复数与二维旋转

复数

如下图中所示，定义一个复平面，存在一个复数Z，其中横坐标Re代表复数Z的实部，纵坐标Im代表虚部。

可以得出复数 Z 其实就是对基底 {1, i} 的线性组合，且可以写成向量形式，如下所示：

定义与性质

首先，假设存在两个复数Z1和Z2，分别为：

加减法

对应分量直接相加减。

乘法

对于两个复数的乘法，我们可以直接使用乘法分配率进行计算。

同时，进行一个定义，即 i^2 = -1 ，这会使上式进一步化简为下式中的形式：

同时，观察上式，进一步写成矩阵与向量相乘的形式：

也就是说，左侧的矩阵，对右侧的向量（Z2）进行了一个旋转变换。而且，这个变换与左乘复数Z1是等价的。

一些性质

同时，在矩阵形式下，复数的乘法和矩阵的乘法也是等价的，Z1与Z2矩阵相乘结果如下所示，这与上述的复数直接相乘，再写成矩阵形式具有相同的结果。

此外，复数相乘还满足乘法交换律，进行如下尝试可以证明：

一些特殊的复数

实数1，即复数Z中的分量a = 1，分量b = 0，Z = 1 + 0i

虚数i，即复数Z中的分量a = 0，分量b = 1，Z = 0 + 1i

对 i 平方进行计算：

即也证明了 i^2 = -1。

复数的模长与共轭

模长计算：

定义复数 Z 的共轭为：

即只需要翻转复数 Z 的虚部。

我们可以利用复数与复数的共轭相乘，计算复数的模长：

即：

复数相乘与2D旋转

继续回到之前的旋转问题，复数相乘等同于左乘一个矩阵， 带来的旋转变换。

a，b在复平面中的含义如上图所示，对矩阵进行一个简单变换会更加明了：

到此为止，我们就见到了熟悉的二维旋转矩阵：

即左乘一个复数Z，代表逆时针旋转了θ度，其中θ通过下式计算：

并进行了尺度为 ||Z|| 的缩放。