题目介绍
跳马问题是一个经典的数学问题，它涉及到一个马在棋盘上跳跃的路径规划。马在国际象棋中的走法是以字母表示，例如“D3”表示从位置D3跳到下一个位置。在跳马问题中，我们需要找到一条路径，使得马能够经过棋盘上的每个位置恰好一次。
题目解析
给定一个n x m的棋盘，我们需要找到一条路径，使得马能够从任意起始位置开始，经过每个位置恰好一次，并且最后回到起始位置。这是一个非常有趣且具挑战性的问题，它可以通过深度优先搜索（DFS）来解决。
解题思路
- 首先，我们定义一个n x m的棋盘，并用一个二维数组表示每个位置的访问情况。
- 然后，我们选择一个起始位置作为DFS的起点，并将该位置标记为已访问。
- 在DFS的过程中，我们检查当前位置的周围未访问的位置，并计算它们的可行度。
- 可行度是指该位置周围未访问的位置的数量。我们可以根据可行度对周围位置进行排序，以便选择下一步要跳到的位置。
- 选择下一步要跳到的位置后，我们进行递归调用DFS，并将该位置标记为已访问。
- 重复上述步骤，直到所有的位置都被访问过。
- 最后，我们判断最后一个位置是否能够与起始位置相连，如果可以，则说明找到了一条路径。
代码实现
def valid_moves(pos, board, visited):
# 计算当前位置的可行度
count = 0
for move in [(2, -1), (2, 1), (-2, -1), (-2, 1), (-1, 2), (-1, -2), (1, 2), (1, -2)]:
x = pos[0] + move[0]
y = pos[1] + move[1]
if 0 <= x < len(board) and 0 <= y < len(board[0]) and not visited[x][y]:
count += 1
return count
def dfs(pos, moves, board, visited):
visited[pos[0]][pos[1]] = True
moves.append(pos)
if len(moves) == len(board) * len(board[0]):
return True
next_moves = []
for move in [(2, -1), (2, 1), (-2, -1), (-2, 1), (-1, 2), (-1, -2), (1, 2), (1, -2)]:
x = pos[0] + move[0]
y = pos[1] + move[1]
if 0 <= x < len(board) and 0 <= y < len(board[0]) and not visited[x][y]:
next_moves.append((x, y))
next_moves.sort(key=lambda move: valid_moves(move, board, visited))
for move in next_moves:
if dfs(move, moves, board, visited):
return True
moves.pop()
visited[pos[0]][pos[1]] = False
return False
def solve(board):
n = len(board)
m = len(board[0])
visited = [[False for _ in range(m)] for _ in range(n)]
for i in range(n):
for j in range(m):
moves = []
if dfs((i, j), moves, board, visited):
return moves
return []
# 测试示例
board = [[0, 0, 0, 0],
[0, 0, 0, 0],
[0, 0, 0, 0]]
moves = solve(board)
for move in moves:
print(move)
解题技巧
- 在DFS的过程中，我们可以根据马在当前位置的可行度来选择下一步要跳到的位置，这样可以提高搜索效率。
- 可以使用剪枝技巧来减少不必要的搜索。例如，如果一个位置已经被访问过，我们可以直接跳过该位置，不再进行递归调用。
总结
跳马问题是一个有趣且具挑战性的问题，通过深度优先搜索算法可以解决。本文介绍了题目的背景和解析，给出了一种基于DFS的解题思路，并提供了相应的代码实现。通过合理选择下一步要跳到的位置和使用剪枝技巧，我们可以高效地找到一条满足条件的路径。
