更相减损术求最大公约数

简介: 更相减损术求最大公约数

1.定义


更相减损术是出自《九章算术》的一种求最大公约数的算法,它原本是为约分而设计的,但它适用于任何需要求最大公约数的场合。

原文是:

可半者半之,不可半者,副置分母、子之数,以少减多,更相减损,求其等也。以等数约之。


白话文译文:

(如果需要对分数进行约分,那么)可以折半的话,就折半(也就是用2来约分)。如果不可以折半的话,那么就比较分母和分子的大小,用大数减去小数,互相减来减去,一直到减数与差相等为止,用这个相等的数字来约分。


2.步骤


第一步:任意给定两个正整数;判断它们是否都是偶数。若是,则用2约简;若不是则执行第二步。

第二步:以较大的数减较小的数,接着把所得的差与较小的数比较,并以大数减小数。继续这个操作,直到所得的减数和差相等为止。

则第一步中约掉的若干个2的积与第二步中等数的乘积就是所求的最大公约数

其中所说的“等数”,就是公约数。求“等数”的办法是“更相减损”法。


3.例子


3.1 例1 求6和3的最大公约数:

(1)由于3不是偶数,所以执行第二步

(2)6-3=3,3=3,减数与差相等,即3为6和3的最大公约数


3.2 例2 求98和64的最大公约数:

(1)98和64是偶数,所以用2约简得:49和32。49不是偶数,所以执行第二步。

(2)49-32=17,17<32;

32-17=15,15<17;

17-15=2,2<15;

15-2=13;13>2;

13-2=11,11>2;

11-2=9,9>2;

9-2=7,7>2;

7-2=5,5>2;

5-2=3,3>2;

3-2=1,1<2;

2-1=1,1=1,结束

所以98和64的最大公约数为2*1=2

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