13.1.概述
最小生成树，包含图的所有顶点的一棵树，树的边采用包含在图中的原有边中权重和最小的边。翻译成人话就是遍历一遍全图所有顶点的最短路径，这条路径就叫最小生成树。
最小生成树存在和图是连通图互为充要条件，顶点都不连通，肯定不可能有路能遍历一遍全图。
求解最小生成树有两种常用算法：
- prim算法
- kruskal算法
13.2.prim算法
13.2.1.概述
prim算法和Dijkstra算法过程很像，区别在于Dijkstra算法中dist为当前节点到根节点的距离，prim算法中dist为当前节点到树的距离。Dijkstra算法每次是将离根节点最近的节点纳入，prim每次是将离树最近的节点纳入。
Dijkstra算法可以参考博主的上篇文章：数据结构（12）Dijkstra算法JAVA版：图的最短路径问题__BugMan的博客-CSDN博客
13.2.2.代码实现
以遍历下图为例：
public class prim { static int[][] graph; static int[] dist; static int[] path=new int[7]; static boolean[] isUsed=new boolean[7]; static { graph=new int[][]{ {0,1,4,3,0,0,0}, {1,0,3,0,0,0,0}, {4,3,0,2,1,5,0}, {3,0,2,0,2,0,0}, {0,0,1,2,0,0,0}, {0,0,5,0,0,0,2}, {0,0,0,0,0,2,0} }; dist=new int[]{Integer.MAX_VALUE,Integer.MAX_VALUE,Integer.MAX_VALUE,Integer.MAX_VALUE,Integer.MAX_VALUE,Integer.MAX_VALUE,Integer.MAX_VALUE}; } public static void prim(){ while(true){ //判断节点是否已经全部纳入 if(isOver()){ break; } //寻找未纳入的节点中距离树最近的节点 int i=findRecently(); //设置为已遍历状态 isUsed[i]=true; //遍历该节点邻接节点 for (int j=0;j<graph[i].length;j++) { if(graph[i][j]!=0&&isUsed[j]==false){ //更新邻接节点的dist、path flashDistAndPath(i,j); } } } } public static int findRecently(){ int min=Integer.MAX_VALUE; int index=-1; for(int i=0;i<dist.length;i++){ if(min>dist[i]&&isUsed[i]==false){ min=dist[i]; index=i; } } return index; } public static void flashDistAndPath(int i,int j){ if (graph[i][j] < dist[j]) { dist[j] = graph[i][j]; path[j] = i; } } public static boolean isOver(){ int trues=0; for (boolean isused:isUsed) { if(isused==true){ trues++; } } if(trues==dist.length){ return true; } return false; } public static void main(String[] args) { isUsed[0]=true; dist[1]=1; path[1]=0; prim(); for (int i=0;i<dist.length;i++){ System.out.println(dist[i]); } } }
13.3.kruskal算法
13.3.1.概述
kruskal算法，将森林合并成树，过程即使用贪心思想每次将不构成回路的最短边纳入。最后就是将一棵棵小树树组成的森林合成一课大树，即最小生成树。
为什么不构成回路喃，构成回路一定不会是最短路径，这个自行画图思考一下就能明白，或者参照下面例子也能理解。
以下图为例展示kruskal算法的全过程：
先将最小的边（权重为1）的纳入森林：
接下来将剩余最小的边（权重为2）纳入森林：
接下来将剩下最小的边（权重为4）纳入森林，不能纳入权重为3的边，因为纳入后会构成回路。有一条权重为4的边也因为纳入后会构成回路所以不能纳入森林：
这里就可以思考一下如果将构成回路的边纳入森林，会产生什么情况。
同理权重为5的边不能纳入，应该纳入权重为6的边，完成将每个节点纳入树，生成最小生成树：
13.3.2.代码实现
kruskal的实现偷个懒了，引用站内其他博主的实现：
原文链接：https://blog.csdn.net/weixin_48544279/article/details/126843851
（主要是当时想着kruskal的实现过程不复杂，就偷懒没留下自己的实现代码。哈哈哈~）
private int edgeNum; //边的个数 private char[] vertexs; //顶点数组 private int[][] matrix; //邻接矩阵 //使用 INF 表示两个顶点不能连通 private static final int INF = Integer.MAX_VALUE; public static void main(String[] args) { //创建顶点数组 char[] vertexs = {'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G'}; //图的邻接矩阵（二维数组） int matrix[][] = { /*A*//*B*//*C*//*D*//*E*//*F*//*G*/ /*A*/ { 0, 12, INF, INF, INF, 16, 14}, /*B*/ { 12, 0, 10, INF, INF, 7, INF}, /*C*/ { INF, 10, 0, 3, 5, 6, INF}, /*D*/ { INF, INF, 3, 0, 4, INF, INF}, /*E*/ { INF, INF, 5, 4, 0, 2, 8}, /*F*/ { 16, 7, 6, INF, 2, 0, 9}, /*G*/ { 14, INF, INF, INF, 8, 9, 0}}; //大家可以在去测试其它的邻接矩阵，结果都可以得到最小生成树. //创建KruskalCase 对象实例 KruskalCase kruskalCase = new KruskalCase(vertexs, matrix); kruskalCase.kruskal(); } //构造器 public KruskalCase(char[] vertexs, int[][] matrix) { //初始化顶点数和边的个数 int vlen = vertexs.length; //初始化顶点, 复制拷贝的方式 this.vertexs = new char[vlen]; for(int i = 0; i < vertexs.length; i++) { this.vertexs[i] = vertexs[i]; } //初始化边, 使用的是复制拷贝的方式 this.matrix = new int[vlen][vlen]; for(int i = 0; i < vlen; i++) { for(int j= 0; j < vlen; j++) { this.matrix[i][j] = matrix[i][j]; } } //统计边的条数 for(int i =0; i < vlen; i++) { for(int j = i+1; j < vlen; j++) { if(this.matrix[i][j] != INF) { edgeNum++; } } } } public void kruskal() { int index = 0; //表示最后结果数组的索引 //用于保存"已有最小生成树" 中的每个顶点在最小生成树中的终点 //用来判断是否出现回路 int[] ends = new int[edgeNum]; //创建结果数组, 保存最后的最小生成树 EData[] rets = new EData[edgeNum]; //统计最小生成树的总权值 int totalWeight = 0; //获取图中 所有的边的集合 ， 一共有12边 EData[] edges = getEdges(); System.out.println("图的边的集合=" + Arrays.toString(edges) + " 共"+ edges.length); //12 //按照边的权值大小进行排序(从小到大) sortEdges(edges); //遍历edges 数组，将边添加到最小生成树中时，判断是准备加入的边否形成了回路，如果没有，就加入 rets, 否则不能加入 for(int i=0; i < edgeNum; i++) { //获取到第i条边的第一个顶点(起点) int p1 = getPosition(edges[i].start); //获取到第i条边的第2个顶点 int p2 = getPosition(edges[i].end); //获取p1这个顶点在已有最小生成树中的终点 int m = getEnd(ends, p1); //获取p2这个顶点在已有最小生成树中的终点 int n = getEnd(ends, p2); //是否构成回路 if(m != n) { //没有构成回路 ends[m] = n; // 设置m 在"已有最小生成树"中的终点 rets[index++] = edges[i]; //有一条边加入到rets数组 } } //<E,F> <C,D> <D,E> <B,F> <E,G> <A,B>。 //统计并打印 "最小生成树", 输出 rets System.out.println("最小生成树为"); for(int i = 0; i < index; i++) { System.out.println(rets[i]); totalWeight += rets[i].weight; } System.out.println("最小生成树的权值为：" + totalWeight); } /** * 功能：对边进行排序处理, 冒泡排序 * @param edges 边的集合 */ private void sortEdges(EData[] edges) { for(int i = 0; i < edges.length - 1; i++) { for(int j = 0; j < edges.length - 1 - i; j++) { if(edges[j].weight > edges[j+1].weight) {//交换 EData tmp = edges[j]; edges[j] = edges[j+1]; edges[j+1] = tmp; } } } } /** * * @param ch 顶点的值，比如'A','B' * @return 返回ch顶点对应的下标，如果找不到，返回-1 */ private int getPosition(char ch) { for(int i = 0; i < vertexs.length; i++) { if(vertexs[i] == ch) {//找到 return i; } } //找不到,返回-1 return -1; } /** * 功能: 获取图中边，放到EData[] 数组中，后面我们需要遍历该数组 * 是通过matrix 邻接矩阵来获取 * EData[] 形式 [['A','B', 12], ['B','F',7], .....] * @return */ private EData[] getEdges() { int index = 0; //创建edges数组保存图的边 EData[] edges = new EData[edgeNum]; for(int i = 0; i < vertexs.length; i++) { //本来j应该从i开始遍历，但是顶点自身的邻接矩阵的位置为0 for(int j=i+1; j <vertexs.length; j++) {//把自身为0的情况也排除，所以j = i + 1开始 if(matrix[i][j] != INF) { //不是无穷大，说明i j 两个顶点之间有边 //把边加入到edges数组中 edges[index++] = new EData(vertexs[i], vertexs[j], matrix[i][j]); } } } return edges; } /** * 功能: 获取下标为i的顶点的终点(), 用于后面判断两个顶点的终点是否相同 * @param ends ： 数组就是记录了各个顶点对应的终点是哪个,ends 数组是在遍历过程中，逐步形成 * @param i : 表示传入的顶点对应的下标 * @return 返回的就是 下标为i的这个顶点对应的终点的下标, 一会回头还有来理解 */ private int getEnd(int[] ends, int i) { // i = 4 [0,0,0,0,5,0,0,0,0,0,0,0] while(ends[i] != 0) { i = ends[i]; } return i; } } //创建一个类EData ，它的对象实例就表示一条边 class EData { char start; //边的一个点 char end; //边的另外一个点 int weight; //边的权值 //构造器 public EData(char start, char end, int weight) { this.start = start; this.end = end; this.weight = weight; } //重写toString, 便于输出边信息 @Override public String toString() { return "边 <" + start + ", " + end + "> 权值为= " + weight + ""; } }
