1601. 最多可达成的换楼请求数目 : 二进制枚举运用题

题目描述

这是 LeetCode 上的 1601. 最多可达成的换楼请求数目 ，难度为 困难。

Tag : 「二进制枚举」

我们有 n 栋楼，编号从 0 到 n - 1 。每栋楼有若干员工。由于现在是换楼的季节，部分员工想要换一栋楼居住。

给你一个数组 requestsrequests ，其中 requests[i] = [from_i, to_i]requests[i]=[fromi,toi] ，表示一个员工请求从编号为 from_ifromi 的楼搬到编号为 to_itoi 的楼。

一开始 所有楼都是满的，所以从请求列表中选出的若干个请求是可行的需要满足 每栋楼员工净变化为 00 。意思是每栋楼 离开 的员工数目 等于 该楼 搬入 的员工数数目。比方说 n = 3n=3 且两个员工要离开楼 00 ，一个员工要离开楼 11 ，一个员工要离开楼 22 ，如果该请求列表可行，应该要有两个员工搬入楼 00 ，一个员工搬入楼 11 ，一个员工搬入楼 22 。

请你从原请求列表中选出若干个请求，使得它们是一个可行的请求列表，并返回所有可行列表中最大请求数目。

示例 1：

输入：n = 5, requests = [[0,1],[1,0],[0,1],[1,2],[2,0],[3,4]]
输出：5
解释：请求列表如下：
从楼 0 离开的员工为 x 和 y ，且他们都想要搬到楼 1 。
从楼 1 离开的员工为 a 和 b ，且他们分别想要搬到楼 2 和 0 。
从楼 2 离开的员工为 z ，且他想要搬到楼 0 。
从楼 3 离开的员工为 c ，且他想要搬到楼 4 。
没有员工从楼 4 离开。
我们可以让 x 和 b 交换他们的楼，以满足他们的请求。
我们可以让 y，a 和 z 三人在三栋楼间交换位置，满足他们的要求。
所以最多可以满足 5 个请求。
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示例 2：

输入：n = 3, requests = [[0,0],[1,2],[2,1]]
输出：3
解释：请求列表如下：
从楼 0 离开的员工为 x ，且他想要回到原来的楼 0 。
从楼 1 离开的员工为 y ，且他想要搬到楼 2 。
从楼 2 离开的员工为 z ，且他想要搬到楼 1 。
我们可以满足所有的请求。
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示例 3：

输入：n = 4, requests = [[0,3],[3,1],[1,2],[2,0]]
输出：4
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提示：

• 1 <= n <= 201<=n<=20
• 1 <= requests.length <= 161<=requests.length<=16
• requests[i].length == 2requests[i].length==2
• 0 <= fromi, toi < n0<=fromi,toi<n

二进制枚举

为了方便，我们令 requestsrequests 的长度为 mm。

数据范围很小，nn 的范围为 2020，而 mm 的范围为 1616。

根据每个 requests[i]requests[i] 是否选择与否，共有 2^m2m 种状态（不超过 7000070000 种状态）。我们可以采用「二进制枚举」的思路来求解，使用二进制数 statestate 来表示对 requests[i]requests[i] 的选择情况，当 statestate 的第 kk 位为 11，代表 requests[k]requests[k] 被选择。

我们枚举所有的 statestate 并进行合法性检查，从中选择出包含请求数的最多（二进制表示中包含 11 个数最多）的合法 statestate，其包含的请求数量即是答案。

其中统计 statestate 中 11 的个数可以使用 lowbit，复杂度为 O(m)O(m)，判断合法性则直接模拟即可（统计每座建筑的进出数量，最后判定进出数不相等的建筑数量是为 00），复杂度为 O(m)O(m)，整体计算量为不超过 2*10^62∗106，可以过。

代码：

class Solution {
    int[][] rs;
    public int maximumRequests(int n, int[][] requests) {
        rs = requests;
        int m = rs.length, ans = 0;
        for (int i = 0; i < (1 << m); i++) {
            int cnt = getCnt(i);
            if (cnt <= ans) continue;
            if (check(i)) ans = cnt;
        }
        return ans;
    }
    boolean check(int s) {
        int[] cnt = new int[20];
        int sum = 0;
        for (int i = 0; i < 16; i++) {
            if (((s >> i) & 1) == 1) {
                int a = rs[i][0], b = rs[i][1];
                if (++cnt[a] == 1) sum++;
                if (--cnt[b] == 0) sum--;
            }
        }
        return sum == 0;
    }
    int getCnt(int s) {
        int ans = 0;
        for (int i = s; i > 0; i -= (i & -i)) ans++;
        return ans;
    }
}
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• 时间复杂度：令 mm 为 requestsrequests 长度，共有 2^m2m 种选择状态，计算每个状态的所包含的问题数量复杂度为 O(m)O(m)，计算某个状态是否合法复杂度为 O(m)O(m)；整体复杂度为 O(2^m * m)O(2m∗m)
• 空间复杂度：O(n)O(n)

最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.1601 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。

在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。

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