01、GCD定义

整数a和b的最大公因数是指能同时整除a和b的最大整数，记为gcd(a, b)。

例如：gcd(15, 81) = 3，gcd(0, 44) = 44，gcd(0, 0) = 0，gcd(-6, -15) = 3，gcd(-17，289) = 17。

注意：由于-a的因子和a的因子相同，因此gcd(a, b) = gcd(|a|, |b|)。编码时只需要关注正整数的最大公因数。

02、GCD性质

（1）gcd(a,b) = gcd(a, a+b) = gcd(a, ka+b)

（2）gcd(ka, kb) = k·gcd(a, b)

（3）定义多个整数的最大公约数：gcd(a, b, c) = gcd(gcd(a, b), c)

（4）若gcd(a, b) = d，则gcd(a/d, b/d) = 1，即a/d与b/d互素。这个定理很重要。

（5）gcd(a+cb, b) = gcd(a, b)

03、GCD编码

编程时可以直接用c++函数std::__gcd(a, b)。注意：参数a和b都应该是正整数，否则可能会返回负数。

下面介绍三种算法。

3.1 欧几里得算法

用辗转相除法求gcd，即gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)。代码是：

int gcd(int a, int b){  // 一般要求a>=0, b>0。若a=b=0，代码也正确，返回0
    return b? gcd(b, a%b):a;
}

这是竞赛中最常用的编码，它极为高效，“拉梅定理”给出了复杂度分析。

拉梅定理：用欧几里得算法计算两个正整数的最大公因数，需要的除法次数不会超过两个整数中较小的那个十进制数的位数的5倍。

推论：用欧几里得算法求gcd(a, b)，a > b，需要次位运算。
欧几里得算法的缺点是需要

做取模运算，而高精度的除法取模比较耗时，此时可以用“更相减损术”，它只用到了减法。

3.2 更相减损术

计算基于这一性质：gcd(a, b) = gcd(b, a-b) = gcd(a, a-b)。

[欧几里得《几何原本》是公元前三世纪的著作，中国《九章算术》成于公元一世纪，流行本是三世纪刘徽的注本，都非常古老。]

计算步骤：用较大的数减较小的数，把所得的差与较小的数比较，然后继续做减法操作，直到减数和差相等为止。

编码也很简单：

int gcd(int a, int b){
   while(a != b){
       if(a > b)  a = a - b;
       else       b = b - a;
   }
   return a;
}

更相减损术虽然避免了欧几里得的取模计算，但是计算次数比欧几里得算法多很多，极端情况下需要计算

次，例如a = 100，b = 1时，需计算100次。

3.3 Stein算法

它是更相减损术的改进，用位运算进行了优化。这里不做解析，请自己了解。

读者可以用下面这一题练习高精度大数的计算和Stein算法，类似的题有hdu 5050。

SuperGCD 洛谷 P2152题目描述：求2个正整数a，b的最大公约数，0 < a, b ≤ 10的10000次方 。

不过，由于OJ都支持java，比赛的时候直接用java函数处理大数是最简单的：

import java.math.*;
import java.util.*;
public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner in = new Scanner(System.in);
        BigInteger a = in.nextBigInteger();
        BigInteger b = in.nextBigInteger();
        System.out.println(a.gcd(b));
    }
}

04、LCM

a和b的最小公倍数lcm(a, b)，可以从算术基本定理推理得到。
算术基本定理（唯一分解定理）：任何大于1的正整数n都可以唯一分解为有限个素数的乘积：
，其中

都是正整数，

都是素数且从小到大。
设：

那么：

推出：

注意先做除法再做乘法，如果先做乘法可能会溢出。

int lcm(int a, int b){ 
    return a / gcd(a, b) * b;
}

05、例题

（1）hdu 5019
题目描述：给出整数x、y、k，求x、y的第k大公约数。
题解：先求最大公因数d = gcd(x, y)，由于其他公因子都是d的因子，那么从1到sqrt(d)（注意不需要到d）逐个检查是否能整除d，即可找到所有公因子。

（2）hdu 2503
题目描述：给出2个分数a/b和c/d，求a/b + c/d，要求是最简形式。
题解：a/b + c/d = (ad + bc) / bd，分子和分母除以两者的最大公约数。

（3）hdu 2504
题目描述：已知a和b，求满足gcd(a,c) = b的最小的c。
题解：暴力搜b到a*b内符合条件的c。

（4）hdu 4497
题目描述：给定两个正整数G、L，问满足gcd(x, y, z) = G和lcm(x, y, z) = L的(x, y, z)有多少个？注意，(1, 2, 3)和(1, 3, 2)是不同的。
题解。此题利用了GCD的几个性质：
1）若gcd(a, b) = d，则gcd(a/d, b/d) = 1，即a/d与b/d互素；

若L % G ≠ 0，显然无解。下面分析L % G = 0的情况。
把问题转化为：满足gcd(x/G, y/G, z/G) = 1和lcm（x/G，y/G，z/G）= L/G的(x/G, y/G, z/G)有多少个。下面用排列组合分析有多少种情况。
根据算术基本定理，把x/G、y/G、z/G写成：

式子要满足x/G、y/G、z/G互素的条件。以1,j,ki}为例，其中至少有1个应该等于0。
另外，把L/G写成:L/G=地s式子要满足lcm(x/G，y/G，z/G) =L/G。以i1,j,k1}为例，允许的情况是:
1){0,0,t1，有三种排列;
2) {0,ti,t1)，有三种排列;
3){0,ti,1~ti-1}，有(ti-1)*6种排列;
加起来一共有 t;*6种排列。
最后问题转化为求t1t2、t3，即分解 L/G 的质因子