解密经典数学问题：跳马问题的DFS解法

题目介绍

跳马问题是一个经典的数学问题，它涉及到一个马在棋盘上跳跃的路径规划。马在国际象棋中的走法是以字母表示，例如“D3”表示从位置D3跳到下一个位置。在跳马问题中，我们需要找到一条路径，使得马能够经过棋盘上的每个位置恰好一次。

题目解析

给定一个n x m的棋盘，我们需要找到一条路径，使得马能够从任意起始位置开始，经过每个位置恰好一次，并且最后回到起始位置。这是一个非常有趣且具挑战性的问题，它可以通过深度优先搜索（DFS）来解决。

解题思路

1. 首先，我们定义一个n x m的棋盘，并用一个二维数组表示每个位置的访问情况。
2. 然后，我们选择一个起始位置作为DFS的起点，并将该位置标记为已访问。
3. 在DFS的过程中，我们检查当前位置的周围未访问的位置，并计算它们的可行度。
4. 可行度是指该位置周围未访问的位置的数量。我们可以根据可行度对周围位置进行排序，以便选择下一步要跳到的位置。
5. 选择下一步要跳到的位置后，我们进行递归调用DFS，并将该位置标记为已访问。
6. 重复上述步骤，直到所有的位置都被访问过。
7. 最后，我们判断最后一个位置是否能够与起始位置相连，如果可以，则说明找到了一条路径。

代码实现

def valid_moves(pos, board, visited):
    # 计算当前位置的可行度
    count = 0
    for move in [(2, -1), (2, 1), (-2, -1), (-2, 1), (-1, 2), (-1, -2), (1, 2), (1, -2)]:
        x = pos[0] + move[0]
        y = pos[1] + move[1]
        if 0 <= x < len(board) and 0 <= y < len(board[0]) and not visited[x][y]:
            count += 1
    return count

def dfs(pos, moves, board, visited):
    visited[pos[0]][pos[1]] = True
    moves.append(pos)

    if len(moves) == len(board) * len(board[0]):
        return True

    next_moves = []
    for move in [(2, -1), (2, 1), (-2, -1), (-2, 1), (-1, 2), (-1, -2), (1, 2), (1, -2)]:
        x = pos[0] + move[0]
        y = pos[1] + move[1]
        if 0 <= x < len(board) and 0 <= y < len(board[0]) and not visited[x][y]:
            next_moves.append((x, y))

    next_moves.sort(key=lambda move: valid_moves(move, board, visited))

    for move in next_moves:
        if dfs(move, moves, board, visited):
            return True

    moves.pop()
    visited[pos[0]][pos[1]] = False
    return False

def solve(board):
    n = len(board)
    m = len(board[0])
    visited = [[False for _ in range(m)] for _ in range(n)]

    for i in range(n):
        for j in range(m):
            moves = []
            if dfs((i, j), moves, board, visited):
                return moves

    return []

# 测试示例
board = [[0, 0, 0, 0], 
         [0, 0, 0, 0],
         [0, 0, 0, 0]]
moves = solve(board)
for move in moves:
    print(move)

解题技巧

• 在DFS的过程中，我们可以根据马在当前位置的可行度来选择下一步要跳到的位置，这样可以提高搜索效率。
• 可以使用剪枝技巧来减少不必要的搜索。例如，如果一个位置已经被访问过，我们可以直接跳过该位置，不再进行递归调用。

总结

跳马问题是一个有趣且具挑战性的问题，通过深度优先搜索算法可以解决。本文介绍了题目的背景和解析，给出了一种基于DFS的解题思路，并提供了相应的代码实现。通过合理选择下一步要跳到的位置和使用剪枝技巧，我们可以高效地找到一条满足条件的路径。