单路径，路径长度，点到点的距离

路径：顶点v~p~到顶点~q~之间的一条路径是指顶点序列，v~p~,v~1~,v~2~....v~q~

回路：第一个顶点和最后一个顶点相同的路径叫回路

简单路径：在路径序列中，没有顶点重复的路径。

简单回路：除一个顶点和最后一个顶点外，其余顶点不重复的回路

点到点的距离：从顶点v出发到顶点v的最短路径存在，则称路径的长度为u到v到距离，如果两个顶点之间不存在路径，则记为无穷

2.3 连通图，强联通图

引入基本概念：连通，强连通
连通：无向图中，若从顶点v到顶点w有路径存在，则称v和我是连通的
强连通：有向图中，v到w，w到v之间都有路径，则称这两个顶点是强连通的。

连通图：若图中任意两个顶点都是连通的，则称图G为连通图，否则则称非连通图。

对于n个顶点的无向图G，若G是连通图，则最少有n-1条边。
若G是非连通图，则最少有c^2^~n-1~

强连通图，任何一对顶点都是强连通的图。
强连通图，至少有n条边，形成n条边

3. 图的局部--子图

子图是顶点是图的一部分，顶点之间原先在图中的线可以存在，也可以不存在。但是不是两头都有接触的边，肯定不能存在。

3.1 连通分量，强连通分量

无向图中的极大连通子图称为连通分量。

子图必须连通，且包含尽可能多的顶点和边。

有向图中的极大强连通子图称为有向图的强连通分量。

3.2 生成树

连通图的生成树是包含图中全部顶点的一个极小连通子图。
若图中顶点数为n，则它的生成树含有n-1条边。对生成树而言，若砍去它的一条边，则会变成非连通图，若加上一条边则会形成一个回路。

3.3 生成森林

在非连通图中，连通分量的生成树构成了非连通图的生成森林。

3.4 边的权，带权图

边的权--在一个图中国，每条边都可以标上具有某种含义的数值，该数值称为该边的权值
带权图/网 边上带有权值的图为带权图，也称网。
带权路径长度：当图树带权图时，一条路径上所有边的权值之和，称为该路径的带权路径长度。

4. 几种特殊形态的图

4.1 无向完全图和有向完全图

4.2 树和有向树

树：不存在回路，且连通的无向图。

n个顶点的树，必有n-1条边，若边>n-1，则一定有回路

有向树：一个顶点的入度为0，其余顶点的入度均为1的有向图，称为有向树