C语言第二十八练 对数的相关应用

简介: C语言第二十八练 对数的相关应用

第二十八练 对数的相关应用

求 N ! (1 <= N <= 5000)中有多少位数字。(只N的阶乘)

要求:1、输入正整数N 2、输出N!有多少位数字

第二十七练答案

以下是一个用C语言实现的程序,根据给定的整数n,计算满足条件1<=b<=a<=n 且 gcd(a,b)=a XOR b的整数对(a, b)的数量。程序中使用了gcd函数来计算最大公约数,使用异或操作符(^)来进行异或运算。

#include <stdio.h>

int gcd(int a, int b) {
    if (b == 0) {
        return a;
    }
    return gcd(b, a % b);
}

int countPairs(int n) {
    int count = 0;
    for (int a = 1; a <= n; ++a) {
        for (int b = 1; b <= a; ++b) {
            if (gcd(a, b) == (a ^ b)) {
                count++;
            }
        }
    }
    return count;
}

int main() {
    int n;
    printf("Enter a positive integer n: ");
    scanf("%d", &n);
    
    int result = countPairs(n);
    printf("Number of pairs (a, b) satisfying gcd(a, b) = a XOR b: %d\n", result);
    
    return 0;
}

在这个程序中,用户输入一个正整数n,程序会计算满足条件1<=b<=a<=n 且 gcd(a,b)=a XOR b的整数对(a, b)的数量,并输出结果。

上述答案时间复杂度比较高,下面是一个时间复杂度低一点的方法。

最容易想到的方法是枚举 a,b,双重循环加上求 gcd,总复杂度为 O(nnlogn),绝对 无法承受。如何减少枚举呢?注意到亦或运算的性质,如果 a^b=c,那么 a^c=b,既然 c 为 a, b 的最大公约数的话,那么我们可以从枚举 a 和 c 出发,那么就是枚举所有因子 c 及其可能 的倍数 a,和素数筛法一样,这样复杂度为 O(nlognlogn),n 最大为 30000000,复杂度还是 有点高,怎么减少复杂度呢?这就要通过一点数学知识或者找规律发现了,通过打印出所有 满足条件的 a,b,c 可以发现 a+b=c,所以可以将复杂度降为 O(nlogn),但是题目是多样例 输入,如果每次都需要 O(n*logn)计算答案的话,还是会超时,观察便可得知其实在计算 n 以内满足条件的 a,b 对数时比 n 小的数以内的对数都已经计算出来了,也就是说不需要重 复计算了,那么我们可以通过一次预处理,在计算的过程中统计每个 a 组合时的对数,之后 循环遍历一次全部加起来就可以知道每个 n 以内的答案了。


#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cmath>
using namespace std;
const int N = 30000000;
int a[N+5];

void pretreat() {
 for (int i = 1; i <= 15000000; i++) {
 for (int j = i<<1; j <= N; j += i) {
 if ((j ^ (j-i)) == i) a[j]++;
 }
 }
 for (int i = 2; i <= N; i++) a[i] += a[i-1];
}
int main() {
 pretreat();
 int t, ca = 0;
 scanf("%d", &t);
 while (t--) {
 int n;
 scanf("%d", &n);
 printf("Case %d: %d\n", ++ca, a[n]);
 }
 return 0;
}

答案和解析会在次日公布

注意事项

编写代码的时候,需要注意以下几点问题:

  • 头文件的引用需要放在代码的最顶部
  • 每个C语言程序中必须包含一个 main函数
  • void main(){}
  • int main(){return 0;}
  • C语言中每一行的结尾处必须要使用分号结尾
  • C语言中的引号需要使用双引号,双引号都是以一对一对的情况出现的
  • 在scanf键盘输入代码中,要使用 & 加变量名来读取一个键盘输入
  • 赋值语句是将右边的值赋给左边的变量,顺序不能反了
  • 需要注意代码的缩进格式,缩进为4个空格或者一个tab键为一组,但是要保证整篇代码里面风格一致,要么都是4个空格缩进,要么都是使用一个tab进行缩进
  • 需要养成随手保存的习惯,保存的快捷键一般是 ctrl + s
  • 注意大括号的使用,大括号是代码块,代表了一个块的代码是放在一起的
  • 注意整数型和实数型的转换,如果将实数赋值给一个整形变量,那么实数的小数部分将会被舍去;
  • 注意除法中,如果除数和被除数都是整数,那么结果也会是一个整数,小数部分会自动舍弃
  • 成对出现的标点符号
  • 单引号,双引号,小括号,中括号,大括号等,一般不单独出现
  • 如果代码有问题,然后附近又刚好有这些成对符号,请着重关注
  • 定义变量时,该打的逗号应该打上,不能写掉了
  • 编写++符号时,不要误写成了ff
  • 一个程序里面只能有一个main函数,除了main函数的其他函数都不能叫这个名字
  • 在调用函数时,入参都是使用的逗号隔开,一定不要使用分号隔开
  • 换行符是\n,不能错误写成/n
  • 输入输出格式化
  • %d对应整数
  • %c对应字符
  • %f对应实数
  • 不要写错或者写漏了
  • if条件语句当前行不能加分号,不然这个语句就没有意义了

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