内容回顾：
1、顺序表：数组
缺点：
- 中间或头部插入删除数据需要挪动数据，效率低。
- 空间不够，需要扩容，扩容有消耗，代价大。
- 空间2倍扩容，如果数据较少，会有空间的浪费问题
优点：
- 下标随机访问数据，排序，二分查找效率高。
- CPU高速缓存命中率比较高。
2、链表：双向循环带头链表：
缺点：
- 不能下标随机访问。
- CPU高速缓存命中率比较低。
优点：
- 任意位置插入删除数据效率高
- 按需申请空间和释放空间，不存在扩容
栈和队列：
- 底层实现仍然是数组和链表
- 栈：先进后出
- 队列：先进先出
3.上述结构都是线性的数据结构，但是今天要介绍的二叉树却是非线性。
1.树概念及结构
1.1树的概念
树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因 为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。
- 有一个特殊的结点，称为根结点，根节点没有前驱结点
- 除根节点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合Ti(1<= i <= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继
- 因此，树是递归定义的。
注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构
1.2 树的相关概念
节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度； 如上图：A的为6
叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点； 如上图：B、C、H、I...等节点为叶节点
非终端节点或分支节点：度不为0的节点； 如上图：D、E、F、G...等节点为分支节点
双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点； 如上图：A是B的父节点
孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点； 如上图：B是A的孩子节点
兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点； 如上图：B、C是兄弟节点
树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度； 如上图：树的度为6
节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；
树的高度或深度：树中节点的最大层次； 如上图：树的高度为4
堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟节点
节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先
子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙
森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林；
问题：数组的下标为啥都是从0开始的。
数组在计算机内存中是一段连续的存储空间，数组的元素在内存中是依次排列的。数组名是首元素地址，a[i] == *(a+i)，当i为0的时候，也就是下标为0时，刚好是第一个元素。
1.3 树的表示
树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，既然保存值域，也要保存结点和结点之间的关系，实际中树有很多种表示方式如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法和双亲表示法。
孩子兄弟表示法：
typedef int DataType; struct Node //匿名结构体 { struct Node* _firstChild1; // 第一个孩子结点 struct Node* _pNextBrother; // 指向其下一个兄弟结点 DataType _data; // 结点中的数据域 };
双亲表示法：
对于使用仿真指针的双亲表示法，每个结点应有两个域，一个是数据域（元素域），另一个是指示其双亲结点在数组中的下标的仿真指针域。
如图8-3（a）所示是一棵树的逻辑结构，如图8-3（b）所示为使用仿真指针的双亲表示法存储结构。其中，data 域存储的是结点中的元素，parent 域存储的是指示其双亲结点在数组中的下标的仿真指针。结点A是根结点，无双亲结点，所以其parent域的值为一1；结点B的双亲结点是结点A，结点A在数组中的下标是0，所以其parent 域的值为0；其余类推。
1.4 树在实际中的运用（表示文件系统的目录树结构）
2.二叉树概念及结构
2.1概念
一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合:
- 或者为空。
- 由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成。
从上图可以看出：
- 二叉树不存在度大于2的结点。
- 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树。
注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：
2.2现实中的二叉树：
2.3 特殊的二叉树：
1. 满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K（规定根结点的层数为1），每层的结点数是2^(k-1)，且结点总数是2^k-1 ，则它就是满二叉树。
2. 完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K 的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对 应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。
2.4 二叉树的性质
1. 若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有
个结点。
2. 若规定根节点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数是
。
3. 对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为 , 度为2的分支结点个数为 ,则有
4. 若规定根节点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度，
(ps：
是log以2为底，n+1为对数)
5. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从0开始编号，则对 于序号为i的结点有：
- 若i>0，i位置节点的双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根节点编号，无双亲节点
- 若2i+1=n否则无左孩子：2i+1，2i+1>=n否则无左孩子
- 若2i+2=n否则无右孩子：2i+2，2i+2>=n否则无右孩子
1. 某二叉树共有 399 个结点，其中有 199 个度为 2 的结点，则该二叉树中的叶子结点数为（ ）
A 不存在这样的二叉树
B 200
C 198
D 199
解析：直接利用
得出叶子结点的个数为：200
2.下列数据结构中，不适合采用顺序存储结构的是（ ）
A 非完全二叉树
B 堆
C 队列
D 栈
解析：非完全二叉树存储在数组中会有空间浪费.
3.在具有 2n 个结点的完全二叉树中，叶子结点个数为（ ）
A n
B n+1
C n-1
D n/2
解析：直接利用
、
得出
，由于n1是度为1的节点，完全二叉树中度为1的节点只有1个或0个，2n是偶数，所以n1肯定是1，所以
，得出
4.一棵完全二叉树的节点数位为531个，那么这棵树的高度为（ ）
A 11
B 10
C 8
D 12
解析：完全二叉树的范围：
，即可得出答案8
5.一个具有767个节点的完全二叉树，其叶子节点个数为（）
A 383
B 384
C 385
D 386
解析：直接利用
、
得出
，由于n1是度为1的节点，完全二叉树中度为1的节点只有1个或0个，767是奇数，所以n1肯定是0，所以
，得出
2.5 二叉树的存储结构
二叉树一般可以使用两种结构存储，一种顺序结构，一种链式结构。
1. 顺序存储
顺序结构存储就是使用数组来存储，一般使用数组只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空 间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储，关于堆我们后面的章节会专门讲解。二叉树顺序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。
顺序存储访问数据规律：
//访问孩子节点 leftchild = parent*2+1 rightchild = parent*2+2 //访问父亲结点 parent = (child-1)/2
2. 链式存储
二叉树的链式存储结构是指，用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系。 通常的方法是 链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所 在的链结点的存储地址 。链式结构又分为二叉链和三叉链，当前我们学习中一般都是二叉链，后面课程 学到高阶数据结构如红黑树等会用到三叉链。
3.二叉树的顺序结构及实现
4.二叉树链式结构的实现
本章结束啦！！！
