动态规划

其基本思想是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解，经分解得到子问题往往不是互相独立的，举个简单的例子：你知道两个1相加等于2，问你三个1相加你是拿前面的两个1相加的结果加上1呢，还是再用1+1+1，你肯定会用前面的那种方法对吧，这就是动态规划，（1+1）就是（1+1+1）的子问题，且并不是相互独立，你得到了（1+1）就好得到（1+1+1）了

整数拆分
题目
给定一个正整数 n ，将其拆分为 k 个 正整数 的和（ k >= 2 ），并使这些整数的乘积最大化。

返回 你可以获得的最大乘积 。

示例 1:

输入: n = 2
输出: 1
解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1。
示例 2:

输入: n = 10
输出: 36
解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36。

提示:

2 <= n <= 58

思路
对于正整数 n，当 n≥2 时，可以拆分成至少两个正整数的和。令 x 是拆分出的第一个正整数（取值范围为1~（n-1）），则剩下的部分是 n-x

n-x有两种情况 ：

1.不可以继续拆分，那么乘积就是x*(n-x)

2.可以继续拆分成至少两个正整数的和,那么乘积就是x((n-x)的乘积最大化)，将子问题求的解即将2到n的所有乘积最大化存入数组dp[n]中，那么乘积就是xdp[n-x]

用for循环按照上面的方法求2~n的乘积最大化，比如：

求2的乘积最大化：

不可以继续拆分，乘积是1*(2-1)为1

求3的乘积最大化：

可以拆分为1和2，2不拆分的乘积为2，拆分的乘积为1*dp[3-1]也就是1，取不拆分的乘积和拆分的乘积的最大值为2

求4的乘积最大化：

可以拆分为1和3,3不拆分的乘积为3，拆分的乘积为1*dp[4-1]也就是2，取不拆分的乘积和拆分的乘积的最大值为3

可以拆分为2和2,2不拆分的乘积为4，拆分的乘积为2*dp[4-2]也就是2，取不拆分的乘积和拆分的乘积的最大值为4

这和上面两个不一样，它可以拆分为1和3,2和2两种情况，所以要求1和3,2和2之间的最大值为4

依次类推......

因为求最大值的功能经常使用，使用用三目运算符？：写个求最大值的函数Max（）

由于每个正整数对应的最大乘积取决于比它小的正整数对应的最大乘积，因此可以使用动态规划求解。

代码

#include <stdio.h>
int Max(int i, int j);
 
int main() {
    int n;
    printf("n=");
    scanf("%d", &n);
    int dp[n] = {0, 0};
 
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        int max = 0;
 
        for (int j = 1; j < i; j++) {
            max = Max(max, Max(j * (i - j), j * dp[i - j]));
        }
 
        dp[i] = max;
    }
 
    printf("%d", dp[n]);
    return 0;
}
 
int Max(int i, int j) {
    return i > j ? i : j;
}

执行结果

为了更好的观察 ，可以在

dp[i] = max;

后面加个

printf("%d\n", dp[i]);

可以看到2~10所有的乘积最大化

创建数组dp时，其中dp[i] 表示将正整数 i 拆分成至少两个正整数的和之后，这些正整数的最大乘积。特别地，00 不是正整数，11 是最小的正整数，00 和 11 都不能拆分，因此dp[0]和dp[1]一定要赋值为0，如果不赋值为0，直接int dp[n];就会出现以下状况

赋初值为0：