向量自回归模型估计的先决条件之一是被分析的时间序列是平稳的。但是，经济理论认为，经济变量之间在水平上存在着均衡关系，可以使这些变量差分而平稳。这就是所谓的协整关系。由于知道这种关系可以改善分析的结果，所以希望有一个计量经济学模型，能够捕捉到这种关系。所谓的向量误差修正模型（VECMs）就属于这一类模型。下文介绍了VECMs的基本概念，并在R中估计这种模型。
模型和数据
向量误差修正模型与VAR模型非常相似，可以有如下形式。
其中，Δx为向量x中各变量的第一次差分，Pi为协整关系的系数矩阵，Γ为x的差分变量滞后的系数矩阵，d为确定性项的向量，C为其对应的系数矩阵，p为VAR形式下模型的滞后阶数，ϵ为均值为零的误差项，方差-协方差矩阵Σ。
由上式可知，与VAR模型唯一不同的是误差修正项Πxt-1，它反映了如果其中一个变量偏离其均衡值，则x中的变量增长率会如何变化的影响。系数矩阵Π可以写成矩阵乘积Π=αβ′，这样误差修正项就变成了αβ′xt-1。协整矩阵β包含了各层次变量之间的均衡关系信息。β′xt-1描述的向量可以解释为变量与均衡值之间的距离，α是所谓的载荷矩阵，描述了因变量向均衡值收敛的速度。
为了说明R向量误差修正模型估计，我们使用数据集E6(2007)，其中包含从季度1972Q2到1998Q4，季节性调整的长期利率和通胀率时间序列。
plot(data) #绘图数据
估计
有多种方法可以估计VEC模型。第一种方法是使用普通最小二乘法，这种方法可以得到准确的结果，但不能估计变量之间的协整关系。估计广义最小二乘法（EGLS）是一种替代方法。然而，最流行的VECMs估计方法是Johansen（1995）的最大似然估计。
但是，在估计VEC模型之前，必须指定滞后阶数p、协整矩阵的等级r和确定性项。选择滞后阶数的一个有效策略是在水平上估计VAR，并选择最小化信息准则的滞后方法。由于时间序列表现出强烈的季节性规律，我们通过指定季节参数=4来控制，其中4是数据的频率。
# 估计 VAR VAR(data,ic = "AIC", season = 4 ,....) # AIC建议的滞后阶数 var$p
## AIC(n) ## 4
根据AIC，可以使用滞后阶数为4，这与Lütkepohl（2007）中使用的数值相同。这意味着VEC模型对应的VAR在水平上有3个滞后期。由于ca.jo函数要求VAR模型的滞后阶数，我们设置K=4。
在VECM中加入确定性项是一个巧妙的问题。一个常见的策略是在误差修正项中加入一个线性趋势，在方程的非协整部分加入一个常数，这个策略就不做赘述了。在这个例子中，我们遵循Lütkepohl（2007）的方法，在方程的非协整部分添加一个常数项和季节性伪变量。
cajo函数不仅仅是估计VECM，它还计算了方程的检验统计量。它还计算了r的不同特异性的检验统计量，用户可以在两种方法中进行选择，即迹检验和特征值检验。在这个例子中，使用了迹检验，即type = "trace"。
# 估计 cajo(e6, ecdet = "none", type = "trace",...)
迹检验表明，r=1，协整关系β和载荷矩阵α的第一列估计值与Lütkepohl（2007年，第7章）中ML估计的结果一致。
# Beta round(vec@V, 2)
## R.l1 Dp.l1 ## R.l1 1.00 1.0 ## Dp.l1 -3.96 1.7
# Alpha round(vec@W, 2)
## R.l1 Dp.l1 ## R.d -0.10 -0.04 ## Dp.d 0.16 -0.02
然而，模型中非协整部分的估计系数与EGLS估计的结果一致。
round(GAMMA, 2)
## constant sd1 sd2 sd3 R.dl1 Dp.dl1 R.dl2 Dp.dl2 R.dl3 Dp.dl3 ## R.d 0.01 0.01 0.00 0.00 0.29 -0.16 0.01 -0.19 0.25 -0.09 ## Dp.d -0.01 0.02 0.02 0.03 0.08 -0.31 0.01 -0.37 0.04 -0.34
由于使用了不同的参考日期，与Lütkepohl（2007）的结果不同。
脉冲响应分析
VECM的脉冲响应函数通常由其VAR形式获得。
# 将VEC转换为VAR，r=1。 vec2var(vec, r = 1)
然后用通常的方式计算脉冲响应函数。
# 获得IRF irf(impulse = "R", response = "Dp",...)
请注意，和平稳的VAR模型的一个重要区别是，协整VAR模型的脉冲反应不是必须接近零，因为变量是不平稳的。
参考文献
Lütkepohl, H. (2007). New introduction to multiple time series analysis (2nd ed.). Berlin: Springer.
