第二十八练 对数的相关应用
求 N ! (1 <= N <= 5000)中有多少位数字。（只N的阶乘）
要求：1、输入正整数N 2、输出N!有多少位数字
第二十七练答案
以下是一个用C语言实现的程序，根据给定的整数n，计算满足条件1<=b<=a<=n 且 gcd(a,b)=a XOR b的整数对(a, b)的数量。程序中使用了gcd函数来计算最大公约数，使用异或操作符(^)来进行异或运算。
#include <stdio.h> int gcd(int a, int b) { if (b == 0) { return a; } return gcd(b, a % b); } int countPairs(int n) { int count = 0; for (int a = 1; a <= n; ++a) { for (int b = 1; b <= a; ++b) { if (gcd(a, b) == (a ^ b)) { count++; } } } return count; } int main() { int n; printf("Enter a positive integer n: "); scanf("%d", &n); int result = countPairs(n); printf("Number of pairs (a, b) satisfying gcd(a, b) = a XOR b: %d\n", result); return 0; }
在这个程序中，用户输入一个正整数n，程序会计算满足条件1<=b<=a<=n 且 gcd(a,b)=a XOR b的整数对(a, b)的数量，并输出结果。
上述答案时间复杂度比较高，下面是一个时间复杂度低一点的方法。
❝最容易想到的方法是枚举 a，b，双重循环加上求 gcd，总复杂度为 O(nnlogn),绝对 无法承受。如何减少枚举呢？注意到亦或运算的性质，如果 a^b=c,那么 a^c=b,既然 c 为 a， b 的最大公约数的话，那么我们可以从枚举 a 和 c 出发，那么就是枚举所有因子 c 及其可能 的倍数 a，和素数筛法一样，这样复杂度为 O(nlognlogn),n 最大为 30000000，复杂度还是 有点高，怎么减少复杂度呢？这就要通过一点数学知识或者找规律发现了，通过打印出所有 满足条件的 a,b,c 可以发现 a+b=c，所以可以将复杂度降为 O(nlogn)，但是题目是多样例 输入，如果每次都需要 O(n*logn)计算答案的话，还是会超时，观察便可得知其实在计算 n 以内满足条件的 a，b 对数时比 n 小的数以内的对数都已经计算出来了，也就是说不需要重 复计算了，那么我们可以通过一次预处理，在计算的过程中统计每个 a 组合时的对数，之后 循环遍历一次全部加起来就可以知道每个 n 以内的答案了。
❞
#include <cstdio> #include <algorithm> #include <cstring> #include <cmath> using namespace std; const int N = 30000000; int a[N+5]; void pretreat() { for (int i = 1; i <= 15000000; i++) { for (int j = i<<1; j <= N; j += i) { if ((j ^ (j-i)) == i) a[j]++; } } for (int i = 2; i <= N; i++) a[i] += a[i-1]; } int main() { pretreat(); int t, ca = 0; scanf("%d", &t); while (t--) { int n; scanf("%d", &n); printf("Case %d: %d\n", ++ca, a[n]); } return 0; }
答案和解析会在次日公布
注意事项
编写代码的时候，需要注意以下几点问题：
- 头文件的引用需要放在代码的最顶部
- 每个C语言程序中必须包含一个 main函数
- void main(){}
- int main(){return 0;}
- C语言中每一行的结尾处必须要使用分号结尾
- C语言中的引号需要使用双引号，双引号都是以一对一对的情况出现的
- 在scanf键盘输入代码中，要使用 & 加变量名来读取一个键盘输入
- 赋值语句是将右边的值赋给左边的变量，顺序不能反了
- 需要注意代码的缩进格式，缩进为4个空格或者一个tab键为一组，但是要保证整篇代码里面风格一致，要么都是4个空格缩进，要么都是使用一个tab进行缩进
- 需要养成随手保存的习惯，保存的快捷键一般是
ctrl + s - 注意大括号的使用，大括号是代码块，代表了一个块的代码是放在一起的
- 注意整数型和实数型的转换，如果将实数赋值给一个整形变量，那么实数的小数部分将会被舍去；
- 注意除法中，如果除数和被除数都是整数，那么结果也会是一个整数，小数部分会自动舍弃
- 成对出现的标点符号
- 单引号，双引号，小括号，中括号，大括号等，一般不单独出现
- 如果代码有问题，然后附近又刚好有这些成对符号，请着重关注
- 定义变量时，该打的逗号应该打上，不能写掉了
- 编写++符号时，不要误写成了ff
- 一个程序里面只能有一个main函数，除了main函数的其他函数都不能叫这个名字
- 在调用函数时，入参都是使用的逗号隔开，一定不要使用分号隔开
- 换行符是
\n，不能错误写成/n - 输入输出格式化
%d对应整数%c对应字符%f对应实数- 不要写错或者写漏了
- if条件语句当前行不能加分号，不然这个语句就没有意义了
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