一、灰色预测模型简介
灰色预测的主要特点就是模型使用的不是原始数据列，而是生成的数据序列。其核心是灰色模型（Grey Model，GM）,即对原始数据作累加生成（累加或差分，都能弱化噪声）能得到近似指数规律再进行建模的方法。
优点：
- 所需数据少，一般只需要4个以上数据，能解决历史数据少，序列完整性和可靠性低的问题
- 利用微分方程来充分挖掘系统的本质，精度高
- 能将无规律的原始数据进行生成得到规律性较强的生成序列
- 运算简便，易于检验，不考虑分布规律，不考虑变化趋势
缺点:
只适合短期预测，只适合指数增长的预测。
二、GM(1,1)灰色模型
GM(1,1),表示模型是一阶微分方程，且只含一个变量的灰色模型。
1、GM(1,1)模型预测方法
（1）原始数据（参考列）
（2）累加生成序列（Acumulated Generating Operator,1-AGO）
其中，
显然,数列x(1)比数列x(0)光滑,弱化噪声。
（3）生成均值数列
（进一步弱化噪声）
其中
（4）建立灰微分方程
【1】
此方程白化为微分方程
【2】
【1】的来源：x(1)是x(0)的累加，反过来，x(0)就是x(1)的差分，连续化就是导数，【1】中用z(1)而不直接用x(1)，就是使数据进一步更光滑化，避免奇异值。可以利用曲线拟合来求a和b得值（就是利用最小二乘法）。用这个模型之前，最好绘制x(0),z(1)的散点图，看看大概情况。
（5）利用最小二乘估计【2】中参数a,b
【2】
的观测值序列为x(0)(k),k=2,3,…,n;
【2】中x(1)(t)的观测值为z(1)(k),k=2,3,…,n;
（5.1）
把x(0),z(1)作为【2】的因变量y和自变量x，作回归拟合，得到a，b的估计值；
（5.2）构造
根据最小二乘法，使得
达到最小的u的估计值为
求出a，b的估计值为
方程【2】变为
（6）求解方程【3】，得到预测方程
为了求【3】的特解，引入初值
确定特解。
【3】为一阶线性常系数微分方程，代入通解公式，代入定解条件，得
写成差分或者预测公式，为
【4】k=0,1,2,…,n-1,…
2、GM(1,1)模型的预测步骤
（1）数据的检验与处理
设原始数列为
计算数列的级比
若
（一个包含1的区间）
则认为原始数列适合作GM(1,1)灰色预测，否则需要对x(0)作平移：
使得数列y(0)满足级比检验。
（2）建立模型
【4】
当初始数列或平移后的数列满足级比检验后，可用结论【4】进行预测，
（3）检验预测值
（3.1）残差检验
计算残差
这里，
若
则认为预测达到一般要求；
若
则认为预测达到较高要求；
（3.2）级差比偏差检验
首先用原始数据x(0)(k),x(0)(k-1)计算级比λ(k)，再用发展系数a求出相应的级比偏差
若ρ(k)<0.2，认为预测达到一般要求；若ρ(k)<0.1，则认为预测达到较高要求。这里的a就是最小二乘估计的第一个参数，称为发展系数
（4）预测预报公式
【5】
