金融数学方法：牛顿法

1.牛顿法

1.1 牛顿法介绍

  牛顿法（Newton’s method），也被称为牛顿-拉夫森方法（Newton-Raphson method），是一种用于数值逼近根的迭代方法。它是由英国科学家艾萨克·牛顿在17世纪提出的。

  牛顿法的基本思想是通过不断迭代来逼近一个函数的根。它利用函数的局部线性逼近，通过找到切线与x轴的交点来逼近函数的根。具体而言，牛顿法使用一个初始猜测值作为起点，然后根据函数和它的导数在该点的值，计算出切线与x轴的交点作为下一个猜测值。通过不断重复这个过程，可以更接近函数的根。

1.2 算法步骤

Step1: 选择一个初始猜测值：选择一个接近函数f ( x ) f(x)f(x)零点的x 0 x_0x0。

Step2: 计算在点x 0 x_0x0处的函数值f ( x 0 ) f(x_0)f(x0)和导数f ′ ( x 0 ) f\prime\left( x_0 \right)f′(x0)。

Step3: 计算穿过点( x 0 , f ( x 0 ) (x_0,f(x_0)(x0,f(x0)且斜率为f ′ ( x 0 ) f\prime\left( x_0 \right)f′(x0)的直线与x xx轴的交点x 1 x_1x1，也就是方程f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) + f ( x 0 ) = 0 f \prime(x_0)(x-x_0)+f(x_0)=0f′(x0)(x−x0)+f(x0)=0的解，即x 1 = x 0 − f ( x 0 ) f ′ ( x 0 ) x_1=x_0-\frac{f\left( x_0 \right)}{f\prime\left( x_0 \right)}x1=x0−f′(x0)f(x0)。

Step4: 使用牛顿法的迭代公式x n + 1 = x n − f ( x n ) f ′ ( x n ) x_{n+1}=x_n-\frac{f\left( x_n \right)}{f\prime\left( x_n \right)}xn+1=xn−f′(xn)f(xn)进行迭代，等到f ( x n ) f(x_n)f(xn)足够小时（可以设置一个终止条件），就认为数值解足够接近真实解，然后停止迭代。

2. 具体算例

利用牛顿法求e x = 2 e^x=2ex=2的解，选取初始点x 0 = 1 x_0=1x0=1，然后利用牛顿法迭代公式进行求解。

具体的python程序如下:

import numpy as np
def hanshu(x):
    return np.exp(x)-2
def daoshu(x):
    return np.exp(x)
def newtown(x0):
    d=hanshu(x0)
    count=0
    while d>0.000001 and count<100:
        x1=x0-d/daoshu(x0)
        x0=x1
        d=hanshu(x0)
        count+=1
    return x0,count
print(newtown(1))

求解结果：(0.6931475810597714, 3)

方程e x = 2 e^x=2ex=2的实际解为0.6931471805599453，可见利用牛顿法迭代了3次就得到了一个精度很高的结果，收敛速度比较快。

3.总结

牛顿法在数学和科学工程领域广泛应用，特别是在求解非线性方程、最优化问题和曲线拟合等任务中。牛顿法具有快速收敛的特点，但它对初始值的选择比较敏感，可能会陷入局部最优解。因此，在使用牛顿法时需要考虑初始值的选择和算法的收敛性分析。