本文涉及知识点
深度优先搜索(DFS) 状态压缩
题目
给你一棵 树（即，一个连通、无向且无环的图），根 节点为 0 ，由编号从 0 到 n - 1 的 n 个节点组成。这棵树用一个长度为 n 、下标从 0 开始的数组 parent 表示，其中 parent[i] 为节点 i 的父节点，由于节点 0 为根节点，所以 parent[0] == -1 。
另给你一个长度为 n 的字符串 s ，其中 s[i] 是分配给 i 和 parent[i] 之间的边的字符。s[0] 可以忽略。
找出满足 u < v ，且从 u 到 v 的路径上分配的字符可以 重新排列 形成 回文 的所有节点对 (u, v) ，并返回节点对的数目。
如果一个字符串正着读和反着读都相同，那么这个字符串就是一个 回文 。
示例 1：
输入：parent = [-1,0,0,1,1,2], s = “acaabc”
输出：8
解释：符合题目要求的节点对分别是：
- (0,1)、(0,2)、(1,3)、(1,4) 和 (2,5) ，路径上只有一个字符，满足回文定义。
- (2,3)，路径上字符形成的字符串是 “aca” ，满足回文定义。
- (1,5)，路径上字符形成的字符串是 “cac” ，满足回文定义。
- (3,5)，路径上字符形成的字符串是 “acac” ，可以重排形成回文 “acca” 。
示例 2：
输入：parent = [-1,0,0,0,0], s = “aaaaa”
输出：10
解释：任何满足 u < v 的节点对 (u,v) 都符合题目要求。
参数提示
n == parent.length == s.length
1 <= n <= 105
对于所有 i >= 1 ，0 <= parent[i] <= n - 1 均成立
parent[0] == -1
parent 表示一棵有效的树
s 仅由小写英文字母组成
解法一稍稍超时，通过不了
分析
状态压缩
排序后能构成回文，那只有两种可能，一：所有字符数量都为偶数。二，有一个字符数量为奇数，其余全部是偶数。可以用二进制状态压缩，每个二进制位表示某个字符是否为偶数。1表示z是奇数数量,2表示y是奇数数量,3表示yz都是奇数数量。
异或（^)
增加一个字符可以用异或操作，由于异或的逆操作就是自己，所以删除字符也用异或。
难理解的地方
mNums记录以下路径：
| 一 | 起点和终点都是cur的路径 |
| 二 | 起点是cur，终点是已处理子树的任意节点 |
childNums：记录以child为起点，以child为根节点的子树的任意节点为终点的路径。
下面以{-1,0,0}来说明，由于起点是固定的，所以下表只记录终点。路径指的是：以child子树中的节点为起点，以mNums中的节点为终点的路径
| mNums | childNums | 路径 | |
| 处理根节点 | {0} | {} | |
| 处理节点1 | {0} | {1} | {0,1} |
| 处理节点2 | {0,1} | {2} | {0,2},{1,2} |
| {0,1,2} |
总结：第四列的路径，就是mNums 和childNums 各取一个节点的两两组合。
注意：
一个节点没有字符，所以不是合法路径。
ChangeNum
不要枚举mNums 和childNums ，枚举其中的一个和27种合法可能。
核心代码
class Solution { public: long long countPalindromePaths(vector& parent, string s) { m_c = parent.size(); m_str = s; m_vNeiBo.assign(m_c, vector()); for (int i = 0; i < 26; i++) { m_iVilidMask[i] = 1 << i; } m_llRet = 0; int iRoot = -1; for (int i = 0; i < m_c; i++) { if (-1 == parent[i]) { iRoot = i; } else { m_vNeiBo[parent[i]].emplace_back(i); } } std::unordered_map<int, int> mNums; dfs(iRoot, mNums); return m_llRet ; } void dfs(int cur, std::unordered_map<int, int>& mNums) { const int curMask = 1 << (m_str[cur] - ‘a’); mNums[curMask]++; for (const auto& child : m_vNeiBo[cur]) { std::unordered_map<int, int> childNums; dfs(child, childNums); ChangeNum(mNums, childNums,curMask); for (const auto& it : childNums) { mNums[it.first ^ curMask] += it.second; } } } void ChangeNum(const std::unordered_map<int, int>& mNums, const std::unordered_map<int, int>& childNums, const int curMask ) { for (const auto& it : childNums) { for (int i = 0; i < 27; i++) { const int iNeedMask = it.first ^ m_iVilidMask[i] ^ curMask; if (mNums.count(iNeedMask)) { m_llRet += (long long)it.second * mNums.find(iNeedMask)->second; } } } } //状态压缩 1表示z是奇数数量,2表示y是奇数数量,3表示yz都是奇数数量 int m_iVilidMask[27] = { 0 };//记录所有字符都是偶数和只有一个字符是奇数 vector<vector> m_vNeiBo; //vector m_vNums; int m_c; long long m_llRet = 0;//不包括单节点的合法路径数 string m_str; };
测试用例
template void Assert(const vector& v1, const vector& v2) { if (v1.size() != v2.size()) { assert(false); return; } for (int i = 0; i < v1.size(); i++) { Assert(v1[i], v2[i]); } } int main() { Solution slu; vector parent; long long res; string s; parent = { -1 }; s = “a”; res = slu.countPalindromePaths(parent, s); Assert(res, 0LL); parent = { -1,0 }; s = “aa”; res = slu.countPalindromePaths(parent, s); Assert(res, 1LL); parent = { -1,0,1 }; s = “aaa”; res = slu.countPalindromePaths(parent, s); Assert(res, 3LL); parent = { -1,0,0 }; s = “aaa”; res = slu.countPalindromePaths(parent, s); Assert(res, 3LL); parent = { -1,0,0 }; s = “aba”; res = slu.countPalindromePaths(parent, s); Assert(res,2LL); parent = { -1,0,0 }; s = “baa”; res = slu.countPalindromePaths(parent, s); Assert(res, 3LL); parent = { -1,0,0,1,1,2 }; s = “acaabc”; res = slu.countPalindromePaths(parent, s); Assert(res, 8LL); parent = { -1, 0, 0, 0, 0 }; s = “aaaaa”; res = slu.countPalindromePaths(parent, s); Assert(res, 10LL);
//CConsole::Out(res);
}
解法二
分析
假定节点A,B的公共最近祖先是C，那么A到B的路径为:A->C->B和路径A->0->B的 字符数量的奇偶性相同。A->0可以拆分成A->C->0 ，0->B可以拆分成0->C->B。0到C和C到0抵消了。
### 时间复杂度
o(27n)。n是节点数量,27是合法掩码的数量。
代码
class Solution{ public: long long countPalindromePaths(vector<int>&parent, string s) { m_c = parent.size(); m_str = s; m_vNeiBo.assign(m_c, vector<int>()); for (int i = 0; i < 26; i++) { m_iVilidMask[i] = 1 << i; } m_llRet = 0; m_mMaskNums.clear(); int iRoot = -1; for (int i = 0; i < m_c; i++) { if (-1 == parent[i]) { iRoot = i; } else { m_vNeiBo[parent[i]].emplace_back(i); } } dfs(iRoot,0); return m_llRet; } void dfs(int cur,int iMask) { const int curMask = iMask ^ ( 1 << (m_str[cur] - 'a')); for (int i = 0; i < 27; i++) { const int iNeedMask = m_iVilidMask[i] ^ curMask; if (m_mMaskNums.count(iNeedMask)) { m_llRet += m_mMaskNums[iNeedMask]; } } m_mMaskNums[curMask]++; for (const auto& child : m_vNeiBo[cur]) { dfs(child, curMask); } } int m_iVilidMask[27] = { 0 };//记录所有字符都是偶数和只有一个字符是奇数 vector<vector<int>> m_vNeiBo; std::unordered_map<int,int> m_mMaskNums; int m_c; long long m_llRet = 0;//不包括单节点的合法路径数 string m_str; };
扩展阅读
视频课程
有效学习：明确的目标 及时的反馈 拉伸区（难度合适），可以先学简单的课程，请移步CSDN学院，听白银讲师（也就是鄙人）的讲解。
https://edu.csdn.net/course/detail/38771
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相关下载
想高屋建瓴的学习算法，请下载《闻缺陷则喜算法册》doc版
https://download.csdn.net/download/he_zhidan/88348653
| 鄙人想对大家说的话 |
| 闻缺陷则喜是一个美好的愿望，早发现问题，早修改问题，给老板节约钱。 |
| 墨家名称的来源：有所得以墨记之。 |
| 如果程序是一条龙，那算法就是他的是睛 |
测试环境
操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17
或者 操作系统：win10 开发环境： VS2022 C++17
