前言
刚开始接触红黑树的时候，感觉很难。其实不然，红黑树只是情况分的多了一点而已，相较于线段树，主席树等等，简单多了。对于红黑树3种插入维护4种删除维护没必要去记忆，稍作了解，对于红黑树的性质和特点，需要特别记忆。
本专栏知识点是通过零声教育的线上课学习，进行梳理总结写下文章，对c/c++linux课程感兴趣的读者，可以点击链接 C/C++后台高级服务器课程介绍 详细查看课程的服务。
注意，本文图中红黑树的叶子结点默认不画出来
为什么要有红黑树
二叉搜索树
二叉搜索树（又叫二叉排序树，BST）：对于任意一个结点，其左子树的值必定小于该结点，其右子树的值必定大于该结点。那么中序遍历的时候，就是有序的了。理论上来说，增加，删除，修改的时间复杂度都是O(log(N))。但是它存在一个致命的问题。
退化：向树中插入[1，2，3，4，5，6]，此时树退化成了一个链表，增加，删除，修改的时间复杂度退化为O(N)
平衡二叉搜索树
平衡二叉搜索树（AVL Tree）：它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1，并且左右两个子树都是一棵平衡二叉搜索树。如果向树中插入[1，2，3，4，5，6]
可以看到AVLTree在最坏的情况下，依然保持了“绝对的平衡”：左右两个子树的高度差的绝对值不超过1。那么AVL Tree是如何保证平衡的呢，是通过旋转，可以看到，无论是插入还是删除元素，都要去通过旋转维护整个树的平衡。
- AVL查询元素：O(log(N))
- AVL插入元素：最多一次旋转O(1)，加上查询的时间O(log(N))，插入的复杂度O(log(N))
- AVL删除元素：必须检查从删除结点开始到根结点路径上的所有结点的平衡因子。因此删除的代价比较大，删除最多需要log(N)次旋转，加上查询的时间，删除的复杂度O(2log(N))
红黑树
我们发现，AVL树未免太严格了一些，有没有一种数据结构，能让AVL树不那么严格平衡，降低维护平衡的开销，同时又不能像BST一样退化呢？
当然有，就是本文所写的红黑树（rbTree）：
- rbTree查询元素：O(log(N))
- rbTree插入元素：插入最多2次旋转，加上查询的时间O(log(N))，插入的复杂度O(log(N))
- rbTree删除元素：删除最多需要3次旋转，加上查询的时间，删除的复杂度O(log(N))
虽然插入和删除元素后，需要旋转和变色（本文中统一为维护），但是这一时间复杂度可以估算为O(1)不计
因为rbTree的第6条性质（见下文）
- 所以红黑树的查询效率略低与AVL的查询
- 红黑树和AVL插入的速度差不多
- 红黑树删除的速度比AVL快，因为AVL删除最多需要og(N)次旋转
红黑树的应用场景
c++ stl map,set（红黑树的封装）
进程调度cfs（用红黑树存储进程的集合，把调度的时间作为key，那么树的左下角时间就是最小的）
内存管理（每次使用malloc的时候都会分配一块小内存出来，那么这么块就是用红黑树来存，如何表述一段内存块呢，用开始地址+长度来表示，所以key->开始地址，val->大小）
epoll中使用红黑树管理socketfd
nginx中使用红黑树管理定时器，中序遍历第一个就是最小的定时器
红黑树的性质（重点）
1. 每个结点是红的或者黑的
2. 根结点是黑的
3. 每个叶子结点是黑的（因为这条性质，一般用叶子结点在代码中被特殊表示）
4. 如果一个结点是红的，则它的两个儿子都是黑的（不存在相邻红色）
5. 从任一节点到叶子节点，所包含的黑色节点数目相同（即黑高度相同）
6. 最长路径长度不超过最短路径长度的2倍（2n-1，一条黑红黑红…一条全黑）
红黑树的定义
#define RED 0 #define BlACK 1 typedef int KEY_TYPE; typedef struct _rbtree_node { unsigned char color;//颜色 struct _rbtree_node *left;//左子树 struct _rbtree_node *right;//右子树 struct _rbtree_node *parent;//父结点 KEY_TYPE key; void *value; } rbtree_node;//红黑树结点 typedef struct _rbtree { rbtree_node *root;//根结点 rbtree_node *nil;//通用叶子结点 } rbtree;//红黑树
红黑树的左旋与右旋
动三个方向，改6个指针。
通过旋转，调整左右高度，使树达到平衡。
左旋leftRotate(T,x)—中右->左中
降低X结点的高度，提高X结点右结点（即Y）的高度。
- x的右子树指向y的左子树
- 本来指向x结点的父指针，改成指向y
- y的左子树指向x结点
右旋rightRotate(T,y)—中左->中右
降低Y结点的高度，提高Y结点左结点（即X）的高度。
- y的左子树指向x的右子树
- 本来指向y结点的父指针，改成指向x
- x的右子树指向y结点
//左旋leftRotate(T,x)---中右->左中 //降低X结点的高度，提高X结点右结点（即Y）的高度。 void _left_rotate(rbtree *T, rbtree_node *x) { rbtree_node *y = x->right; //1 x->right = y->left;//x的右子树指向y的左子树 if (y->left != T->nil) { y->left->parent = x;//y的左子树的父节点指向x } //2 y->parent = x->parent;//y的父结点指向x的父结点 if (x->parent == T->nil) {//如果x是根结点 T->root = y; } else if (x == x->parent->left) { x->parent->left = y;//本来指向x结点的父指针，改成指向y } else { x->parent->right = y; } //3 y->left = x;//y的左子树指向x结点 x->parent = y;//x的父节点指向y } //右旋 //copy左旋的代码 //left改成right，right改成left //x改成y，y改成x void _right_rotate(rbtree *T, rbtree_node *y) { rbtree_node *x = y->left; //1 y->left = x->right; if (x->right != T->nil) { x->right->parent = y; } //2 x->parent = y->parent; if (y->parent == T->nil) { T->root = x; } else if (y == y->parent->right) { y->parent->right = x; } else { y->parent->left = x; } //3 x->right = y; y->parent = x; }
红黑树插入结点与插入维护红黑树的三种情况
插入结点
在插入结点时，我们始终认为“插入这个结点之前，原来的红黑树是满足红黑树性质的==”，那么插入的位置容易找，就是不断的对比key，最终找到位置，那么新增的结点是什么颜色呢？我们通过性质发现：
如果新结点是黑色，违背了第5条性质
如果新结点是红色，可能违背第4条性质
而第四条性质，我们可以通过旋转与上色的方式修复，所以在我们插入结点的时候，我们始终认为新结点是红色
//因为传入的key可能是字符，可能是整形，所以要提取出来 //这里可以看出，其实可以封装成一个模板 int key_compare(KEY_TYPE a, KEY_TYPE b) { //这里假设是int if (a > b) { return 1; } else if (a < b) { return -1; } else { return 0; } } void rbtree_insert(rbtree *T, rbtree_node *z) { //找位置 rbtree_node *x = T->root; rbtree_node *y = T->nil;//y是x的父节点 while (x != T->nil) {//二分找位置 y = x; if (key_compare(z->key, x->key) < 0) { x = x->left; } else if (key_compare(z->key, x->key) > 0) { x = x->right; } else { //如果key相等，看自己的业务情景 //重复插入可以不修改直接退出，可以修改val return; } } //插入 z->parent = y; if (y == T->nil) { T->root = z; } else if (key_compare(z->key, y->key) < 0) { y->left = z; } else { y->right = z; } z->left = T->nil; z->right = T->nil; z->color = RED; //维护红黑树 rbtree_insert_fixup(T, z); }
插入结点后维护红黑树
我们知道新增结点是红色，如果新结点是父节点也是红色，那么就需要维护红黑树了。
如果父结点是爷结点是左子树，可以归纳出来三种情况。同理如果父结点是爷结点是右子树，我们也可以归纳出来三种情况。但是这三种情况的差异就是旋转方向的区别而已。一共是6种情况，但是归纳出来其实是3种，读者不要搞错了。
在下面的图中：z表示新增结点，y表示叔结点
父结点是爷结点是左子树
1. 叔结点是红色的
- 将叔结点和父结点变黑，爷结点变红
- 将当前结点变成爷结点（因为爷结点是红，爷结点的父节点也可能是红，所以要递归维护）
2. 叔结点是黑色的且新结点是左子树
- 将父结点变成黑色，爷结点变成红色
- 以爷结点为中心右旋
3. 叔结点是黑色的且新结点是右子树
- 以父结点为中心左旋
- 将父结点变黑色，爷结点变红色
- 以爷结点为中心右旋
父结点是爷结点是右子树
1. 叔结点是红色的
- 将叔结点和父结点变黑，爷结点变红
- 将当前结点变成爷结点（因为爷结点是红，爷结点的父节点也可能是红，所以要递归维护）
2. 叔结点是黑色的且新结点是左子树
- 以父结点为中心右旋
- 将父结点变黑色，爷结点变红色
- 以爷结点为中心左旋
3. 叔结点是黑色的且新结点是右子树
- 将父结点变成黑色，爷结点变成红色
- 以爷结点为中心左旋
维护代码
//修复第4条性质 void rbtree_insert_fixup(rbtree *T, rbtree_node *z) { while (z->parent->color == RED) {//父结点是红色的，需要调整 if (z->parent == z->parent->parent->left) {//如果父结点是爷结点是左子树 rbtree_node *y = z->parent->parent->right;//叔结点 if (y->color == RED) {//叔结点是红色的 //先变色，叔,父变黑 z->parent->color = BLACK; y->color = BLACK; //爷结点变红 z->parent->parent->color = RED; //下面的调整完了，调整上面 z = z->parent->parent; } else {//叔父结点是黑色 if (z == z->parent->right) {//新节点是在右边 z = z->parent; rbtree_left_rotate(T, z); } z->parent->color = BLACK; z->parent->parent->color = RED; rbtree_right_rotate(T, z->parent->parent); } } else { // 如果父结点是爷结点是右子树 rbtree_node *y = z->parent->parent->left;//叔父结点 if (y->color == RED) {//叔父结点是红色的 //先变色，叔,父变黑 z->parent->color = BLACK; y->color = BLACK; //爷结点变红 z->parent->parent->color = RED; //下面的调整完了，调整上面 z = z->parent->parent; } else {//叔父结点是黑色 if (z == z->parent->left) {//新节点是在左边 z = z->parent; rbtree_right_rotate(T, z); } z->parent->color = BLACK; z->parent->parent->color = RED; rbtree_left_rotate(T, z->parent->parent); } } } //最后别忘了根节点始终是黑色 T->root->color = BLACK; }
红黑树删除结点与删除维护红黑树的四种情况
删除结点
我们定义：
- 覆盖结点：z（被指定删除的结点，实际上被覆盖）
- 删除结点：y（实际上被删除的结点，一般是后继结点）
- 轴心结点：x（维护红黑树的结点）
红黑树删除结点根据改结点的左右子树分为三种情况：
- 没有左右子树
- 有且仅有一个子树
- 左右子树都有
对不同情况的处理：
- 情况1：直接删除该结点
- 情况2：将该结点的唯一子树挂到父结点上，然后删除该结点
- 情况3：找一个删除结点y（后继结点）覆盖 指定结点z，然后删除 删除结点y，对于这个删除结点y来说，它的情况一定是情况1或情况2
删除代码
rbtree_node *rbtree_mini(rbtree *T, rbtree_node *x) { while (x->left != T->nil) { x = x->left; } return x; } //找后继结点 rbtree_node *rbtree_successor(rbtree *T, rbtree_node *x) { rbtree_node *y = x->parent; //右子树不为空，则找右子树中最左的元素 if (x->right != T->nil) { return rbtree_mini(T, x->right); } //找到结点第一个父结点 while ((y != T->nil) && (x == y->right)) { x = y; y = y->parent; } return y; } //覆盖结点z //删除结点y //轴心结点x rbtree_node *rbtree_delete(rbtree *T, rbtree_node *z) { rbtree_node *y = T->nil; rbtree_node *x = T->nil; if ((z->left == T->nil) || (z->right == T->nil)) { y = z;//如果没有孩子或只有一个 } else {//如果有两个子树则找后继 y = rbtree_successor(T, z); } //一般x是y的右子树，找到轴心结点 if (y->left != T->nil) { x = y->left; } else if (y->right != T->nil) { x = y->right; } //将该结点的唯一子树挂到父结点上，然后删除该结点 x->parent = y->parent; if (y->parent == T->nil) {//根结点 T->root = x; } else if (y == y->parent->left) { y->parent->left = x; } else { y->parent->right = x; } //进行覆盖操作 if (y != z) { z->key = y->key; z->value = y->value; } //黑色才需要调整 if (y->color == BLACK) { rbtree_delete_fixup(T, x); } return y; }
删除结点后维护红黑树
想一想，删除一个结点，该结点是什么颜色的时候才需要维护红黑树呢？
- 如果是红色，没有违反任何性质。所以如果是红色直接删除即可，无需维护
- 如果是黑色，黑色被删除，那么必定违反第5条性质，破坏了黑高，所以我们需要针对这一情况进行维护
如果当前结点是父结点的左子树的情况，可以归纳出来四种情况。同理如果当前结点是父结点的右子树，我们也可以归纳出来四种情况。但是这四种情况的差异就是旋转方向的区别而已（镜像的）。一共是8种情况，但是归纳出来其实是4种，读者不要搞错了。
当前结点是父结点的左子树的情况
1. 当前结点的兄弟结点是红色的
- 兄弟节点变成黑色
- 父节点变成红色
- 父节点做左旋
- 将兄弟结点调整为父节点的右子树
2. 当前结点的兄弟结点是黑色的，而且兄弟结点的两个孩子结点都是黑色的
- 兄弟节点变成红色
- 轴心结点变为父节点
3. 当前结点的兄弟结点是黑色的，而且兄弟结点的左孩子是红色的，右孩子是黑色的
- 将左孩子涂黑
- 将兄弟节点变红
- 对兄弟节点右旋
- 将兄弟结点调整为父节点的右子树
- 现在情况3就会变成情况4，接着做情况4的步骤
4. 当前结点的兄弟结点是黑色的，而且兄弟结点的左孩子是黑色的，右孩子是红色的
- 将兄弟节点换成父节点的颜色
- 把父节点和兄弟节点的右孩子涂黑
- 对父节点做左旋
- 设置x指针，指向根节点
当前结点是父结点的右子树的情况
1. 当前结点的兄弟结点是红色的
- 兄弟节点变成黑色
- 父节点变成红色
- 父节点做右旋
- 将兄弟结点调整为父节点的左子树
2. 当前结点的兄弟结点是黑色的，而且兄弟结点的两个孩子结点都是黑色的
- 兄弟节点变成红色
- 轴心结点变为父节点
3. 当前结点的兄弟结点是黑色的，而且兄弟结点的左孩子是黑色的，右孩子是红色的
- 将右孩子变黑
- 将兄弟节点变红
- 对兄弟结点左旋
- 将兄弟结点调整为父节点的左子树
- 现在情况3就会变成情况4，接着做情况4的步骤
4. 当前结点的兄弟结点是黑色的，而且兄弟结点的左孩子是红色的，右孩子是黑色的
- 将兄弟节点换成父节点的颜色
- 把父节点和兄弟节点的左孩子变黑
- 对父节点做右旋
- 将轴心结点调整为根结点
维护代码
void rbtree_delete_fixup(rbtree *T, rbtree_node *x) { //如果x是红色，变成黑色，如果x是黑色，需要调整 while ((x != T->root) && (x->color == BLACK)) { //当前结点是父结点的左子树 if (x == x->parent->left) { //兄弟节点 rbtree_node *w = x->parent->right; // 情况1：兄弟节点为红色 if (w->color == RED) { // 兄弟节点变成黑色 w->color = BLACK; // 父节点变成红色 x->parent->color = RED; // 父节点做左旋 rbtree_left_rotate(T, x->parent); //将兄弟结点调整为父节点的右子树 w = x->parent->right; } // 情况2：兄弟节点是黑色的，且兄弟的左孩子和右孩子都是黑色 if ((w->left->color == BLACK) && (w->right->color == BLACK)) { // 兄弟节点变成红色 w->color = RED; // 轴心结点变为父节点 x = x->parent; } else { // 情况3：x的兄弟节点是黑色的，兄弟的左孩子是红色，右孩子是黑色 if (w->right->color == BLACK) { // 将左孩子涂黑 w->left->color = BLACK; // 将兄弟节点变红 w->color = RED; // 对兄弟节点右旋 rbtree_right_rotate(T, w); // 重新设置x的兄弟节点 w = x->parent->right; } // 情况4：x的兄弟节点是黑色；x的兄弟节点的右孩子是红色的 // 将兄弟节点换成父节点的颜色 w->color = x->parent->color; // 把父节点和兄弟节点的右孩子涂黑 x->parent->color = BLACK; w->right->color = BLACK; // 对父节点做左旋 rbtree_left_rotate(T, x->parent); // 设置x指针，指向根节点 x = T->root; } } else {//当前结点是父结点的右子树 //兄弟节点 rbtree_node *w = x->parent->left; //情况1：兄弟结点为红色 if (w->color == RED) { // 兄弟节点变成黑色 w->color = BLACK; // 父节点变成红色 x->parent->color = RED; // 父节点做右旋 rbtree_right_rotate(T, x->parent); //将兄弟结点调整为父节点的左子树 w = x->parent->left; } // 情况2：兄弟节点是黑色的，且兄弟的左孩子和右孩子都是黑色 if ((w->left->color == BLACK) && (w->right->color == BLACK)) { // 兄弟节点变成红色 w->color = RED; // 轴心结点变为父节点 x = x->parent; } else { // 情况3：x的兄弟结点是黑色的，兄弟的左孩子是黑色，右孩子是红色 if (w->left->color == BLACK) { //将右孩子变黑 w->right->color = BLACK; //将兄弟节点变红 w->color = RED; //对兄弟结点左旋 rbtree_left_rotate(T, w); //将兄弟结点调整为父节点的左子树 w = x->parent->left; } // 情况4：x的兄弟结点是黑色的，兄弟的左孩子是红色，右孩子是黑色 // 将兄弟节点换成父节点的颜色 w->color = x->parent->color; // 把父节点和兄弟节点的左孩子变黑 x->parent->color = BLACK; w->left->color = BLACK; // 对父节点做右旋 rbtree_right_rotate(T, x->parent); //将轴心结点调整为根结点 x = T->root; } } } // 继承节点变为黑色，为了弥补失去的黑高 x->color = BLACK; }
红黑树的遍历、查询、测试
rbtree_node *rbtree_search(rbtree *T, KEY_TYPE key) { rbtree_node *node = T->root; while (node != T->nil) { if (key < node->key) { node = node->left; } else if (key > node->key) { node = node->right; } else { return node; } } return T->nil; } void rbtree_traversal(rbtree *T, rbtree_node *node) { if (node != T->nil) { rbtree_traversal(T, node->left); printf("key:%d, color:%d\n", node->key, node->color); rbtree_traversal(T, node->right); } } int main() { int keyArray[20] = {24, 25, 13, 35, 23, 26, 67, 47, 38, 98, 20, 19, 17, 49, 12, 21, 9, 18, 14, 15}; rbtree *T = (rbtree *) malloc(sizeof(rbtree)); if (T == NULL) { printf("malloc failed\n"); return -1; } T->nil = (rbtree_node *) malloc(sizeof(rbtree_node)); T->nil->color = BLACK; T->root = T->nil; rbtree_node *node = T->nil; int i = 0; for (i = 0; i < 20; i++) { node = (rbtree_node *) malloc(sizeof(rbtree_node)); node->key = keyArray[i]; node->value = NULL; rbtree_insert(T, node); } rbtree_traversal(T, T->root); printf("----------------------------------------\n"); for (i = 0; i < 20; i++) { rbtree_node *node = rbtree_search(T, keyArray[i]); rbtree_node *cur = rbtree_delete(T, node); free(cur); rbtree_traversal(T, T->root); printf("----------------------------------------\n"); } }
