一、树形结构概念特性
树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。由于它在结构上看起来像一颗倒挂的树，根朝上，而叶朝下，因而叫做树。
结构特性：
有一个特殊的结点，称为根结点，根结点没有前驱结点
除根结点外，其余结点被分成M个互不相交的集合，每个集合又是一棵与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有 1 11 个前驱，可以有 0 00 个或 多个 后继。
应用场景:
树形结构在各个领域都有着广泛的应用，用于处理层次化的数据和建立关联关系。比较常见的有：
- 文件系统管理（目录和文件）
XML/HTML文档解析
树形结构示意图：
树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构，其中就包括：
- 除根节点外，每个结点有且仅有 1 个父节点
- 一颗 N 个结点的树，有 N−1 条边
二、树形结构基本概念术语
以下这些概念是需要掌握的，大家一定要理解每个术语的含义：
- 结点的度：一个结点含有子树的个数称为该结点的度； 如上图：A的度为3
- 树的度：一棵树中，所有结点度的最大值称为树的度； 如上图：树的度为3
- 叶子结点或终端结点：度为0的结点称为叶结点； 如上图：F、H、I、K、L 节点为叶结点
- 双亲结点或父结点：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点； 如上图：A是B的父结点
- 孩子结点或子结点：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点； 如上图：B是A的孩子结点
- 根结点：一棵树中，没有双亲结点的结点；如上图：A
- 结点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子结点为第2层，以此类推
- 树的高度或深度：树中结点的最大层次； 如上图：树的高度为4
以下概念只需了解，只要知道是什么意思即可：
- 非终端结点或分支结点：度不为0的结点； 如上图：B、C、D…等节点为分支结点
- 兄弟结点：具有相同父结点的结点互称为兄弟结点； 如上图：B、C是兄弟结点
- 堂兄弟结点：双亲在同一层的结点互为堂兄弟；如上图：F、G互为堂兄弟结点
- 结点的祖先：从根到该结点所经分支上的所有结点；如上图：A是所有结点的祖先
- 子孙：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图：所有结点都是A的子孙
- 森林：由m（m>=0）棵互不相交的树组成的集合称为森林
三、树的存储结构
树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，实际中树有很多种表示方式，如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法、孩子兄弟表示法等等。其中常用的是 孩子兄弟表示法，具体结构如下：
class Node { int value; // 树中存储的数据 Node firstChild; // 第一个孩子引用 Node nextBrother; // 下一个兄弟引用 }
四、二叉树 概念与特性
二叉树是一种特殊的树形结构：
二叉树不存在度大于 2 的结点
二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是 有序树
五、特殊的二叉树
- 满二叉树: 一棵二叉树，如果每层的结点数都达到最大值，则这棵二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一棵二叉树的层数为k kk，且结点总数是 2^{k}-1，则它就是满二叉树。
完全二叉树: 完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为 k 的，有 n 个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为 k kk 的满二叉树中编号从0 至 n−1 的结点一一对应时称之为完全二叉树。
要注意的是 满二叉树是一种特殊的完全二叉树。
六、二叉树的性质
若规定根结点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有 2^{i-1} 个结点.
若规定只有根结点的二叉树的深度为1，则深度为K的二叉树的最大结点数是 2^{k}-1(k>=0)
k对任何一棵二叉树，如果其叶结点个数为 n_{0}，度为 2 的非叶结点个数为 n 2 ，则有 n_{0}＝n_{2}＋1，即度为 0 00 的节点比度为 2 22 的节点多 1 个.具有 n 个结点的完全二叉树的深度 k 为 log 2 ( n + 1 ) 上取整.具有 n 个结点的完全二叉树，如果 n 为奇数，则度为 1 的节点个数为0；如果 n 为偶数，则度为 1的节点个数为1.
对于具有 n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0 开始编号，则对于序号为 i 的结点有：
若 i = 0 ，i 为根结点编号，无双亲结点.
若 i > 0，双亲序号：( i − 1 ) / 2
若 2 i + 1 < n ，左孩子序号：i+1，否则无左孩子.
若 2 i + 2 < n ，右孩子序号：2i+2，否则无右孩子.
注意：以上性质都非常重要，并且经常出现在题目当中。
七、二叉树的存储结构
二叉树的存储结构分为：顺序存储 和类似于链表的 链式存储。本节介绍链式存储结构，顺序存储结构在优先级队列讲解。
二叉树的链式存储是通过一个一个的节点引用起来的，常见的表示方式有 二叉（孩子表示法）和三叉（孩子双亲表示法）表示方式：
// 孩子表示法 class Node { int val; // 数据域 Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树 Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树 } // 孩子双亲表示法 class Node { int val; // 数据域 Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树 Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树 Node parent; // 当前节点的根节点 }
八、二叉树的基本操作
前置知识：根据定义我们知道，二叉树是递归定义的，也就是说一个二叉树要么是空树，要么由一个根节点和两个子树组成，而子树本身也符合同样的定义。这种定义方式将整个二叉树的结构递归地分解为更小的二叉树结构。因此后序基本操作中基本都是按照该概念实现的。
1、二叉树的遍历
遍历是二叉树上最重要的操作之一，是二叉树上进行其它运算之基础。
（1）前中后序遍历
在遍历二叉树时，如果没有进行某种约定，每个人都按照自己的方式遍历，得出的结果就比较混乱，如果按照某种规则进行约定，则每个人对于同一棵树的遍历结果肯定是相同的。如果 N 代表根节点L 代表根节点的左子树，R 代表根节点的右子树，则根据遍历根节点的先后次序有以下遍历方式：
NLR：前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)——访问根结点—>根的左子树—>根的右子树。
LNR：中序遍历(Inorder Traversal)——根的左子树—>根节点—>根的右子树。
LRN：后序遍历(Postorder Traversal)——根的左子树—>根的右子树—>根节点。
递归遍历示意图：
先序遍历；123456
中序遍历：421536
后续遍历：425631
代码实现：
// 二叉树：孩子表示法 static class BTNode { public BTNode left; public BTNode right; char val; public BTNode(char val) { this.val = val; } } //先序遍历：根->左->右 void preOrder(BTNode root) { // 递归终止条件 if (root == null) { return; } // 打印根 System.out.print(root.val + " "); // 左子树 preOrder(root.left); // 右子树 preOrder(root.right); } //中序遍历：左->根->右 void inOrder(BTNode root) { // 递归终止条件 if (root == null) { return; } // 左子树 inOrder(root.left); // 打印根 System.out.print(root.val + " "); // 右子树 inOrder(root.right); } //后序遍历：左->右->根 void postOrder(BTNode root) { // 递归终止条件 if (root == null) { return; } // 左子树 postOrder(root.left); // 右子树 postOrder(root.right); // 打印根 System.out.print(root.val + " "); }
（2）经典找序列
在二叉树序列这里，经常出现一类经典的笔试题目：已知中序遍历序列 和 前（后）序遍历序列，求后（前）序遍历序列？那么这类题目该如何解呢？下面我通过两道例题讲解：
📝例一：已知某二叉树的前序遍历序列为5749621，中序遍历序列为 4756912，则其后序遍历序列为？
解题思路：
- 通过前序遍历找到树的根，第一个即为根。
- 在中序遍历中找到根的位置，然后确定根左右子树的区间，即根的左侧为左子树中所有节点，根的右侧为右子树中所有节点。
- 从前向后看前序遍历序列，递归思想重复步骤2，直到确定二叉树结构。
📝例二：设一课二叉树的中序遍历序列：b a d c e，后序遍历序列：b d e c a，则二叉树前序遍历序列为？
解题思路：
- 通过后序遍历找到树的根，最后一个即为根。
- 在中序遍历中找到根的位置，然后确定根左右子树的区间，即根的左侧为左子树中所有节点，根的右侧为右子树中所有节点。
- 从后向前看后序遍历序列，递归思想重复步骤 2，直到确定二叉树结构。
（3）层序遍历
层序遍历就是从所在二叉树的根节点出发，首先访问第1 层的树根节点，然后从左到右访问第 2 层上的节点，接着是第 3 层的节点，以此类推，自上而下，自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历。 
同样以上述二叉树为例，层序遍历的结果为：ABCDEFGH
求解思路：
使用队列，让根节点入队。
出队并输出节点value 值。
如果出队节点的左节点不为空，左节点入队；右节点不为空，右节点入队。
重复上述步骤 2、步骤 3，直到队列为空，层序遍历完成。 
代码实现：
// 层序遍历 public void levelOrder(BTNode root) { Queue<BTNode> queue = new LinkedList<>(); if (root == null) { return; } queue.offer(root); while (!queue.isEmpty()) { BTNode cur = queue.poll(); System.out.print(cur.val + " "); if (cur.left != null) { queue.offer(cur.left); } if (cur.right != null) { queue.offer(cur.right); } } }
2、获取树中节点的个数
思路
- 求二叉树叶子结点的个数，就是求左子树和右子树中叶子节点的个数，因此使用递归遍历二叉树结点。
- 最后，将左子树节点个数、右子树节点个数和当前节点（根节点）的个数相加，得到当前子树的节点个数，并将其作为结果返回。
// 获取树中节点的个数 int size(BTNode root) { // 递归终止条件 if (root == null) { return 0; } // 左子树结点个数 int leftTree = size(root.left); // 右子树结点个数 int rightTree = size(root.right); // 当前子树的节点个数 return leftTree + rightTree + 1; }
3、二叉树叶子的结点个数
子问题思路：
- 求二叉树叶子结点的个数，就是求左子树和右子树中叶子节点的个数，因此使用递归遍历二叉树结点。
- 如果结点存在且左右子树都为null，则该节点就是叶子结点，返回值 1 代表当前叶子结点。
- 最后，将左子树叶子节点个数 和 右子树叶子节点个数相加，得到当前子树的叶子节点个数，并将其作为结果返回。
// 二叉树叶子的结点个数 int getLeafNodeCount(BTNode root) { // 空子树回0 if (root == null) { return 0; } // 叶子结点的条件：结点左右都为空 if (root.left == null && root.right == null) { return 1; } // 左子树 int leftTree = getLeafNodeCount(root.left); // 右子树 int rightTree = getLeafNodeCount(root.right); // 返回子树叶子结点个数 return leftTree + rightTree; }
4、获取第K层节点的个数
思路：
求二叉树的第k 层有多少个结点，就是求二叉树的左子树的第 k−1 层，和右子树的第k−1 层有多少个结点。因此使用递归遍历二叉树结点。
如果递归遍历过程中,k 为 1，说明当前结点即为二叉树的第k层节点，此时返回值 1 代表当前第K层结点。
最后将将左子树第 k−1 层节点个数和右子树第 k−1 层节点个数相加，得到当前子树第 k 层的节点个数，并将其作为结果返回。 
// 获取第K层节点的个数 int getKLevelNodeCount(BTNode root, int k) { if (root == null) { return 0; } if (k == 1) { return 1; } int leftTree = getKLevelNodeCount(root.left, k - 1); int rightTree = getKLevelNodeCount(root.right, k - 1); return leftTree + rightTree; }
5、二叉树的高度
思路
二叉树的高度 = Max(左树高度，右树高度)+1
使用递归遍历二叉树的左右子树，最后将Max(左树高度，右树高度)+1 作为结果返回。 
// 二叉树的高度 int getHeight(BTNode root) { // 空树高度为 0 if (root == null) { return 0; } // 左树高度 int leftHight = getHeight(root.left); // 右树高度 int righttHight = getHeight(root.right); // 子树高度 return leftHight > righttHight ? leftHight + 1 : righttHight + 1; }
6、检测值为value的元素是否存在
思路：
使用前序遍历，找到值为 value 的元素就返回元素地址，否则返回null。
// 检测值为value的元素是否存在 BTNode find(BTNode root, int val) { // 空树 if (root == null) { return null; } // 判断根节点 if (root.val == val) { return root; } // 左子树 BTNode leftTree = find(root.left, val); if (leftTree != null) { return leftTree; } // 右子树 BTNode rightTree = find(root.right, val); if (rightTree != null) { return rightTree; } // 没找到 return null; }
7、判断一棵树是不是完全二叉树
思路
使用队列，让根节点入队。
出队，如果出队节点不为null，出队节点的左右节点入队。
重复上述步骤 2，直到出队节点为 null.
继续出队，判断null 节点下是否存在 非null 节点，如果存在，为非完全二叉树，返回false；否则为完全二叉树，返回 true. 
// 判断一棵树是不是完全二叉树 public boolean isCompleteTree1(BTNode root) { //空树一定是完全二叉树 if (root == null) { return true; } // 辅助队列 Queue<BTNode> queue = new LinkedList<>(); BTNode cur =null; // 首先放入根节点 queue.offer(root); // 遇到 null 节点之前的判断 while(!queue.isEmpty()) { cur = queue.poll(); if (cur!=null) { queue.offer(cur.left); queue.offer(cur.right); } else { break; } } // 遇到 null 节点之后的判断 while (!queue.isEmpty()) { cur = queue.poll(); if (cur!=null) { // 如果队列中 null 后存在非 null 元素 return false; } } return true; }
