前言
题目来源 ：Codeforces Round#746 (Div. 2)
链接Codeforces :
https://codeforces.com/contest/1592/problem/C
Bakry面临一个问题，但由于他懒得解决，他请求你的帮助。给你一棵有n个节点的树，第i个节点在1到n中的每一个i上都有分配给它的值ai。你想从树上删除至少1条，但最多k-1条边，这样下面的条件就成立了。对于每一个连接的组件，计算其中的节点值的位素XOR。然后，这些值对所有的连接部件都必须是相同的。
有没有可能达到这个条件呢？
输入：
每个测试包含多个测试案例。第一行包含测试用例的数量t（1≤t≤5⋅104）。测试用例的描述如下。
每个测试用例的第一行包含两个整数n和k（2≤k≤n≤105）。
每个测试用例的第二行包含n个整数a1,a2,...,an（1≤ai≤109）。
接下来n-1行的第i行包含两个整数ui和vi（1≤ui,vi≤n, ui≠vi），这意味着节点ui和vi之间有一条边。可以保证给定的图是一棵树。保证所有测试案例的n之和不超过2⋅105。
输出：
对于每个测试用例，你应该输出一个单一的字符串。如果你能根据上面写的条件删除边，则输出 "YES"（不带引号）。否则，输出"NO"（不带引号）。
你可以将 "YES "和 "NO "的每个字母以任何形式（大写或小写）打印出来。
样例
输入：
1
5 3
1 6 4 1 2
1 2
2 3
1 4
4 5
输出：
YES
问题描述
理解题意：该题题意大概是，能否通过至少1次、最多k-1次的删除操作，将给出的无向连通图G的边每次删除一条，使得删除后所组成的每组节点的异或值相等。（按照样例所示数据进行如下图分析）
提示：第一个图圆上的数字代表的是节点的编号，第二个图圆上的数字代表的是对应编号节点的节点值。
由题意可知若要解决此题必须了解异或操作的性质！
异或操作的性质：任意两个相等的值，异或操作后其值为零，即记x, y, 若x = y, 那么x ^ y = 0; 0与x的异或值为x, 记0 ^ x = x;
题意是要让分割后的每一部分异或值相等，所以可以根据异或的性质将其划分为两种情况：
1、当满足所有节点值求异或后等于0，那么该情况一定可以划分为2个相等的部分进行异或操作，故满足题意；（如下图，所有节点的异或值为0）
当异或操作进行的最后一步时，一定是2剩余两部分异或值相同才能得到最终异或值为0；删除红叉的那条边，最终两部分的异或值相等。
2、当所有节点值求异或后不等于0时，如下图所有节点的异或值为3，如果可以找出能将其划分为至少3部分，且每一部分的异或值都等于3时，那么也是满足题意的。
证明：我们可以这样来想，若最终的异或值最终为w, 那么若要满足题意，一定存在偶数组异或值相同且为w的部分，使得前面所有分割部分的异或值为0，才会使最终异或值为w.
最终分割结果
解决方案
有了以上问题的分析，可以很快得到解题思路；首先将所有节点的异或值w求出，判断其是否为w = 0，为0输出YES，反之进行上述第二种情况的判断；能否找出满足将其划分为至少3部分，且每一部分的异或值都等于w, 在此处可以采用dfs + 贪心进行判断;
具体操作：在回溯的过程中，会返回当前节点分支的异或值，若当前节点某个分支的异或值等于w时，我们可以贪心的将其边删除，该节点的余下分支(异或值不等于w的分支)再与该节点进行异或操作，每次贪心的删除一条边，我们就记录下来(这样得到的是删除边的最大条数)，最终判断一下所删除的边数是否大于等于2(是否能划分为3部分)，同时判断最后一个部分的值是否等于w或是等于0。
判断删除边是否小于k-1，通过上述操作，dfs + 贪心得到删除边数的最大条数，但还应该满足删除的最小条数小于等于k-1；因为删除后满足每一部分的异或值都相等，所以可以取奇数个相同的部分进行合并，求异或值还是等于自身；
例如：3 3 3 对其合 3 ^ 3 ^ 3 = 3 ；
代码
#include <iostream> #include <algorithm> #include <cstring> #include <vector> #include <queue> #include <unordered_map> using namespace std; typedef long long LL; const int N = 200010, INF = 0x3f3f3f3f; int a[N], b[N], nums;
unordered_map<int, vector<int>> mp;
int dfs(int val, int p, int w){ int t = a[val]; for(int x: mp[val]){ if (x != p) { int k = dfs(x, val, w); if (k == w) { nums ++; } else t = t ^ k; } } return t; } int main(){ int t; cin >> t; while(t --){ int n, k; scanf("%d%d", &n, &k); int t = 0; for (int i = 1; i <= n; i ++){ scanf("%d", &a[i]); t = t ^ a[i]; } mp.clear(); nums = 0; for (int i = 0; i < n - 1; i ++){ int u, v; scanf("%d%d", &u, &v); mp[u].push_back(v); mp[v].push_back(u); } if (t == 0) printf("%s\n","YES"); else { int p = dfs(1, -1, t); if (k > 2 && nums >= 2 && (nums/3 + nums % 3) <= k && (p == t || p == 0)) printf("%s\n","YES"); else printf("%s\n", "NO"); } } return 0; } |
结语
本篇题解为codeforces网站上的Codeforces Round#746 (Div. 2) C题，解决方法是dfs + 贪心，最后将其限制条件进行判断，得到最终的答案；希望本文对读者有所帮助。
