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💥1 概述

梯度下降法与交替方向乘子法(ADMM)求解LASSO问题研究文档

摘要

本文系统研究了梯度下降法与交替方向乘子法(ADMM)在求解LASSO问题中的应用。通过理论分析与实验对比，揭示了两种算法在求解效率、收敛速度及适用场景上的差异。实验结果表明，ADMM在处理大规模LASSO问题时展现出显著优势，而梯度下降法在特定场景下仍具有实用价值。

1. 引言

LASSO(Least Absolute Shrinkage and Selection Operator)是一种重要的线性回归方法，通过引入L1正则化项实现变量选择和系数压缩。求解LASSO问题的核心在于优化目标函数：

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2. 算法原理

2.1 梯度下降法

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2.2 交替方向乘子法(ADMM)

ADMM通过引入辅助变量将原问题分解为多个子问题。对于LASSO问题，其等价形式为：

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1. 编辑
   

3. 实验设计

3.1 数据生成

生成随机矩阵A∈R512×1024和稀疏向量u∈R1024（非零元素占比10%），令b=Au。正则化参数λ=10−3。

3.2 参数设置

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4. 实验结果与分析

4.1 收敛性对比

• ADMM在ρ=0.1时表现出最优收敛性，约需150次迭代达到目标精度；
• 梯度下降法在η=10−3时收敛最稳定，但需约2000次迭代达到相同精度；
• ADMM的每步迭代计算量显著高于梯度下降法，但总体求解时间仍优于梯度下降法（ADMM：1.2s vs 梯度下降法：3.8s）。

4.2 变量恢复精度

• ADMM解的相对误差∥x∗−u∥2/∥u∥2=1.2×10−2；
• 梯度下降法解的相对误差1.5×10−2；
• ADMM在变量恢复精度上略优于梯度下降法。

5. 讨论

5.1 算法优势对比

5.2 适用场景建议

• ADMM：

• 大规模稀疏学习问题；
• 需要快速收敛的在线学习场景；
• 分布式计算环境。

• 梯度下降法：

• 小规模问题或内存受限环境；
• 需要简单实现的快速原型开发；
• 光滑优化问题的求解。

6. 结论

本文通过理论分析与实验验证表明：

1. ADMM在求解大规模LASSO问题时具有显著优势，其分解-协调机制有效降低了问题复杂度；
2. 梯度下降法在特定场景下仍具实用价值，但需结合近端算子改进以处理非光滑正则项；
3. 未来工作将探索ADMM与随机优化技术的结合，进一步提升求解效率。

📚2 运行结果

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部分代码：

%% 固定步长(3种不同的步长)
    step = [2; 1; 1e-1; 1e-2];
    f_Fixed = zeros(Nit, length(step));
    for i = 1:length(step)
        tic
        f_Fixed(:, i) = GD_FixedStep(Nit, A, x_ini, step(i));
        Time(i_N, i) = toc;        
    end
    %% Armijo-Goldstein准则
    rho = 5e-1;% 将某点的一阶泰勒展开对应的直线拉到偏水平一些
    alpha_ini = [2, 5, 5];
    
    tic
    f_AG = GD_AG(Nit, rho, alpha_ini(i_N), A, x_ini);
    Time(i_N, 5) = toc; 
    %% Wolfe-Powell准则
    rho = 5e-1;% 将某点的一阶泰勒展开对应的直线拉到偏水平一些
    alpha_ini = [2, 5, 5];
    sigma = 0.5;
    x = x_ini;
    count = 1;
    count_max = 20;
    const = 1.2;
    
    tic
    f_WP = GD_WP(Nit, rho, alpha_ini(i_N), A, x, sigma, count, count_max, const);
    Time(i_N, 6) = toc;
    %% 最优步长(对步长求导=0)
    tic
    f_opt = GD_Opt(Nit, A, x_ini);
    Time(i_N, 7) = toc;
    %% Zhuoran准则(自编)
    rho = 5e-1;% 将某点的一阶泰勒展开对应的直线拉到偏水平一些
    sigma = [0.01 0.5 0.5];
    count = 1;
    count_max = 20;
    alpha_ini = [1 1 2];
    
    tic
    f_ZR = GD_ZR(Nit, rho, alpha_ini(i_N), sigma(i_N), count, count_max, A, x_ini);
    Time(i_N, 8) = toc;
    %% 绘图
    set(0,'defaultfigurecolor','w') 
    figure; hold on; box on; grid on;
    set(gca,'FontSize',10);
    xlabel('迭代次数');
    ylabel('log_{10}(目标函数)');
    text = ['优化变量维度：N = ' num2str(N(i_N))];

🎉3 参考文献

文章中一些内容引自网络，会注明出处或引用为参考文献，难免有未尽之处，如有不妥，请随时联系删除。(文章内容仅供参考，具体效果以运行结果为准)

[1]杨真真,杨震.压缩感知中基于快速交替方向乘子法的l0-正则化信号重构[J].电子与信息学报, 2013, 35(4):6.

[2]王程,刘念.基于交替方向乘子法的互联微电网系统分布式优化调度[J].