前言

上一篇文章对 map/multimap/set/multiset 进行了简单的介绍，在其文档介绍中发现，这几个容器有个共同点是：其底层都是按照二叉搜索树来实现的，但是二叉搜索树有其自身的缺陷，假如往树中插入的元素有序或者接近有序，二叉搜索树就会退化成单支树，时间复杂度会退化成 O(N) ，因此map 、 set 等关联式容器的底层结构是对二叉树进行了平衡处理，即采用平衡树来实现。

AVL树的概念：

二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。因此，两位俄罗斯的数学家 G.M.Adelson-Velskii和 E.M.Landis 在 1962 年发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过 1( 需要对树中的结点进行调整 ) ，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。

一棵 AVL 树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树：

它的左右子树都是 AVL 树左右子树高度之差 ( 简称平衡因子 ) 的绝对值不超过 1(-1/0/1）如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，它就是 AVL 树。如果它有 n 个结点，其高度可保持在O(logN)，搜索时间复杂度O(logN).

一、AVL树的实现

首先我们直接实现KV结构的AVL树，因为如果KV结构的树都会了那么在写K的就很简单了，只需要在KV结构上修改一些值即可。

要注意：AVL数相比原先的二叉搜索树多了一个平衡因子，只有平衡因子的绝对值不超过1或者小于-1才是AVL树，如下图所示：

这里默认是新增节点在右树平衡因子就+1，新增节点在左树平衡因子就-1，这里为什么让AVL树的高度差不超过1呢，因为没有办法让一颗二叉搜索树完全平衡。注意：AVL树不一定有平衡因子，使用平衡因子只是一种实现方式。

下面我们先创建树的节点：

为了避免冲突，我们将我们写的树放在命名空间中：

template<class K,class V>
  struct AVLTreeNode
  {
  AVLTreeNode<K, V>* _left;
  AVLTreeNode<K, V>* _right;
  AVLTreeNode<K, V>* _parent;
  pair<K, V> _kv;
  int _bf;   
  AVLTreeNode(const pair<K,V>& kv)
    :_left(nullptr)
    ,_right(nullptr)
    ,_parent(nullptr)
    ,_kv(kv)
    ,_bf(0)
  {
  }
  };

首先我们相比二叉平衡树不一样的地方在于我们需要加入一个parent指针，这个指针用来记录每个节点的父节点，因为后期调整平衡因子需要从新增节点往上查找。然后就是我们在map中见到的键值对pair了，同时还有一个变量是平衡因子。然后我们给树的节点写一个构造函数，在构造函数中我们的参数为pair，然后在初始化列表中将left,right,parent指针初始化为nullptr，然后将节点中的键值对用参数初始化，并且每个新节点的平衡因子都是0.

下面我们实现AVL树的主体：

template<class K,class V>
  class AVLTree
  {
  typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
  public:
    private:
  Node* _root = nullptr;
  };

我们将AVL树的节点typedef一下，这样在后面的使用会更方便，然后树中有一个根节点，我们给一个缺省参数让根节点为空，下面我们就实现AVL树的插入，插入的前面和二叉搜索树一样，下面的代码我先放出来：

bool insert(const pair<K, V>& kv)
  {
    if (_root == nullptr)
    {
    _root = new Node(kv);
    return true;
    }
    Node* parent = nullptr;
    Node* cur = _root;
    while (cur)
    {
    if (cur->_kv.first < kv.first)
    {
      parent = cur;
      cur = cur->_right;
    }
    else if (cur->_kv.first > kv.first)
    {
      parent = cur;
      cur = cur->_left;
    }
    else
    {
      return false;
    }
    }
    cur = new Node(kv);
    if (parent->_kv.first < kv.first)
    {
    parent->_right = cur;
    }
    else
    {
    parent->_left = cur;
    }
    cur->_parent = parent;
    //开始控制平衡因子
    while (parent)
    {
    if (parent->_left == cur)
    {
      parent->_bf--;
    }
    else if (parent->_right == cur)
    {
      parent->_bf++;
    }
    if (parent->_bf == 0)
    {
      //已经平衡了
      break;
    }
    else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
    {
      //需要继续向上调节
      parent = parent->_parent;
      cur = cur->_parent;
    }
    else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
    {
      //需要旋转控制，旋转的目的是降低高度+平衡，所以旋转完毕后退出循环。
      //首先是单纯右边高，需要左单旋
      if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)
      {
      RotateL(parent);
      }
      //如果是单纯左边高，需要右单旋
      else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)
      {
      RotateR(parent);
      }
      //如果是整体左边高，并且左边的第一个节点的右子树高，就需要先左单旋，再右单旋
      else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)
      {
      RotateLR(parent);
      }
      //如果整体右边高，但是右边第一个节点的左边高，就需要先右单旋，再左单旋
      else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)
      {
      RotateRL(parent);
      }
      else
      {
      assert(false);
      }
      //当任何一个旋转结束了当前树都会平衡，所以需要直接退出循环
      break;
    }
    else
    {
      assert(false);
    }
    }
    return true;
  }

上面是AVL树的插入实现，下面我们一点一点代码慢慢讲解：

bool insert(const pair<K, V>& kv)
  {
    if (_root == nullptr)
    {
    _root = new Node(kv);
    return true;
    }
    Node* parent = nullptr;
    Node* cur = _root;
    while (cur)
    {
    if (cur->_kv.first < kv.first)
    {
      parent = cur;
      cur = cur->_right;
    }
    else if (cur->_kv.first > kv.first)
    {
      parent = cur;
      cur = cur->_left;
    }
    else
    {
      return false;
    }
    }
    cur = new Node(kv);
    if (parent->_kv.first < kv.first)
    {
    parent->_right = cur;
    }
    else
    {
    parent->_left = cur;
    }

首先和我们实现二叉搜索树一样，先判断根节点是否为空，如果根节点为空则需要直接将新增的节点给根节点，然后返回true即可。接下来需要一个用于遍历的节点cur和parent节点，因为我们在遍历的时候最后cur会变成空指针，这个时候cur已经失效了即使让cur开一个新节点也没法链接到cur的父节点，所以我们需要一个parent节点来记录遍历的那个节点的父节点。接下来就是二叉搜索树的正常步骤，如果要插入的元素比当前节点的元素大就去当前节点的右子树寻找，如果要插入的元素比当前节点的元素小就去当前节点的左子树找，如果碰到相同元素我们就返回false，当出循环后我们让cur指向新节点，并且判断要插入的节点是在父节点的左边还是右边，以上都是二叉搜索树的内容，下面我们进入AVL树的内容：

while (parent)
    {
    if (parent->_left == cur)
    {
      parent->_bf--;
    }
    else if (parent->_right == cur)
    {
      parent->_bf++;
    }
    if (parent->_bf == 0)
    {
      //已经平衡了
      break;
    }
    else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
    {
      //需要继续向上调节
      parent = parent->_parent;
      cur = cur->_parent;
    }

首先我们控制平衡因子必须以parent节点作为循环条件，因为在从新增节点到节点的祖先的遍历中parent节点最先有可能变成nullptr(走到根节点就变成了nullptr).下面我们用图进行讲解：

由于新增节点的位置不同所以平衡因子的改变也不同，就比如上图中有的节点平衡因子变成了2已经不平衡了，有的平衡因子变成了0变的平衡了，那么如何改变平衡因子呢，下面我们给出结果：

1.如果我们新增的节点是父节点的左子树，那么父节点的平衡因子就-1，如果我们新增的节点是父节点的右子树，那么父节点的平衡因子就+1.

2.如果我们的父节点的平衡因子由于新增节点变成0了，这就说明原先这个父节点是不平衡的，新增节点后变的平衡了这个时候满足AVL树的要求。如第二种图。

3.如果我们的父节点的平衡因子由于新增节点变成1或者-1了，这就说明原先这个父节点是0也就是平衡的，经过新增节点后才变的不平衡，但是这个时候的父节点高度差没有超过1所以当前这个父节点不需要管了，我们要去这个父节点的父节点查看平衡因子是否满足要求，只有当某个祖先的平衡因子变成2或者-2这个时候就需要通过旋转使这棵树更加的平衡。就如第一张图一样，新增节点插入后9的平衡因子满足要求，但是8的平衡因子不满足要求了所以需要调整。

知道了以上三点大家应该就可以看懂代码了，当新增节点为父节点的左边我们就让父节点的平衡因子-1，当新增节点为父节点的右边我们就让父节点的平衡因子+1.修改为当前平衡因子后我们需要考虑向上更新平衡因子，当新增后父节点的平衡因子为0时我们就不需要调整了直接退出循环即可，当新增后父节点的平衡因子为1或者-1时，我们就需要往上继续更新平衡因子，继续看下面的代码：

else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
    {
      //需要旋转控制，旋转的目的是降低高度+平衡，所以旋转完毕后退出循环。
      //首先是单纯右边高，需要左单旋
      if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)
      {
      RotateL(parent);
      }
      //如果是单纯左边高，需要右单旋
      else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)
      {
      RotateR(parent);
      }
      //如果是整体左边高，并且左边的第一个节点的右子树高，就需要先左单旋，再右单旋
      else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)
      {
      RotateLR(parent);
      }
      //如果整体右边高，但是右边第一个节点的左边高，就需要先右单旋，再左单旋
      else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)
      {
      RotateRL(parent);
      }
      else
      {
      assert(false);
      }
      //当任何一个旋转结束了当前树都会平衡，所以需要直接退出循环
      break;
    }
    else
    {
      assert(false);
    }

当新增后平衡因子为2或者为-2时，我们就需要旋转控制了，下面我们讲解四种旋转的方式：

第一种：当新增节点后这棵树的纯粹的右边的高度高于左边的高度时，需要左单旋（就是将右边高的节点旋转到左边）：

如上图所示，首先我们要明白左单旋的意义，左单旋就是为了降低高度并且让树变的平衡，比如上图中把30这个根节点放到60的左边就会降低一层的高度，那么为了将30变成60的子树必须让30及30的所有子树都小于60才可以，所有选择让60的左树去当30的右树（因为60的左树一定是小于60大于30的，为了放入60的左树正好满足小于60的要求），然后再将修改后的30这棵树放到60的左边。理解了如何单旋后我们看当上图中h等于0时新增1节点在哪个位置一定会引发旋转，并且旋转后一定能降低高度，经过画图得知只有新增节点在C的位置才一定会引发旋转并且旋转一定可以降低高度，这也验证了我们上面所说的只有纯粹的右边高度高时才需要左单旋，当h==0,新增节点在60的左边这个时候60的平衡因子为-1说明60的左边高度高，所以不满足我们的要求旋转后也没有降低高度。当h==0新增节点在60的右边这个时候60的平衡因子为1,30的平衡因子为2满足我们的要求，旋转后也成功降低了高度。

下面我们看看当h==1的情况：

当h==1时我们同样在C的位置插入，不管插入到C的左子树还是右子树，根节点的平衡因子都为2并且根节点的右子树的平衡因子都为1，所以在C的位置插入节点都会引发旋转。

下面我们看h==2的情况：

下面是在C的任意位置插入都会引发旋转的图：

我们可以看到不管在C的哪个位置插入，最终根节点的平衡因子都是2，根节点右边的平衡因子都是1，有了上面的图相信大家知道了左单旋以及左单旋的条件，只有当父节点的平衡因子为2并且cur的平衡因子为1才会左单旋，因为这样的数是纯粹的右边高度高。下面是左单旋的代码：

void RotateL(Node* parent)
  {
    Node* subR = parent->_right;
    Node* subRL = subR->_left;
    Node* ppnode = parent->_parent;
    parent->_right = subRL;
    if (subRL)
    {
    subRL->_parent = parent;
    }
    subR->_left = parent;
    parent->_parent = subR;
    if (ppnode == nullptr)
    {
    _root = subR;
    _root->_parent = nullptr;
    }
    else
    {
    if (ppnode->_left == parent)
    {
      ppnode->_left = subR;
    }
    else
    {
      ppnode->_right = subR;
    }
    subR->_parent = ppnode;
    }
    parent->_bf = subR->_bf = 0;
  }

要看上面的代码我们单独画一张左单旋的图为例：

以上图为例，我们需要保存父节点的右边节点以及父节点右边节点的左边节点，我们将父节点的右边节点记录为subR,将fsubR的左边节点记录为subRL,然后我们还需要保存父节点的父节点，因为有可能我们旋转的不是一整颗树，而是一棵树的一个子树，我们先让父节点的右边连接上subRL,因为有可能subRL这个节点是空，所以我们需要先判断subRL不为空然后让subRL的父节点连接到parent上，然后再将subR的左边连接parent，同样将parent的父节点连接到subR,这里就体现了我们提前保存父节点的父节点的好处（因为parent的父节点变了）。这个时候我们就该判断ppnode是否为空了，如果ppnode为空就说明subR就是根节点了，如果不为空说明我们旋转的只是一颗子树，我们需要判断ppnode的哪边链接着以前的父节点，然后将subR正确链接，同时在最后我们还需要将subR链接到ppnode上，这样就完成了旋转，因为旋转后parent和subR的平衡因子都变成0了，所以我们记得将这两个的平衡因子改为0.

下面是右单旋的图，右单旋大体与左单旋一模一样，只不过右单旋是纯粹的左边高度高才会右单旋，并且右单旋的条件为parent的平衡因子为-2，cur的平衡因子为-1：

右单旋一定是在b的位置插入才会一定引发旋转，下面看代码：

void RotateR(Node* parent)
  {
    Node* subL = parent->_left;
    Node* subLR = subL->_right;
    Node* ppnode = parent->_parent;
    parent->_left = subLR;
    if (subLR)
    {
    subLR->_parent = parent;
    }
    subL->_right = parent;
    parent->_parent = subL;
    if (ppnode == nullptr)
    {
    _root = subL;
    _root->_parent = nullptr;
    }
    else
    {
    if (ppnode->_left == parent)
    {
      ppnode->_left = subL;
    }
    else
    {
      ppnode->_right = subL;
    }
    subL->_parent = ppnode;
    }
    parent->_bf = subL->_bf = 0;
  }