前言

树是一种 非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。它具有以下的特点：

• 有一个特殊的节点，称为根节点，根节点没有前驱节点
• 除根节点外，其余节点被分成M(M > 0)个互不相交的集合T1、T2、......、Tm，其中每一个集合 Ti (1 <= i <= m) 又是一棵与树类似的子树。每棵子树的根节点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继
• 树是递归定义的。

一、概念(理论)

节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度
树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度
叶子节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点
双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点
孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点
根结点：一棵树中，没有双亲结点的结点
节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推
树的高度或深度：树中节点的最大层次

非终端节点或分支节点：度不为0的节点；
兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点
堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟
节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点
子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙
森林：由m（m>=0）棵互不相交的树的集合称为森林

二、树的表示形式（孩子兄弟表示法）

树的表示形式有很多，常见的有双亲表示法，孩子表示法、孩子兄弟表示法等等。以下展示一下比较常用的孩子兄弟表示法：

class TreeNode {
    int value; // 树中存储的数据
    TreeNode firstChild; // 第一个孩子引用
    TreeNode nextBrother; // 下一个兄弟引用
}

三、树的应用

文件系统管理（多级目录结构）

四、二叉树（重点）

4.1 概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合或者为空，或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成。

二叉树的特点：

1. 每个结点最多有两棵子树，即二叉树不存在度大于 2 的结点。
2. 二叉树的子树有左右之分，其子树的次序不能颠倒，因此二叉树是有序树。

4.2 满二叉树与完全二叉树

1. 满二叉树: 一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是 ，则它就是满二叉树。
2. 完全二叉树: 完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

4.3 二叉树的性质

1. 若根节点的层数从1开始算，则一棵非空二叉树的第i层上最多有 $2^{i-1}$ (i>0)个结点
2. 若二叉树的深度从1开始算，则深度为K的二叉树的最大结点数是 $2^k-1$ (k>=0)
3. 对任何一棵二叉树, 如果其叶结点个数为 n0, 度为2的非叶结点个数为 n2,则有n0＝n2＋1

推导如下：

总节点数 = 树枝数+1

$$n_0+n_1+n_3=n_1+2n_2+1 \tag{1}$$

左右两式消除得：
$$n_0=n_2+1 \tag{2}$$

1. 若完全二叉树的结点数为n，则此完全二叉树的深度k为$\lceil log_2(n+1) \rceil$ 或者$\lfloor log_2n \rfloor+1$
2. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：

• 若i>0，双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根节点编号，无双亲节点
• 若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，否则无左孩子
• 若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，否则无右孩子

简答题：

设一棵完全二叉树具有1000个结点，则此完全二叉树有（）叶子结点，有（）个度为2的结点，有（）个结点只有非空左子树

答案：

500 499 1

解析：

1. 运用上面公式可求得1000个结点的完全二叉树深度为10，可求得最后一层的结点数为$(2^{10}-1)$ -23 = 512-23=489个 (此处的23为深度为10的满二叉树结点数-1000 = 23)
2. 然后这23个空缺的结点没有父节点，所以肯定有 23/2 =11 个叶子结点在第九层，所以总叶子结点数 = 489 + 11 = 500 个。
3. 而23/2 余1，所以第九层会有1个结点只有一个左孩子，剩下的都是度为2的结点 = 1000-500-1 = 499个。

4.4 二叉树的链式存储

==一般而言，二叉树的存储方式都是链式存储，顺序存储一般见于完全二叉树的存储，例如优先级队列（堆）中的存储。==

二叉树的链式存储是通过一个一个的节点引用起来的，常见的表示方式有二叉和三叉表示方式，具体如下：

// 孩子表示法
class Node {
    int val; // 数据域
    Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
    Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
}
// 孩子双亲表示法
class Node {
    int val; // 数据域
    Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
    Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
    Node parent; // 当前节点的根节点
}

注： 孩子双亲表示法多在平衡树中会使用到，一般而言都可以用孩子表示法来定义树结点。

总结

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