用R语言用Nelson Siegel和线性插值模型对债券价格和收益率建模

简介: 用R语言用Nelson Siegel和线性插值模型对债券价格和收益率建模


债券基础

  •  是一个合同,作者与初始付款义务以预定的时间(s)(成熟)的钱付预定量。这类似于借入利息和付款结构的钱。
  • 零息债券  是一种特殊类型的键,其在到期时支付出仅一次没有中间付款。
  • 债券的面额/票面金额/本金是发行人在到期时所支付的金额。标准价值通常为$ 1000。
  • 债券可以参考价格或收益。例如,将支付$ 100的零息债券的价格可以是$ 90。但收益率将是(100-90)/ 90 = 11%(100-90)/ 90 = 11%,而不是10%10%。
  • 债券价格的一个常见约定是,它们最终收于100。这就是为什么当利率上升时,债券价格下降,反之亦然。另一种惯例是美分兑美元(例如,90美分兑美元)。
  • 债券收益率被称为年利率。例如,十年期政府债券的收益率为2%,这意味着它的年收益将为2%,而不是10年后。
  • 债券可以在二级市场上交易(一级市场是债券发行过程)。如果利率增加,债券的价值就会增加,如果利率降低,债券的价值就会减少,这仅仅是因为该债券是在利率改变之前以便宜/昂贵的价格发行的。也可以做空债券。
  • 即使不期望债券产生负利率,也不是完全看不见的。在危机时期,政府债券甚至公司债券可以负收益进行交易。


定价债券

债券价格是通过使用票面利率和现金流量确定债券的现值来确定的。


其中CFt是时间tt的现金流量,B(0,t)是美元的折扣率或时间00的价格。


其中R(0,t)是在时间为tt时在时间00的年度即期汇率。我们可以重新安排


B(0,t)也可以称为零息债券的价格。大多数债券不是零息债券,但是有可能使用零息债券构造几乎所有支付结构。

我们可以暗示与市场债券不同期限的零息票利率。然后,我们可以使用这些利率建立期限结构模型来对任何债券定价。严格违反期限结构可能是买卖机会,也可能是套利机会。

calculate_bond_price<-function(face_value=1000,coupon_rate=0.05,maturity=1,yearly_coupons=0){
    #This function calculates the price of the bond B(0,t) given
    #its face value, maturity, annual coupon rate and equidistant payment
    #if yearly_coupons == 0, it only pays out at the maturity
    #if yearly_coupons == 1, it pays out annually
    #if yearly_coupons == 2, it pays out semiannually
    if(yearly_coupons==0){
        face_value/((1+coupon_rate)^maturity)
    }else{
        face_value/((1+coupon_rate/yearly_coupons)^(yearly_coupons*maturity))
    }

}
calculate_bond_price()
## [1] 952.381

如果我们有适当的证券,我们也可以从付息债券中构造零息债券。从讲义中假设我们有两个纽带。

  • 1年期纯贴现债券在$ 95出售。
  • 两年期8%的债券售价99美元。



2年期纯折价债券的价格为99-0.08(95)= 91.499-0.08(95)= 91.4(通过买入两年期债券多头和买入一年期债券空头0.08个单位(以抵消第一个债券的收益)年优惠券)。


复利类型

简单复合

这是仅应用一次利率的方法。假设利率为0.05,期限为2年。100美元的价格在到期时将是多少。


定期复利

如果将利息永久添加到本金投资中,那么我们的复利就是利率。假设相同的示例,但每半年复算一次。


产生的年名义利率为  。

连续复利

现在,假设复利的频率很高,以至于在两次加息之间的时间间隔是无限的(接近零)。然后在极限情况下


看起来很熟悉?

因此,以我们的示例为例,连续复利的年利率是

给定一组零息票债券价格,我们可以计算连续收益率

#Example bond price is 0.987 and maturity is half a year.
calculate_yield(0.987,0.5)
## [1] 0.02617048

远期汇率

假设有两个到期日不同的债券

可以重新排列成


imply_forward_rate<-function(R0t1=0.04,R0t2=0.045,t1=1,t2=2){

    ((1+R0t2)^t2/(1+R0t1)^t1)^(1/(t2-t1)) -1

}
imply_forward_rate()
## [1] 0.05002404


到期日的相关性

利率不仅随着到期日变化,而且随着时间变化。我们还将调用某些数据和计算。

让我们加载库并检查美联储收益率曲线数据。

##             R_3M  R_6M  R_1Y  R_2Y  R_3Y  R_5Y  R_7Y R_10Y
## 1981-12-31 12.92 13.90 14.32 14.57 14.64 14.65 14.67 14.59
## 1982-01-31 14.28 14.81 14.73 14.82 14.73 14.54 14.46 14.43
## 1982-02-28 13.31 13.83 13.95 14.19 14.13 13.98 13.93 13.86
## 1982-03-31 13.34 13.87 13.98 14.20 14.18 14.00 13.94 13.87
## 1982-04-30 12.71 13.13 13.34 13.78 13.77 13.75 13.74 13.62
## 1982-05-31 13.08 13.76 14.07 14.47 14.48 14.43 14.47 14.30

相关矩阵显示出收益率没有完全相关,因此时间形状会发生变化。


R_3M R_6M R_1Y R_2Y R_3Y R_5Y R_7Y R_10Y
R_3M 1.0000000 0.9983390 0.9940045 0.9837559 0.9744780 0.9546189 0.9399504 0.9230412
R_6M 0.9983390 1.0000000 0.9981715 0.9899820 0.9817197 0.9632268 0.9491761 0.9332366
R_1Y 0.9940045 0.9981715 1.0000000 0.9959937 0.9900195 0.9746174 0.9621895 0.9478956
R_2Y 0.9837559 0.9899820 0.9959937 1.0000000 0.9984844 0.9896811 0.9808896 0.9694621
R_3Y 0.9744780 0.9817197 0.9900195 0.9984844 1.0000000 0.9958583 0.9896185 0.9804575
R_5Y 0.9546189 0.9632268 0.9746174 0.9896811 0.9958583 1.0000000 0.9983629 0.9936744
R_7Y 0.9399504 0.9491761 0.9621895 0.9808896 0.9896185 0.9983629 1.0000000 0.9981232
R_10Y 0.9230412 0.9332366 0.9478956 0.9694621 0.9804575 0.9936744 0.9981232 1.0000000


债券价格和收益率

在这一部分中,我们将看到提取和构建债券价格和收益率的方法。


直接法

假设您得到以下债券利率。请记住,名义汇率是100。


优惠券 到期 价钱
债券1 5.0 1个 101.0
债券2 5.5 2 101.5
债券3 5.0 3 99.0
债券4 6.0 4 100.0

零息债券价格(B(0,t)B(0,t)

然后我们得到

get_zero_coupon()
## $B0t
## [1] 0.9619048 0.9119386 0.8536265 0.7890111
## 
## $R0t
## [1] 0.03960396 0.04717001 0.05417012 0.06103379

线性插值


R03<-0.055
R04<-0.06

R03p75<-((4-3.75)*0.055+(3.75-3)*0.06)/(4-3)
R03p75
## [1] 0.05875
##Or use the R function
yield_interpolate<-approxfun(x=c(3,4),y=c(0.055,0.06))
yield_interpolate(3.75)
## [1] 0.05875


三次插值

假设我们的费率如下:


#Interpolate for a bond of 2.5 years
t_val<-2.5
sum(abcd_vec*((2.5)^(3:0)))
## [1] 0.0534375
## [1] 0.0534375

间接方法(Nelson Siegel)

代替引导技术,我们将使用模型。尼尔森·西格尔(Nelson Siegel)模型是模拟利率收益率曲线的一种流行方法。


其中θ是到期日,β0是级别参数(长期收益率),β1是斜率参数(长期/短期扩展),β2是曲率参数,τ是比例参数。

ns_data <-
data.frame(maturity=1:30) %>%
mutate(ns_yield=nelson_siegel_calculate(theta=maturity,tau=3.3,beta0=0.07,beta1=-0.02,beta2=0.01))

head(ns_data)
##   maturity   ns_yield
## 1        1 0.05398726
## 2        2 0.05704572
## 3        3 0.05940289
## 4        4 0.06122926
## 5        5 0.06265277
## 6        6 0.06376956
ggplot(data=ns_data, aes(x=maturity,y=ns_yield)) + geom_point() + geom_line()

可以使用参数来更好地估计收益曲线。


Nelson Siegel参数的估计

YieldCurve 上述R包  具有Nelson Siegel曲线估计功能。

##              beta_0     beta_1   beta_2    lambda
## 1981-12-31 14.70711 -5.3917409 3.269125 0.5123605
## 1982-01-31 14.35240 -0.7602066 2.834508 0.1887807
## 1982-02-28 13.74481 -0.9247232 2.681840 0.1236869

注意:我们将lambda称为tau(ττ)(形状参数)。


Beta灵敏度

考虑提供Fi未来现金流的债券价格  。因此,带有beta参数的价格变化如下。


nelson_siegel_sensitivities(coupon_rate=0.05,maturity=2)
##      Beta0      Beta1      Beta2 
## -192.51332 -141.08199  -41.27936
nelson_siegel_sensitivities(coupon_rate=0.05,maturity=7)
##     Beta0     Beta1     Beta2 
## -545.4198 -224.7767 -156.7335
nelson_siegel_sensitivities(coupon_rate=0.05,maturity=15)
##     Beta0     Beta1     Beta2 
## -812.6079 -207.1989 -173.0285



  1. 这些R讲义也将遵循固定收益证券:Martellini,Priaulet和Priaulet撰写的“估值风险管理和投资组合策略”。
  2. 债券可以在收益率之上额外溢价或折价购买或出售。纯折扣意味着没有额外的折扣或溢价。
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