一、二叉树的简单概念
（1）关于树的一些概念
结点的度：一个结点含有子树的个数称为该结点的度； 如上图：A的度为6
树的度：一棵树中，所有结点度的最大值称为树的度； 如上图：树的度为6
叶子结点或终端结点：度为0的结点称为叶结点； 如上图：B、C、H、I...等节点为叶结点
双亲结点或父结点：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点； 如上图：A是B的父结点
孩子结点或子结点：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点； 如上图：B是A的孩子结点
根结点：一棵树中，没有双亲结点的结点；如上图：A
结点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子结点为第2层，以此类推
树的高度或深度：树中结点的最大层次； 如上图：树的高度为4
非终端结点或分支结点：度不为0的结点； 如上图：D、E、F、G...等节点为分支结点
兄弟结点：具有相同父结点的结点互称为兄弟结点； 如上图：B、C是兄弟结点
堂兄弟结点：双亲在同一层的结点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟结点
结点的祖先：从根到该结点所经分支上的所有结点；如上图：A是所有结点的祖先
子孙：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图：所有结点都是A的子孙
森林：由m（m>=0）棵互不相交的树组成的集合称为森林
（2）二叉树的一些概念及性质
概念：二叉树即为每个节点的度都小于等于2的树，即为二叉树。
性质：
1. 若规定根结点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有 (i>0)个结点
2. 若规定只有根结点的二叉树的深度为1，则深度为K的二叉树的最大结点数是 (k>=0)
3. 对任何一棵二叉树, 如果其叶结点个数为 n0, 度为2的非叶结点个数为 n2,则有n0＝n2＋1
4. 具有n个结点的完全二叉树的深度k为 上取整
5. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：
若i>0，双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根结点编号，无双亲结点
若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，否则无左孩子
若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，否则无右孩子
定义二叉树的代码：
//孩子表示法 public class MyBinomialTree { static class TreeNode { char val; TreeNode left; TreeNode right; public TreeNode(char val) { this.val = val; } } }
二、二叉树的方法实现
（1）createTree
此方法是创建一个二叉树，里面是已经构造好了的二叉树，画图是如下情况：
代码如下：
//创建一个二叉树 TreeNode createTree() { TreeNode A = new TreeNode('A'); TreeNode B = new TreeNode('B'); TreeNode C = new TreeNode('C'); TreeNode D = new TreeNode('D'); TreeNode E = new TreeNode('E'); TreeNode F = new TreeNode('F'); TreeNode G = new TreeNode('G'); TreeNode H = new TreeNode('H'); A.left = B; A.right = C; B.left = D; B.right = E; E.right = H; C.left = F; C.right = G; return A; }
在main方法中创建MyBinomialTree类的对象，调用此方法，就能创建出上面的二叉树，代码如下：
MyBinomialTree myBinomialTree = new MyBinomialTree(); MyBinomialTree.TreeNode root = myBinomialTree.createTree();
（2）preOrder
此方法是前序遍历二叉树的方法，前序遍历即为根左右的顺序遍历二叉树，上图我们创建的二叉树，前序遍历为：A B D E H C F G
代码如下：
// 前序遍历 void preOrder(TreeNode root) { if(root == null) { return; } System.out.print(root.val + " "); preOrder(root.left); preOrder(root.right); }
执行效果如下：
和上面写的顺序一样。
（3）inOrder
此方法是中序遍历的方法，中序遍历即为左根右的顺序遍历二叉树，继续照着上面的图，中序遍历为：D B E H A F C G
代码如下：
// 中序遍历 -》 左根右 void inOrder(TreeNode root){ if(root == null) { return; } inOrder(root.left); System.out.print(root.val + " "); inOrder(root.right); }
执行效果如下：
和上面写的顺序一样。
（4）postOrder
此方法是后续遍历的方法，后序遍历即为左右根的顺序遍历二叉树，照着上面创建的二叉树图，后序遍历为：D H E B F G C A
代码如下：
// 后序遍历 -》 左右根 void postOrder(TreeNode root){ if(root == null) { return; } postOrder(root.left); postOrder(root.right); System.out.print(root.val + " "); }
执行效果如下：
和上面写的顺序一样。
（5）size
此方法是计算二叉树有多少个节点的方法，要计算二叉树有多少个节点，也意味着要遍历一遍二叉树，可以使用上面前中后序的任一遍历方法，用一个全局变量count1计数，如果遍历到当前节点不为空，则count++，最后返回count，代码如下：
public static int count1 = 0; int size1(TreeNode root) { if(root == null) { return 0; } if(root != null) { count1++; } size1(root.left); size1(root.right); return count1; }
执行效果如下：
也可以使用子问题思想，二叉树的节点 = 当前root节点的左节点之和 + 当前root节点的右节点之和 + 1，如图：
左边的子树+右边的子树+root本身自己（1）
代码如下：
// 获取树中节点的个数 int size(TreeNode root) { if(root == null) { return 0; } return size(root.left) + size(root.right) + 1; }
执行效果如下：
（6）getLeafNodeCount
此方法是获取叶子节点的个数，要获取叶子节点个数，可以用遍历一遍二叉树的思想，找出二叉树那些节点即没有左孩子，也没有右孩子的节点，即叶子节点，所以要定义一个全局变量count2
代码如下：
public static int count2 = 0; // 获取叶子节点的个数 int getLeafNodeCount(TreeNode root) { if(root == null) { return 0; } if(root.left == null && root.right == null) { count2++; } getLeafNodeCount(root.left); getLeafNodeCount(root.right); return count2; }
执行效果如下：
从图中可以看出，叶子节点有4个。
子问题思路：也是需要遍历二叉树，但遍历的方式不同，如果找到是叶子节点就返回1，不是则return后面加上方法的递归，即root节点的左边子树的叶子节点+右边子树的叶子节点，如图：
代码如下：
// 子问题思路-求叶子结点个数 int getLeafNodeCount1(TreeNode root) { if(root == null) { return 0; } if(root.left == null && root.right == null) { return 1; } return getLeafNodeCount1(root.left) + getLeafNodeCount1(root.right); }
执行效果如下：
也是4个
（7）getKLevelNodeCount
此方法是获取第K层节点的个数，第K层节点的个数 = 第K-1层的所有节点的第二层节点的个数之和，如图，第三层节点的个数=第二层节点的所有节点的第一层节点的个数之和，即B节点的第一层节点之和+C节点的第一层节点之和，而第一层节点个数只能为1。
代码如下：
// 获取第K层节点的个数 int getKLevelNodeCount(TreeNode root,int k) { if(root == null) { return 0; } if(k == 1) { return 1; } return getKLevelNodeCount(root.left, k - 1) + getKLevelNodeCount(root.right, k - 1); }
执行效果如下：
从上图可以看出第三层节点有4个，和代码运行出的结果一样。
（8）getHeight
此方法是获取二叉树的高度，要获取二叉树的高度，就需要找出root节点下面每个分支的最高高度，然后再+1，如图：
很显然，上面二叉树的高度是3+1=4
代码如下：
// 获取二叉树的高度 int getHeight(TreeNode root) { if(root == null) { return 0; } if(root.left == null && root.right == null) { return 1; } return Math.max(getHeight(root.left), getHeight(root.right)) + 1; }
执行结果如下：
和预期结果一样。
（9）find
此方法是检测值为value的元素是否存在，要检查某个节点是否存在，就要对二叉树进行遍历，这里使用前序的遍历方法，但要注意，递归的时候要保存节点，所以要创建新的二叉树保存返回的节点
代码如下：
// 检测值为value的元素是否存在 TreeNode find(TreeNode root, char val) { if(root == null) { return null; } if(root.val == val) { return root; } TreeNode ret1 = find(root.left, val); if(ret1 != null) { return ret1; } TreeNode ret2 = find(root.right, val); if(ret2 != null) { return ret2; } return null; }
执行效果如下：
上面的二叉树存在 'C' 这个节点，假如找 'X' 节点，则不会存在，会是null，如图：
（10）levelOrder
此方法是层序遍历，层序遍历是从左到右，从上到下的遍历顺序，上图的二叉树层序遍历为：
A B C D E F G H
这里需要使用到队列，用上面的二叉树为例子，下面展示二叉树的节点存放进队列的顺序，如下：
先把根节点存放进队列，如下图：
判断队列是不是空，不是空就出队列的元素，分别判断这个元素有没有左节点和右节点，如果有，就存进队列里，如下图：
出队顶元素，次数队顶元素是B，判断B有没有左右子树，有的话分别入队列，如下图：
下一步和上面一样，如下图：
最后依次出队顶元素，再把H入队列，依次遍历，也就实现了从左到右，从上到下的遍历
代码如下：
//层序遍历 void levelOrder(TreeNode root) { //没有二叉树，直接返回 if(root == null) { return; } //使用队列存放二叉树的元素 Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>(); queue.offer(root); while (!queue.isEmpty()) { TreeNode ret = queue.poll(); System.out.print(ret.val + " "); if(ret.left != null) { queue.offer(ret.left); } if(ret.right != null) { queue.offer(ret.right); } } }
执行效果如下：
和预期结果一样。
（11）isCompleteTree
此方法是判断一棵树是不是完全二叉树，完全二叉树，即除叶子节点外，其他节点的度都为2，如下图就是完全二叉树。
但是下面的图不是完全二叉树，也是createTree方法创建的二叉树
要判断二叉树是否为完全二叉树，可以里队列，第一步骤是把二叉树层序遍历一遍：一开始把根节点root入队列，判断循环的结束条件就是队列不为空，然后找当前节点的左右子树，当前节点不为null，它的左右子树就分别存进队列，为null就直接跳出循环。这样，如果队列里有节点，即不为空的元素，则该节点不是完全二叉树，如果该队列里全是null，则是完全二叉树。因为层序遍历，如果是完全二叉树，则最后一层节点遍历完后，队列存放的元素都为null，否则不是，如图：
第二步骤是把队列里所有元素都检查一遍，如果有不为null的元素，就返回false，全为null就返回true。
代码如下：
// 判断一棵树是不是完全二叉树 boolean isCompleteTree(TreeNode root) { if(root == null) { return true; } Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>(); queue.offer(root); while (!queue.isEmpty()) { TreeNode ret = queue.poll(); if(ret != null) { queue.offer(ret.left); queue.offer(ret.right); }else { break; } } while (!queue.isEmpty()) { TreeNode ret = queue.peek(); if(ret == null) { queue.poll(); } else { return false; } } return true; }
使用有H节点的的createTree方法，执行效果如下：
使用没有H节点的的createTree方法，执行效果如下：
符合我们的预期效果。
三、最终代码
public class MyBinomialTree { static class TreeNode { char val; TreeNode left; TreeNode right; public TreeNode(char val) { this.val = val; } } //创建一个二叉树 TreeNode createTree() { TreeNode A = new TreeNode('A'); TreeNode B = new TreeNode('B'); TreeNode C = new TreeNode('C'); TreeNode D = new TreeNode('D'); TreeNode E = new TreeNode('E'); TreeNode F = new TreeNode('F'); TreeNode G = new TreeNode('G'); TreeNode H = new TreeNode('H'); A.left = B; A.right = C; B.left = D; B.right = E; //E.right = H; C.left = F; C.right = G; return A; } // 前序遍历 void preOrder(TreeNode root) { if(root == null) { return; } System.out.print(root.val + " "); preOrder(root.left); preOrder(root.right); } // 中序遍历 -》 左根右 void inOrder(TreeNode root){ if(root == null) { return; } inOrder(root.left); System.out.print(root.val + " "); inOrder(root.right); } // 后序遍历 -》 左右根 void postOrder(TreeNode root){ if(root == null) { return; } postOrder(root.left); postOrder(root.right); System.out.print(root.val + " "); } public static int count1 = 0; int size1(TreeNode root) { if(root == null) { return 0; } if(root != null) { count1++; } size1(root.left); size1(root.right); return count1; } // 获取树中节点的个数 int size(TreeNode root) { if(root == null) { return 0; } return size(root.left) + size(root.right) + 1; } public static int count2 = 0; // 获取叶子节点的个数 int getLeafNodeCount(TreeNode root) { if(root == null) { return 0; } if(root.left == null && root.right == null) { count2++; } getLeafNodeCount(root.left); getLeafNodeCount(root.right); return count2; } // 子问题思路-求叶子结点个数 int getLeafNodeCount1(TreeNode root) { if(root == null) { return 0; } if(root.left == null && root.right == null) { return 1; } return getLeafNodeCount1(root.left) + getLeafNodeCount1(root.right); } // 获取第K层节点的个数 int getKLevelNodeCount(TreeNode root,int k) { if(root == null) { return 0; } if(k == 1) { return 1; } return getKLevelNodeCount(root.left, k - 1) + getKLevelNodeCount(root.right, k - 1); } // 获取二叉树的高度 int getHeight(TreeNode root) { if(root == null) { return 0; } if(root.left == null && root.right == null) { return 1; } return Math.max(getHeight(root.left), getHeight(root.right)) + 1; } // 检测值为value的元素是否存在 TreeNode find(TreeNode root, char val) { if(root == null) { return null; } if(root.val == val) { return root; } TreeNode ret1 = find(root.left, val); if(ret1 != null) { return ret1; } TreeNode ret2 = find(root.right, val); if(ret2 != null) { return ret2; } return null; } //层序遍历 void levelOrder(TreeNode root) { //没有二叉树，直接返回 if(root == null) { return; } //使用队列存放二叉树的元素 Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>(); queue.offer(root); while (!queue.isEmpty()) { TreeNode ret = queue.poll(); System.out.print(ret.val + " "); if(ret.left != null) { queue.offer(ret.left); } if(ret.right != null) { queue.offer(ret.right); } } } // 判断一棵树是不是完全二叉树 boolean isCompleteTree(TreeNode root) { if(root == null) { return true; } Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>(); queue.offer(root); while (!queue.isEmpty()) { TreeNode ret = queue.poll(); if(ret != null) { queue.offer(ret.left); queue.offer(ret.right); }else { break; } } while (!queue.isEmpty()) { TreeNode ret = queue.peek(); if(ret == null) { queue.poll(); } else { return false; } } return true; } }
