1. 题目分析
题目链接选自力扣 : 删除并获得点数
结合示例 1 来分析 : 由于它不是有序的, 对于我们理解实例有点不太方便, 因此我们将示例 1 排序后在来看
也就是说, 选择那个节点删除后就获得这个值对应节点数. 同时这个节点的值相邻的值不能选
2. 状态表示
这时候用用动态规划来解还是一头雾水中, 怎么就能和动态规划联系上了呢 ?
先来看这样一组示例 : 1 2 3 4 5
当我们把 1 选上后, 相邻值的 2 就要被删掉. 因此它下一个位置只能在 3 开始往后, 例如下面这样
这时候这个问题就变成了 当选中 1 以后, 相邻的不能选, 选择后面 3 ~ 5 位置的最大节点数加上 1 位置的节点数.即为最终的最大节点数.
这时候惊人的发现, 有没有很像我们的 " 打家劫舍(详细链接) " 问题 ? 相邻两个数不能偷窃, 从任意一个位置开始到结束时的最大偷窃金额.
虽然它非常接近我们的 " 打家劫舍 " , 但是此处我们的数组之间的数值不一定是连续的. 例如 : 1 1 2 2 4 4 6
此时在带入到 " 打家劫舍(详细链接) " 问题时就不合适了. 偷了 1 位置则不能偷 2 位置, 可以从 3 位置开始偷, 但这不符合我们题目的要求
这是按照 " 打家劫舍(详细链接) " 问题的思路来偷窃的. 显然是不行的, 因为题目要求选了 1 以后, 相邻数值的节点数 2 和 0 都要被删除, 应该为这样
因此, 为了解决这种情况, 我们需要将这个数组给它进行预处理, 让它变成可以使用 " 打家劫舍(详细链接) " 问题来解决的数组形式, 即:利用下标连续来对应 " 打家劫舍 " 问题的连续数组 !
创建一个数组来存储统计原数组中的相同的值. 0 下标处就统计原数组中有多少个 0, 1 下标处就统计原数组中有多少个 1, 2 下标处就统计原数组中有多少个 2 … 以此类推. 最终根据下标的连续性来进行 " 打家劫舍(详细链接) " 问题的处理.
处理后的数组我们来演示一下 :
当选择所有 1 节点数后, 所有的节点值为 0 和 2 的都要被删除. 此时选择两个 1 节点获得 2 点节点数. 下一次只能选从 4 位置开始.
在看我们的处理后的数组. 偷窃 1 号房间后, 2 号房间就不能偷了, 那么只能从 3 号房间开始偷. 但是 3 号房间不存在. 因此只能从 4 号房间开始偷. 最终的最多盗窃金额就为 nums[1] + [4-n-1] 区间内的最多盗窃金额. 就可以对应上我们的 " 打家劫舍(详细链接) " 问题了.
3. 状态转移方程
既然是一个 " 打家劫舍 " 问题. 那么就来回顾一下它的状态转移方程. 下面的盗窃金额即为题目的最大节点数 !
以 i 位置为结尾, 从任意位置开始偷窃到 i 位置时的最大盗窃金额. 即 dp[i]. 偷窃到 i 位置时, 我们还可以细分为两个状态, 也就是偷窃 i 位置的 array[i] 和 不偷窃 i 位置的 array[i]
- 偷窃到 i 位置时, 偷窃 array[i]
这种情况我们表示为 f[i]. 即从某一位置开始偷窃到 i 位置时, 并偷窃 array[i]
- 偷窃到 i 位置时, 不偷窃 array[i]
这种情况我们表示为 g[i]. 即从某一个位置开始偷窃到 i 位置时, 不偷窃 array[i]
来推导一下这两种情况下的状态转移方程.
- 偷窃到 i 位置时, 偷窃 array[i]
偷窃到 i 位置后, 选择偷窃 array[i], 那么此时 i - 1 位置是必定不能偷的. 因此最大的偷窃金额就为从任意位置起始到 i - 1 位置并且 array[i-1] 位置不偷窃. 对应到我们的状态表示则为 g[i-1], 最后在加上必偷的 array[i].
最终最大的偷窃金额为, 即状态转移方程:f[i] = g[i-1] + array[i]
- 偷窃到 i 位置时, 不偷窃 array[i]
这种情况下, 偷窃到 i 位置时, array[i] 不偷窃, 那么 i - 1 位置就有两种情况可以选
- i-1 位置偷窃 array[i-1]
这个情况下, 也就是从起始位置偷窃到 i - 1 位置, 并且偷窃 array[i-1] 正好对应到我们的状态表示中的 f[i-1]. 最大的盗窃金额即为 f[i-1]
- i-1 位置不偷窃 array[i-1]
偷窃到 i -1 位置时, 不偷窃 array[i-1], 正好对应我们的状态表示中的 g[i-1]. 最大盗窃金额即为 f[i-1]
第二种情况的状态转移方程是有两种细分的情况组成的. 最终这种情况下的最大偷窃金额为两种情况的最大值, 即状态转移方程 : g[i] = Math.max(f[i-1], g[i-1])
4. 初始化
根据两种不同转态的状态转移方程 f[i] = g[i-1] + array[i] 和 g[i] = Math.max(f[i-1], g[i-1]) 知道, 填写 g[0] 和 f[0] 时会发生越界错误. 因此这两个位置需要进行初始化.
经过分析, 当只有一个元素时, 此时有两种偷窃情况.
- 偷窃这个位置的 array[0], 最终的偷窃金额为 f[0] = array[0]
- 不偷窃这个位置的 array[0], 最终的偷窃金额为 g[0] = 0
5. 填表顺序
根据状态转移方程, 想要填写 i 位置的值, 就必须先知道前一个位置的值. 因此填表的顺序为从左往右
6. 返回值
题目要求从某一位置开始到数组末尾 n-1 位置结束时存储的最大盗窃金额. 由于存在两种状态, 因此对这两种状态的结尾值取最大值返回. Math.max(f[n-1], g[n-1])
7. 代码演示
class Solution { public int deleteAndEarn(int[] nums) { // 1. 创建 dp 表 int n = 10001; // 和预处理的数组一样大, 下标直接对应不需要考虑映射关系 int[] f = new int[n]; // 从任意位置删除到 i 位置时, 选择 nums[i]时所获得的最大节点数 int[] g = new int[n]; // 从任意位置删除到 i 位置时, 不选择 nums[i]所获得的最大节点数 // 预处理 nums 数组让其下标连续对应 "打家劫舍" 问题 int[] array = new int[n]; // 根据题目开辟足够大的空间存储 for(int x : nums) { array[x] += x; } // 2. 初始化 f[0] = array[0]; // 3. 填写 dp 表 for(int i = 1; i < n; i++) { // 根据不同的状态转移方程填写 f[i] = g[i-1] + array[i]; g[i] = Math.max(f[i-1], g[i-1]); } // 4. 确认返回值 return Math.max(f[n-1], g[n-1]); } }
