前缀和——OJ题（一）

一、除自身以外数组的乘积

1、题目讲解

2、思路讲解

注意题⽬的要求，不能使⽤除法，并且要在 O(N) 的时间复杂度内完成该题。那么我们就不能使⽤暴⼒的解法，以及求出整个数组的乘积，然后除以单个元素的⽅法。

继续分析，根据题意，对于每⼀个位置的最终结果 ret[i] ，它是由两部分组成的：

i. nums[0] * nums[1] * nums[2] * … * nums[i - 1]

ii. nums[i + 1] * nums[i + 2] * … * nums[n - 1]

于是，我们可以利⽤前缀和的思想，使⽤两个数组 post 和 suf，分别处理出来两个信息：

i. post 表⽰：i 位置之前的所有元素，即 [0, i - 1] 区间内所有元素的前缀乘积，

ii. suf 表⽰： i 位置之后的所有元素，即 [i + 1, n - 1] 区间内所有元素的后缀乘积然后再处理最终结果。

3、代码实现

class Solution {
public:
    vector<int> productExceptSelf(vector<int>& nums) {
    int n=nums.size();
    vector<int> dp1(n),dp2(n),ret(n);
    dp1[0]=1,dp2[n-1]=1;
    for(int i=1;i<n;i++)
        dp1[i]=dp1[i-1]*nums[i-1];
    for(int i=n-2;i>=0;i--)
        dp2[i]=dp2[i+1]*nums[i+1];
    for(int i=0;i<n;i++)
        ret[i]=dp1[i]*dp2[i];
     return ret;      
    }
};

二、寻找数组的中心下标

1、题目讲解

2、思路讲解

从中⼼下标的定义可知，除中⼼下标的元素外，该元素左边的「前缀和」等于该元素右边的「后缀和」。

▪ 因此，我们可以先预处理出来两个数组，⼀个表⽰前缀和，另⼀个表⽰后缀和。

▪ 然后，我们可以⽤⼀个 for 循环枚举可能的中⼼下标，判断每⼀个位置的「前缀和」以及「后缀和」，如果⼆者相等，就返回当前下标。

3、代码实现

class Solution {
public:
    int pivotIndex(vector<int>& nums) {
        int n=nums.size();
        vector<int> dp1(n);
        vector<int> dp2(n);
        dp1[0]=0,dp2[n-1]=0;
        for(int i=1;i<n;i++)
            dp1[i]=dp1[i-1]+nums[i-1];
        for(int i=n-2;i>=0;i--)
           dp2[i]=dp2[i+1]+nums[i+1];
        int m=-1;
        for(int i=0;i<n;i++)
        {
            if(dp1[i]==dp2[i])
            {
                m=i;
                break;
            }
        }
        return m;
    }
};

三、【模板】二维前缀和

1、题目讲解

2、思路讲解

类⽐于⼀维数组的形式，如果我们能处理出来从 [0, 0] 位置到 [i, j] 位置这⽚区域内所有元素的累加和，就可以在 O(1) 的时间内，搞定矩阵内任意区域内所有元素的累加和。因此我们接下来仅需完成两步即可：

◦ 第⼀步：搞出来前缀和矩阵

这⾥就要⽤到⼀维数组⾥⾯的拓展知识，我们要在矩阵的最上⾯和最左边添加上⼀⾏和⼀列0，这样我们就可以省去⾮常多的边界条件的处理（同学们可以⾃⾏尝试直接搞出来前缀和矩阵，边界条件的处理会让你崩溃的）。处理后的矩阵就像这样：

这样，我们填写前缀和矩阵数组的时候，下标直接从 1 开始，能⼤胆使⽤ i - 1 , j - 1 位置的值。

注意 dp 表与原数组 matrix 内的元素的映射关系：

i. 从 dp 表到 matrix 矩阵，横纵坐标减⼀；

ii. 从 matrix 矩阵到 dp 表，横纵坐标加⼀。

前缀和矩阵中 sum[i][j] 的含义，以及如何递推⼆维前缀和⽅程

a. sum[i][j] 的含义：

sum[i][j] 表⽰，从 [0, 0] 位置到 [i, j] 位置这段区域内，所有元素的累加和。对应下图的红⾊区域：

a. 递推⽅程：

其实这个递推⽅程⾮常像我们⼩学做过求图形⾯积的题，我们可以将 [0, 0] 位置到 [i,j]

位置这段区域分解成下⾯的部分：

sum[i][j] = 红 + 蓝 + 绿 + ⻩，分析⼀下这四块区域：

i. ⻩⾊部分最简单，它就是数组中的 matrix[i - 1][j - 1] （注意坐标的映射关系）

ii. 单独的蓝不好求，因为它不是我们定义的状态表⽰中的区域，同理，单独的绿是；

iii. 但是如果是红 + 蓝，正好是我们 dp 数组中 sum[i - 1][j] 的值，美滋滋；

iv. 同理，如果是红 + 绿，正好是我们 dp 数组中 sum[i][j - 1] 的值；

v. 如果把上⾯求的三个值加起来，那就是⻩ + 红 + 蓝 + 红 + 绿，发现多算了⼀部分红的⾯积，因此再单独减去红的⾯积即可；

vi. 红的⾯积正好也是符合 dp 数组的定义的，即 sum[i - 1][j - 1]

综上所述，我们的递推⽅程就是：

sum[i][j]=sum[i - 1][j] + sum[i][j - 1] - sum[i - 1][j - 1]+matrix[i - 1][j - 1]

◦ 第⼆步：使⽤前缀和矩阵

题⽬的接⼝中提供的参数是原始矩阵的下标，为了避免下标映射错误，这⾥直接先把下标映射成dp 表⾥⾯对应的下标： row1++, col1++, row2++, col2++

接下来分析如何使⽤这个前缀和矩阵，如下图（注意这⾥的 row 和 col 都处理过了，对应的正是 sum 矩阵中的下标）：

对于左上⻆ (row1, col1) 、右下⻆ (row2, col2) 围成的区域，正好是红⾊的部分。因

此我们要求的就是红⾊部分的⾯积，继续分析⼏个区域：

i. ⻩⾊，能直接求出来，就是 sum[row1 - 1, col1 - 1] （为什么减⼀？因为要剔除掉 row 这⼀⾏和 col 这⼀列）

ii. 绿⾊，直接求不好求，但是和⻩⾊拼起来，正好是 sum 表内 sum[row1 - 1][col2]

的数据；

iii. 同理，蓝⾊不好求，但是 蓝 + ⻩ = sum[row2][col1 - 1] ；

iv. 再看看整个⾯积，好求嘛？⾮常好求，正好是 sum[row2][col2] ；

v. 那么，红⾊就 = 整个⾯积 - ⻩ - 绿 - 蓝，但是绿蓝不好求，我们可以这样减：整个⾯积 -（绿+ ⻩ ）-（蓝 + ⻩），这样相当于多减去了⼀个⻩，再加上即可

综上所述：红 = 整个⾯积 - （绿 + ⻩）- （蓝 + ⻩）+ ⻩，从⽽可得红⾊区域内的元素总和为：sum[row2][col2]-sum[row2][col1 - 1]-sum[row1 - 1][col2]+sum[row1 -

1][col1 - 1]

3、代码实现

#include <iostream>
#include<vector>
using namespace std;
int main() {
    int n,m,q;
    cin>>n>>m>>q;
    vector<vector<int>> arr(n+1,vector<int>(m+1));
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++)
            cin>>arr[i][j]; 
     vector<vector<long long>> dp(n+1,vector<long long>(m+1));
     for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            dp[i][j]=arr[i][j]+dp[i-1][j]+dp[i][j-1]-dp[i-1][j-1];
        }
    }
    for(int i=0;i<q;i++)
    {
        int x1,y1,x2,y2;
        cin>>x1>>y1>>x2>>y2;
        cout<<dp[x2][y2]-dp[x1-1][y2]-dp[x2][y1-1]+dp[x1-1][y1-1]<<endl; 
    }
}

四、【模板】一维前缀和

1、题目讲解

2、思路讲解

a. 先预处理出来⼀个「前缀和」数组：

⽤ dp[i] 表⽰： [1, i] 区间内所有元素的和，那么 dp[i - 1] ⾥⾯存的就是 [1, i - 1] 区间内所有元素的和，那么：可得递推公式： dp[i] = dp[i - 1] + arr[i] ；

b. 使⽤前缀和数组，「快速」求出「某⼀个区间内」所有元素的和：

当询问的区间是 [l, r] 时：区间内所有元素的和为： dp[r] - dp[l - 1] 。

3、代码实现

#include <iostream>
#include<vector>
using namespace std;
int main() 
{
    int n,q;
    cin>>n>>q;
    vector<int> v(n+1);
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>v[i];
    vector<long long> dp(n+1);
    for(int i=1;i<=n;i++)  dp[i]=dp[i-1]+v[i];
    for(int i=0;i<q;i++)
    {
        int l,r;
        cin>>l>>r;
        cout<<dp[r]-dp[l-1]<<endl;
    }   
}