3、⛺哈塞图（Hasse Diagrams）
**定义：**哈塞（Hasse） 图是偏序的一种可视化表示，它省略了由于自反性和传递性而必须出现的边
构造哈塞图
偏序如上图 (a) 所示
构造Hasse图的步骤：
① 移走 由于自反性而产生的 环（ 如图 b））
② 移走 由于由于传递性而必须出现的 边（ 如图c））
③最后，排列每条边使得它的 起点在终点的下面
覆盖
设 ( S， ≼ ) 是一个偏序集。若x ≺ y且不存在元素z∈S使得x ≺ z ≺ y，则称元素y∈S 覆盖 元素x∈S。
y 覆盖 x 的有序对 (x，y) 的集合称为(S， ≼ )的 覆盖关系
对应到Hasse图，即上下直接相邻连接的两个元素有覆盖关系
从对偏序集的哈塞图的描述中，我们可以看出，在(S，≤)的哈塞图中的边是指向上面的边并且与(S，≤)的覆盖关系中的有序对相对应。而且，我们可以从偏序集的覆盖关系中得到这个偏序集，因为它是它的覆盖关系的传递闭包的自反闭包。
这就告诉我们，可以从哈塞图中构造一个偏序
4、⛺偏序集上的特殊元素
极大元、极小元
极大元：假设a为极大元，则任取与a具有关系R的元素x，都有xRa.（也就是说：并不是A中的任意元素都与a有关系R，这就是最大元与极大元的区别）
极小元：假设a为极小元，则任取与a具有关系R的元素x，都有aRx.
最大元、最小元
论最大元、最小元，前提是可比！！！
最大元：偏序集中存在一个元素大于每个其他的元素。这样的元素称为最大元
（ 假设a为最大元，则在集合A中，任取元素x，都有xRa ）
最小元：类似地，一个元素称为最小元，当它小于偏序集的所有其他元素。
（ 假设a为最小元，则在集合A中，任取元素x，都有aRx ）
最大元、最小元是唯一的，极大元与极小元不唯一
上确界、下确界
A是一个偏序集，B包含于A，在哈斯图中，求B的上界、上确界，下界、下确界：
y 比 B 中所有的元素都要大，称y是B的上界。上界中最小的叫做上确界
y 比 B 中所有的元素都要小，称y是B的下界。下界中最大的叫做下确界
从哈斯图上看出 上界、上确界、下界、下确界的方法：
在A的哈斯图中，标出子集B中的结点，
则不低于(不高于)其中最高结点(最低结点)并有与它们均相连且只通过下方( 上方)直线相连 (包括环) 的结点都为B的上界(下界)；
在上界集(下界集)中距B中最高结点(最低结点)路径最短的结点是上确界(下确界)
例：
集合 A = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 9 , 10 , 15 }，
（A，|）是一个偏序集，在哈斯图中，求A的上界、上确界，下界、下确界
🔴解：
A不存在上界，当然也不存在上确界；
1 比 A 中所有的元素都要小，所以 1 是 A 的下界，也是下确界
在Hasse图中看最大元、最小元、极小元、极大元
从哈斯图上看出 最大元、最小元、极小元、极大元的方法：
（以下均就A是一个偏序集而言，B包含于A，求B中的极大元、极小元、最大元、最小元）
(1)极大元：在B的哈斯图中每一个 孤立结点 或 只有下方连线的结点 是B的极大元。
(2)极小元：在B的哈斯图中每一个 孤立结点 或 只有上方连线的结点 是B的极小元。
(3)最大元和最小元：首先找出B的极大元和极小元 → 若极大元或极小元只有一个，则这个极大元或极小元就是B的最大元或最小元；若不止一个，则B的最大元或最小元不存在。
例1：偏序集 ( { 2，4，5，10，12，20，25 } ，| ) 中的哪些元素是极大元，哪些是极小元？
🔴解：
画出这个偏序集的哈塞图（如图），显示了极大元是12，20，25；极小元是2，5
（没有最大元、最小元）
例2：
a) 没有最大元，有最小元a
b）都没有
c) 最大元d，没有最小元
d)最大元是d，最小元是a
5、⛺格（Lattices）
如果一个偏序集的每对元素都有最小上界和最大下界，则称这个偏序集为格
a)、c)每对元素都有最小上界和最大下界，比较好判断
对于b)：
b）所示的Hasse图表示的偏序不是格，因为元素b和c没有最小上界（b，c有上界d和e，但是d、e不可比，无法确定d e哪个最小 ）
（书上的几个例题：）
