【视频】时间序列分析：ARIMA-ARCH / GARCH模型分析股票价格-1
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ARCH / GARCH模型
尽管残差的ACF和PACF没有明显的滞后，但是残差的时间序列图显示出一些波动性。重要的是要记住，ARIMA是一种对数据进行线性建模且预测保持不变的方法，因为该模型无法反映最近的变化或合并新信息。换句话说，它为序列提供了最佳的线性预测，因此在非线性模型预测中几乎没有作用。为了建模波动，需要用到ARCH / GARCH方法。我们如何知道所关注的时间序列是否需要ARCH / GARCH？
首先，检查残差图是否显示任何波动性。接下来，观察残差平方。如果存在波动性，则应使用ARCH / GARCH对系列的波动性建模，以反映该系列中更多的近期变化和波动。最后，平方残差的ACF和PACF将有助于确认残差（噪声项）是否独立且可以预测。如前所述，严格的白噪声不能线性或非线性地预测，而普通的白噪声可能不能线性地预测但仍不能非线性地预测。如果残差是严格的白噪声，则它们与零均值，正态分布无关，并且平方残差的ACF和PACF没有明显的滞后。
以下是平方残差的图：
•残差平方图显示了某些时间点的波动性
•滞后10时，PACF仍会截断，即使有些滞后仍然很大
因此，残差显示了一些可以建模的模式。ARCH / GARCH对模型波动率建模很有必要。顾名思义，此方法与序列的条件方差有关。ARCH（q）的一般形式：
res.arima212=arima212$res squared.res.arima212=res.arima212^2
根据AICc选择ARCH / GARCH阶数和参数，如下所示：
AICC = -2 log+ 2（ q + 1） N /（N – q – 2），如果模型中没有常数项
AICC = -2 log+ 2（ q + 2） N /（N – q – 3），如果模型中为常数项
要计算AICc，我们需要将ARCH / GARCH模型拟合到残差，然后使用R中的logLik函数计算对数似然。请注意，由于我们只希望对ARIMA模型的噪声建模，因此我们将ARCH拟合到先前选择的ARIMA模型的残差，而不拟合原始序列或对数或差分对数序列。
Model N q Log&likelihood AICc&no&const AICc&const ARCH(0) 1400 0 3256.488 ,6510.973139 ,6508.96741 ARCH(1) 1400 1 3314.55 ,6625.09141 ,6623.082808 ARCH(2) 1400 2 3331.168 ,6656.318808 ,6654.307326 ARCH(3) 1400 3 3355.06 ,6702.091326 ,6700.076958 ARCH(4) 1400 4 3370.881 ,6731.718958 ,6729.701698 ARCH(5) 1400 5 3394.885 ,6777.709698 ,6775.68954 ARCH(6) 1400 6 3396.683 ,6779.28554 ,6777.262477 ARCH(7) 1400 7 3403.227 ,6790.350477 ,6788.324504 ARCH(8) 1400 8 3410.242 =6802.354504 =6800.325613 ARCH(9) 1400 9 3405.803 ,6791.447613 ,6789.415798 ARCH(10) 1400 10 3409.187 ,6796.183798 ,6794.149054 GARCH(1,"1) 1400 2 3425.365 ,6844.712808 ,6842.701326
上面提供了恒定和非恒定情况的AICc表。请注意，从ARCH 1到ARCH 8 的AICc减少，然后在ARCH 9和ARCH 10中AICc增加。为什么会发生？表示我们需要检查模型的收敛性，在前7种情况下，R中的输出给出“相对函数收敛”，而ARCH 9和ARCH 10具有“假收敛”。当输出包含False收敛时，该模型的预测能力值得怀疑，我们应该从选择中排除这些模型；尽管GARCH 1,1的AICc也最低，但是该模型被错误地收敛，因此被排除在外。ARCH 8是所选模型。
此外，我们在分析中还包括ARCH 0 ，因为它可以用作检查是否存在任何ARCH效应或残差是否独立。
执行ARCH / GARCH模型的R代码：
loglik08=logLik(arch08) summary(arch08)
注意，R不允许q = 0的阶数，因此我们无法从R 获得ARCH 0的对数似然 ；但是我们需要通过公式进行计算：−.5 N 1 + log 2 pi mean(x) ˆ2
N：相差后的观测次数N = n – d
X：在此考虑的数据集情况，残差
ARCH 8的输出：
Call: Model: GARCH(0,8) Residuals: Min 1Q Median 3Q Max -4.40329 -0.48569 0.08897 0.69723 4.07181 Coefficient(s): Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) a0 1.472e-04 1.432e-05 10.282 < 2e-16 *** a1 1.284e-01 3.532e-02 3.636 0.000277 *** a2 1.335e-01 2.839e-02 4.701 2.59e-06 *** a3 9.388e-02 3.688e-02 2.545 0.010917 * a4 8.678e-02 2.824e-02 3.073 0.002116 ** a5 5.667e-02 2.431e-02 2.331 0.019732 * a6 3.972e-02 2.383e-02 1.667 0.095550 . a7 9.034e-02 2.907e-02 3.108 0.001885 ** a8 1.126e-01 2.072e-02 5.437 5.41e-08 *** \-\-\- Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 Diagnostic Tests: Jarque Bera Test data: Residuals X-squared = 75.0928, df = 2, p-value < 2.2e-16 Box-Ljung test data: Squared.Residuals X-squared = 0.1124, df = 1, p-value = 0.7374
除第六个参数外，所有参数的p“值均小于0.05，表明 它们具有统计学意义。此外，Box” Ljung检验的p“值大于0.05， 因此我们不能拒绝自相关的假设残差的值不同于0。因此该模型足以表示残差。
完整的ARCH 8模型：
ht = 1.472e-04 +1.284e-01ε2t“ 1 +1.335e-01ε2t” 2 +9.388e-02ε2t“ 3 + 8.678 e-02ε2t“ 4 +
5.667e-02ε2t” 5 +3.972e-02ε2t“ 6 +9.034e-02ε2t” 7 +1.126e-01ε2t“ 8
ARIMA-ARCH / GARCH
在本节中，我们将比较ARIMA模型和组合的ARIMAARCH / GARCH模型的结果。如前所述，Apple Log价格序列的ARIMA和ARCH模型分别为ARIMA 2,1,2）和ARCH 8）。
请记住，在将ARIMA拟合所需的差分序列时，R将排除常数。因此，我们先前从R生成的结果是ARIMA 2,1,2），没有常数。使用预测函数，根据ARIMA 2,1,2）对系列进行1步预测
Point Forecast Lo 95 Hi 95 1402 6.399541 6.353201 6.445882
ARIMA（2,1,2）– ARCH（8）的完整模型：
下表总结了所有模型，并在Excel中编辑和计算了点预测和预测区间：
95% Confident interval Model Forecast Lower Upper Actual ARIMA(2,1,2) in R 6.399541 6.353201 6.445882 6.354317866 ARIMA(2,1,2) in Minitab (constant) 6.40099 6.35465 6.44734 ARIMA(2,1,2) in Minitab (no constant) 6.39956 6.35314 6.44597 ARIMA(2,1,2) + ARCH(8) in R 6.39974330 6.35340330 6.44608430 ARIMA(2,1,2) in Minitab (constant) +ARCH(8) 6.40119230 6.35485230 6.44754230 ARIMA(2,1,2) in Minitab (no constant) +ARCH(8) 6.39976230 6.35334230 6.44617230
将对数价格转换为价格，我们获得原始序列的预测：
95% Confident interval Model Forecast Lower Upper Actual ARIMA(2,1,2) in R 601.5688544 574.3281943 630.1021821 574.9700003 ARIMA(2,1,2) in Minitab (constant) 602.4411595 575.1609991 631.0215411 ARIMA(2,1,2) in Minitab (no constant) 601.5802843 574.2931614 630.1576335 ARIMA(2,1,2) + ARCH(8) in R 601.6905666 574.4443951 630.2296673 ARIMA(2,1,2) in Minitab (constant) +ARCH(8) 602.5630482 575.2773683 631.1492123 ARIMA(2,1,2) in Minitab (no constant) +ARCH(8) 601.7019989 574.409355 630.28513
2012年7月25日苹果发布了低于预期的收益报告，此公告影响了公司股价，导致该股票从2012年7月24日的600.92美元跌至2012年7月24日的574.97美元。公司发布正面或负面新闻时，这是经常发生的意外风险。但是，由于实际价格在我们95％的置信区间内并且非常接近下限，因此我们的模型似乎可以成功预测该风险。
需要注意的是，ARIMA（2,1,2）的95％置信区间比ARIMA（2,1,2）– ARCH（8）组合模型的置信区间宽。这是因为后者通过分析残差及其条件方差（随着新信息的出现而受到影响的方差）来反映并纳入股价的近期变化和波动。
那么如何计算ARCH（8）的条件方差ht？
•生成1步预测，100步预测，预测图：
forecast212step1=forecast(arima212,1,level=95)
•计算ht，条件方差：
ht.arch08=arch08$fit\[,1\]^2 #使用拟合的第一栏
•生成对数价格，上限和下限95％的图
plot(log.appl,type='l',main='Log Apple,Low,High') lines(low,col='red') lines(high,col='blue')
为了计算ht，我们首先在一列中列出模型的所有参数，然后查找与这些系数关联的残差，将这些残差平方，将ht系数乘以残差平方，然后对这些数字求和以得出ht。例如，要估计点1402（我们的数据集有1401个观测值），我们需要最后8天的残差，因为我们的模型是ARCH（8）。以下是生成的表：
ht coeff res squared res ht components const 1.47E-04 1.47E,04 a1 1.28E-01 ,5.18E,03 2.69E,05 3.45E,06 a2 1.34E-01 4.21E,04 1.77E,07 2.37E,08 a3 9.39E-02 ,1.68E,02 2.84E,04 2.66E,05 a4 8.68E-02 1.25E,02 1.57E,04 1.36E,05 a5 5.67E-02 ,7.41E,04 5.49E,07 3.11E,08 a6 3.97E-02 8.33E,04 6.93E,07 2.75E,08 a7 9.03E-02 2.92E,03 8.54E,06 7.72E,07 a8 1.13E-01 9.68E,03 9.37E,05 1.05E,05 ht 2.02E,04
为了如上所述估计混合模型的1步预测和95％置信区间，我们使用从R或Minitab获得的ARIMA预测，然后将ht添加到ARIMA预测中。记录对数价格和条件方差：
•条件方差图成功反映了整个时间序列的波动性•高波动性与股价暴跌的时期密切相关
价格的95％预测间隔：
对模型的最终检查是查看ARIMA-ARCH模型的残差的QQ图，即et =εt/ sqrt（ht）=残差/ sqrt（条件方差）。我们可以直接从R计算出来，然后绘制QQ图以检查残差的正态性。以下是代码和QQ图：
qqline(archres)
该图表明，残差似乎大致呈正态分布，尽管有些点不在直线上。但是，与ARIMA模型的残差相比，混合模型的残差更接近正态分布。
结论
时域方法是分析金融时间序列的有用方法。基于ARIM-ARCH / GARCH模型的预测中有一些需要考虑的方面：
首先，ARIMA模型专注于线性分析时间序列，并且由于新信息的存在，它无法反映最近的变化。因此，为了更新模型，用户需要合并新数据并再次估计参数。ARIMA模型中的方差是无条件方差，并且保持恒定。ARIMA适用于平稳序列，因此，应变换非平稳序列（例如对数变换）。
此外，ARIMA通常与ARCH / GARCH模型一起使用。ARCH / GARCH是一种测量序列波动性的方法，或更具体地说，是对ARIMA模型的噪声项建模的方法。ARCH / GARCH结合了新信息，并根据条件方差分析了序列，用户可以使用最新信息来预测未来价值。混合模型的预测区间比纯ARIMA模型的预测区间短。
